基于Isight 和RecurDyn 的4-UPS-UPU 并聯機構運動學分析*

張海強，徐 豐，朱炎龍，白 龍

(河北工程大學 裝備制造學院，河北 邯鄲 056038)

0 引言

在并聯機構的研究中，運動學分析是并聯機構研究的重要對象之一，包括對機構的正解和逆解的計算［1-2］。雷靜桃［3］等提出邊界搜索法對4-UPS-UPU 并聯機構工作空間進行了優化分析，陳修龍等［4］采用一階影響系數和二階影響系數分別對4UPS-RPS 并聯機構的速度和加速度進行了運動學分析，宋小科等［5］基于虛功原理對空間4自由度并聯機床4PUS-RPU 進行了動力學分析。

本文以五自由度并聯機構4-UPS-UPU 為研究對象，利用矢量法推導出機構的位置、速度、加速度表達式，得到Jacobian 矩陣和Hessian 矩陣，運用RecurDyn和Isight 軟件，采用數值求解與仿真分析的方法對該機構進行運動學分析。實際結果表明，機構的理論求解是正確的。

1 4-UPS-UPU 并聯機構模型

1.1 機構描述

4-UPS-UPU 并聯機構由上平臺、下平臺、連接上下平臺的4 個驅動支鏈和中間1 條恰約束主動支鏈組成，下平臺通過4 個完全相同的驅動分支UPS(胡克鉸-移動副-球副)與上平臺連接，中間支鏈UPU 依次通過胡克鉸-移動副-胡克鉸與上平臺相連接［6］。

圖1 4-UPS-UPU 并聯機構簡圖

1.2 自由度計算

根據空間自由度的計算公式［7］

式中，d為機構的階數;n為構件數;g為機構運動副數，fi為第i個運動副的自由度。該機構中d=6，n=，則F=5。即沿三坐標軸的移動和繞X、Y軸的轉動。

2 4-UPS-UPU 并聯機構運動學分析

2.1 4-UPS-UPU 并聯機構位置分析

如圖1 所示，并聯機構上下平臺為邊長不相等的正方形構成，邊長分別為a和b，動坐標系o -xyz固接于上平臺，定坐標系O -XYZ固接于下平臺。o點為上平臺A1A2A3A4的幾何中心，x軸平行于A2A3，y軸平行于A1A2，z軸垂直于定平臺方向向上。O點位于下平臺B1B2B3B4的幾何中心，X軸平行于B1B4，Y軸平行于B1B2，Z軸垂直與上平臺向上;中間胡克鉸鉸點分別與動定坐標系原點重合。

Ai點在動坐標系o - xyz的坐標為

則

Bi點在動坐標系O - XYZ下的坐標為

則

o點在定坐標系O - XYZ下的坐標為

由于機構限制繞Z軸轉動，所以γ=0°。設上平臺繞定坐標系X軸、Y軸的旋角分別為α、β，則旋轉矩陣R 為:

式中，sα=sinα，cα= cosα，其他類似。

上平臺鉸點Ai在定坐標系O-XYZ下的位置矢量可以表示為

驅動支鏈的向量可以表示為

則驅動支鏈的長度為

若已知上平臺的位姿，則可求出驅動支鏈的長度，即運動學逆解。

2.2 4-UPS-UPU 并聯機構速度分析

設4-UPS-UPU 并聯機構上平臺的o點的速度為V，則

其中上平臺線速度ν

上平臺角速度為ω，由于機構限制繞Z軸轉動，所以ωz =0°

上平臺鉸點Ai的速度VAi

其中ri為球鉸鉸點Ai相對于上平臺參考點o的矢徑。

第i條驅動支鏈的速度可以表示為

其中qi為連桿li的單位方向矢量。

將式子(14)代入(15)中，可得

其中，

若J 為非奇異矩陣，則該機構的速度正解為

2.3 4-UPS-UPU 并聯機構加速度分析

驅動支鏈的加速度為桿長對時間的二階導數［8］，可以表示為

上平臺的加速度可以表示為

其中H 為海賽矩陣，是雅可比矩陣J 關于位姿參數φ 對時間的導數，即

若雅可比矩陣J 非奇異，則該機構的加速度正解為

3 并聯機構數值算例仿真分析

多學科設計優化軟件Isight 能夠提供實驗設計、近似模型、探索優化和6Simga 質量設計等算法。運用上節建立的機構運動學位置、速度、加速度數學模型，利用Isight 集成Matlab 軟件，可以很方便的對機構進行運動學數值仿真［9］。

如圖1 所示，模型參數規定如下:上平臺邊長a =200mm，下平臺邊長b =400mm，初始位姿角α=0 ，β=0 。設上平臺的姿態方程為α=1°/s，β=2°/s。上平臺的運動軌跡方程為

在Isight 中集成Matlab 組件，如圖2 和圖3 所示，設置輸入變量和輸出變量。

圖2 Matlab 組件工作流

圖3 Matlab 組件編輯界面

采用實驗設計方法(DOE)，在仿真時間10s 內生成100 個隨機位姿，求解結束后，History 屬性頁可得到100 個關于桿長、速度、加速度的點，如圖4 所示。

圖4 樣本點的參數值列表

在Graphs 屬性頁中，可以繪制桿長、速度、加速度隨時間的變化曲線，如圖5、6、7 所示。

圖5 Isight 中驅動支鏈長度曲線

圖6 Isight 中驅動支鏈速度曲線

圖7 Isight 中驅動支鏈加速度曲線

4 并聯機構運動學仿真驗證

RecurDyn 軟件是由韓國FunctionBay 公司開發的新一代多體系統仿真軟件，能夠創建復雜的虛擬樣機模型，進行運動學仿真測試。

4.1 運動學逆解的仿真驗證

基于SolidWorks，建立4-UPS-UPU 并聯機構三維模型，然后導入RecurDyn 中，建立仿真模型［10-12］。在RecurDyn 中添加球副、胡克鉸、移動副和笛卡爾驅動Cmotion，并將下平臺固定于大地。如圖8 所示。

圖8 4-UPS-UPU 并聯機構仿真模型

仿真參數設置為時間t= 10s，步長step =100。仿真分析結束后，利用后處理功能，測量五個連桿的長度、速度、加速度曲線，如圖9、10、11所示。

圖9 RecurDyn 中驅動支鏈長度曲線

圖10 RecurDyn 中驅動支鏈速度曲線

圖11 RecurDyn 中驅動支鏈加速度曲線

從圖5～7 和圖9～11 可以看出，4UPS-UPU 并聯機構運動學的理論求解與仿真分析中的逆解所求的曲線完全一致，說明了運動學理論求解的正確性。

4.2 機構正解的仿真驗證

Isight 集成MATLAB，利用圖4 所示的桿長數據和公式(10)編程，求解得到上平臺參考點的位置，繪制圖12 所示的軌跡曲線。

圖 12 上平臺參考點o 的運動軌跡

利用Isight 運行過程中產生的五個驅動支鏈長度(見圖4)轉化為樣條曲線spline，導入RecurDyn 中作為五個移動副的驅動函數。

添加完驅動后對仿真模型進行10 秒100 步運動學仿真分析，RecurDyn 仿真結束后，利用測量功能，測得上平臺參考點o的運動軌跡，如圖13 所示。

圖13 上平臺參考點軌跡曲線

從圖12 和圖13 可以看出，點o運動軌跡與我們預期設定的完全一致，說明了理論求解的正解性。

5 結論

(1)以4-UPS-UPU 并聯機構作為研究對象，在機構模型和數學模型的基礎上，從理論上對位置、速度、加速度進行了分析。

(2)借助Isight 軟件和RecurDyn 軟件，對該機構進行運動學的逆解和正解進行理論分析和仿真分析。實際結果表明，機構理論求解的正確性。

(3)4-UPS-UPU 并聯機構雅可比矩陣和Hessian矩陣求解的正確性，為后續性能指標的建立和優化設計奠定了理論基礎。

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