新課標下用辯證思想求解數學題

李漢斌

（甘肅省白銀市藝術中學，甘肅 白銀 730900）

數學中充滿著矛盾，也處處滲透著辯證法.于是解決矛盾的過程不但是一個運用辯證法的過程，也是推動數學向前發展的過程.因此，在中學數學教學中，教師要善于引導并培養學生學會運用辯證的思想方法來探索問題、研究問題、解決問題.本文就如何運用辯證思想解決數學問題談點淺見.

一、運用具體與抽象的辯證關系解題

把抽象的問題同相應的感性經驗材料聯系起來，給以具體的數學模型，然后通過對這些模型的研究和分析，達到解題的目的.

例1：對空間中的任意一個銳角三角形，證明：一定可以找到這樣一點，使得此點對三邊所張的角都是直角.

分析：這是一個較為抽象的數學證明題，直接入手感到困難，不易說清楚，但若能聯想到“長方體的一個角”這樣的數學模型，問題就變得具體化了，于是問題可以轉化為：從空間一點O發出了三條互相垂直的射線，證明：在每條射線上各取一點A，B，C能使△ABC和已知的銳角三角形全等.（證明從略）

二、運用特殊與一般的辯證關系解題

普遍性寓于特殊性之中，特殊問題得到了解決，一般問題解決就有了切入點.

例2：已知f（θ）=sin2θ+sin2（θ+α）+sin2（θ+β），其中α，β是常數，且α、β∈[0，π]，α＞β，求α，β使f（θ）是與θ無關的定值.

分析：當α，β取某個特殊定值時f（θ）才與θ無關，不妨讓一般的θ取某些特殊值，例如：f（0）=sin2α+sin2β，f=1+cos2α+cos2β，f（-α）=sin2α+sin2（α-β），f（-β）=sin2β+sin2（α-β），

特殊問題與一般問題不是截然劃分的，從辯證的角度看，一般問題的解決有賴于從特殊問題的思考中發現線索；一般問題解決以后，又可以解決更多、更新的特殊問題.

例3：比較兩個冪20112012和20122011的大小.

三、運用靜止與運動的辯證關系解題

辯證法告訴我們，運動是絕對的，靜止是相對的，它們在一定條件下可以互相轉化，我們要善于利用動與靜之間的辯證關系去指導解題.

分析：這是無理方程，按常規要經過兩次移項且兩邊平方才能全部脫去根號，轉化為有理方程，運算復雜.若把方程轉化為，令y2=5，則方程可以轉化為橢圓方程，由相關理論得到橢圓的標準方程=1，可方便得到

例5：一個長軸長為2a，短軸長為2b的橢圓在第一象限內滾動，且始終與x軸及y軸相切，求橢圓中心O'的軌跡方程.

分析：使動橢圓、靜坐標系相互轉化，即使橢圓固定，而與之相切的兩坐標軸轉動，此時問題歸結為一道熟悉的題目：橢圓b2x2+a2y2=a2b2的兩條互相垂直的切線交點軌跡是圓：x2+y2=a2+b2.原坐標原點轉化為兩切線的交點，由此找到了原點O'與橢圓中心O'之間的距離關系，然后再回到原坐標系，因橢圓恒在第一象限內滾動，且橢圓中心O'到坐標原點O的距離是定長故橢圓中心O'的軌跡是位于第一象限內的一段圓弧：x2+y2=a2+b2（b≤x，y≤a）.

四、運用整體與局部的辯證關系解題

有些數學問題，如果只在整體或局部中周旋，往往思維雜亂，難以獲解.這時若能從整體深入到局部或把局部拓展為整體，解題思路會豁然開朗.

例6：已知ai∈R+（i=1，2，Λ，n），且a1+a2+Λ+an=1，

分析：本題若從整體上思考，則難以下手，但若局部考慮，各個擊破，很快獲證.

例7：不定方程w+x+y+z=8的正整數解的個數有多少?

分析：容易想到的辦法就是枚舉，當然四者之和為8不是一個很大的數，可以列舉出來；當和數比較大時，此方法沒有實際意義.如果整體思考，把w，x，y，z看作一個整體，將8化為直觀狀態即8個1，形如（* * * * * * * *），在這8個點的7個空隙中有變化地插入3個隔板，每次將8個點分成四份，每份就是方程的一組解，由此問題就變成了組合問題，所求的正整數解的個數應是，此方法具有一般性.

五、運用等式與不等式的辯證關系解題

等式和不等式是兩個不同的概念，它們之間既有區別又有聯系，它們之間可以相互轉化，若在解題實踐中予以重視，往往既能簡化解題過程，又能提高學生的思維素質，可作為一種數學方法運用.

例8：整數a，b滿足a2+b2+2＜ab+3b，求a，b的值.

解：原不等式等價于a2+b2+3≤ab+3b，配方得，此不等式等價于，立得a=1，b=2。

利用等式和不等式的相互轉化實現了問題的解決.