定義域優先原則在解決函數問題中的應用

蘇旭景

（河北棗強中學，河北 棗強 053100）

定義域優先原則在解決函數問題中的應用

蘇旭景

（河北棗強中學，河北 棗強 053100）

函數的定義域具有不可忽視的重要性，所以在研究函數的相關問題時如值域、最值、單調性、奇偶性、周期性等，要時刻樹立定義域優先的原則。

函數定義域優先原則；最值；參數范圍；不等式

函數的三要素是定義域、對應關系和值域。其中函數的定義域是函數的根本，因為函數的定義域如果不同，即使對應關系相同也是不同的函數。這也是區分不同函數的首選條件。函數的其他性質如值域、最值、單調性、奇偶性、周期性等等無不受到定義域的制約。下面就一些常見易錯題目進行說明。

一、定義域對值域、最值的影響

例1 已知函數f（x）=2+log3x（1≤x≤9），求函數y=[f（x）]2+f（x2）的值域.

解：因為f（x）的定義域為[1，9].所以要使函數y=[f（x）]2+f（x2）有意義，

∴當x=3時，即log3x=1時，y的最大值為3.

當x=1時，即log3x=0時，y的最小值為6.

所以函數y=[f（x）]2+f（x2）的值域為[6，13].

本題學生在做題過程中忽略所求函數的定義域，認為所求函數的定義域與原函數的定義域相同得到錯解。

二、定義域對單調性的影響

例2 函數y＝log（2-x2+3x-2）的單調增區間是_______；

解析：由-x2+3x-2＞0，得1＜x＜2，

所以函數y＝log（2x2-3x+2）的定義域為（1，2）．

又y＝log2（tt＞0）是增函數，

t＝-x2+3x-2在（1，）上是增函數，

所以函數y＝log2（-x2+3x-2）的增區間為（1，）．

本題學生在做題過程中忽略函數的定義域，直接求真數即二次函數的單調區間等效成所求函數的單調區間，導致所求單調區間超出了函數的定義域而犯錯。

三、定義域對周期性的影響

故答案選C.

本題學生在對原函數變形前未考慮函數的定義域，使得函數的定義域前后發生改變，從而得到錯誤的答案。

四、定義域對奇偶性的影響

所以函數f（x）是奇函數.

點評：這樣做忽視定義域的對稱性，由定義可知，函數具有奇偶性的必要條件是對于定義域內的任意一個自變量x，必須f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x），且-x屬于定義域時，才有意義，即定義域必須關于原點對稱.

正解：因為f（x）的定義域為{x|x≠-2}，所以函數f（x）是非奇非偶函數.

事實上，如果一個函數的定義域不關于原點對稱，那么它一定是非奇非偶函數！因此，我們在判斷函數的奇偶性時強調要有定義域“優先意識”.

五、定義域對參數范圍問題的影響

例5 設定義在[-2，2]上的偶函數f（x）在區間[0，2]上單調遞減，若f（1-m）＜f（m），求實數m的取值范圍．

解析：∵f（x）是偶函數∴f（－x）＝f（x）＝f（|x|）

∴不等式f（1－m）＜f（m）?f（|1－m|）＜f（|m|）

又當x∈[0，2]時，f（x）是減函數，

本題學生忽略函數的定義域[-2，2]，使得所列條件不足，從而得到錯誤的答案。

例6 已知函數f（x）=loga（2-ax）在[0，1]上是減函數，則a的取值范圍是（ ）.

A.（0，1） B.（0，2） C.（1，2） D.（2，+∞）

解：由題意知a＞0且a≠1，所以t=2-ax為減函數.

又因為f（x）=loga（2-ax）在[0，1]上是減函數，

通過上述幾個例子，說明函數的定義域的不可忽視重要性，所以在研究函數的相關問題時如值域、最值、單調性、奇偶性、周期性等，要時刻樹立定義域優先的原則，才能避免出現錯誤。

G633.6

A

1674-9324（2014）07-0246-01