一類群居捕食者的捕獲系統的定性分析

華極鑫，馮維龍，姜玉秋

(吉林師范大學數學學院，吉林四平 136000)

一類群居捕食者的捕獲系統的定性分析

華極鑫，馮維龍，姜玉秋

(吉林師范大學數學學院，吉林四平 136000)

本文建立了捕食者是群居種群的捕食者-食餌系統，分析了密度大小對群居捕食者種群增長的促進和抑制作用，并且對其平衡點的穩定性進行了系統的研究。

群居；捕食者-食餌系統；密度；平衡點；穩定性

1 建立模型

考察生存在同一理想環境中的捕食者和食餌種群.Volterra捕食者-食餌[1]結構為：

(1.1)

在此基礎上建立了群居捕食者-食餌的數學模型

(1.2)

其中a1，a2，b1，b2，c1均為正常數.本文將對系統(1.2)進行定性分析.

2 系統分析

將系統(1.2)改寫成

(2.1)

其Jacobi矩陣為

(3)而且你底妹妹對我的情義,叫我用什么來接受呢?心呢,還是兩手?我不能拿理智來解釋與應用的時候,我只有逃走之一法。

令Δ=a11a22-a12a21,δ=-(a11+a22).

定理2.2 平衡點o(0,0)為鞍點.

證明 首先證明正平衡點E(x*,y*)的存在性與惟一性.

下面證明E(x*,y*)是局部穩定的.

當k<3a2時，Δ>0,δ>0，可知E(x*,y*)是局部漸進穩定[5]的.

證明 由定理2.4知，正平衡點E(x*,y*)是局部穩定的，又由文獻[6]中全局穩定性給出的定理2.2及推論2(有詳細證明)，可知E(x*,y*)是全局漸近穩定的.

3 生物學意義

通過對系統(1.2)的分析討論，我們可以找到群居捕食者和食餌最適合生存的數量E(x*,y*)，利用密度對群居捕食者的作用，控制捕食者或食餌數量來維持生態平衡，當食餌種群繁殖較快時我們可以通過人為引入群居的捕食者來控制其增長速度，而不用擔心捕食者數量會肆意增長，兩種群數量達到y*，x*時，就可以達到生態平衡穩定，從而實現保護珍稀物種、抑制那些繁殖過快而又有害的種群的目的.

[1]馬知恩,周義倉.常微分方程定性與穩定性理論[M].北京:科學出版社,2001.

[2]尚玉昌.普通生態學[M].北京:北京大學出版社,2002.

[3]姜玉秋.Turchin-Batzli捕食者-食餌系統的定性分析[J].東北師范大學學報:自然科學版,2006,38(4):17-21.

[4]程榮福,趙明.一類捕食者與被捕食者模型的持久性與穩定性[J].生物數學學報,2008,23(2):289-294.

[5]王希超,王志斌,徐勝榮.一類捕食-食餌系統的定性分析[J].生物數學學報,2009,24(2):287-292.

[6]馬知恩.種群生態學的數學建模與研究[M].合肥:安徽教育出版社,1996.

Qualitative Analysis of a Kind of Gregarious Predators Capture System

HUA Ji-xin,FENG Wei-long,JIANG Yu-qiu

(College of Mathematics, Jilin Normal University, Siping Jilin 136000, China)

In this paper, gregarious predators Prey-Predator system was established, and positive and negative density effects of gregarious predators growth was analyzed. Moreover, the stability of the equilibrium point was system studied.

gregarious; Prey-Predator system; density; equilibrium point ; stability

2013-11-13

華極鑫(1989- )，女，吉林松原人，吉林師范大學數學學院碩士研究生，從事生物數學研究。

姜玉秋(1966- )，女，吉林師范大學數學學院教授，碩士生導師。

O175

A

1008-178X(2014)01-0004-03