拋物線形斷面最優水力參數及方程指數計算方法

張麗偉,滕 凱

(1.齊齊哈爾市河道管理處,黑龍江齊齊哈爾 161006;2.齊齊哈爾市水務局,黑龍江齊齊哈爾 161006)

拋物線形斷面最優水力參數及方程指數計算方法

張麗偉1,滕 凱2

(1.齊齊哈爾市河道管理處,黑龍江齊齊哈爾 161006;2.齊齊哈爾市水務局,黑龍江齊齊哈爾 161006)

針對目前拋物線形斷面最優水力參數及拋物線方程指數計算尚沒有比較系統研究成果的問題,通過對該種斷面均勻流方程的變形整理及近似積分計算,得到了拋物線方程指數一定情況下明渠過水斷面最優水力參數的簡化計算公式,并通過對簡化公式的進一步分析整理,給出了當渠道其他參數(流量、比降及糙率)一定情況下拋物線形斷面的最優方程指數為3.35。精度分析及算例計算結果表明:最優水力參數的提出將為該類斷面的進一步優化設計提供可靠依據;最優拋物線形斷面比其他水力最優斷面經濟指標更好。

拋物線形渠道;明渠均勻流;水力最優斷面;水力參數

隨著水利機械化施工技術及工藝的不斷提高,拋物線形斷面渠道在水利水電灌排水及城市供排水工程中的應用越來越廣泛,因此,開展該種斷面最優水力參數的研究具有重要意義。通過對均勻流方程的變形整理,魏文禮等[1]給出了半立方拋物線(拋物線方程指數n=3/2)形斷面的最優水力參數為a2/3h1/3=0.99078(a為拋物線形斷面形狀參數;h為斷面過水水深),張志昌等[2]給出了拋物線(n= 2.0)形斷面的最優水力參數為ah=0.946 73,并認為拋物線形斷面是僅次于U形斷面的水力最佳斷面。這些研究成果為有效優化這兩種拋物線形斷面的設計奠定了良好的基礎。在實際工程中,由于拋物線方程指數n的選取受工程所處地形、地質及過流條件的制約,n可能是大于1的任意數值[3-7],僅給出這兩種特殊拋物線方程指數形式過水斷面的最優水力參數尚不能滿足實際工程的設計要求。因此,研究并提出拋物線方程指數n取大于1的任意數值時的最優水力參數和當渠道其他參數(流量、比降及糙率)一定情況下拋物線形斷面的最優方程指數,對進一步開展拋物線形斷面渠道優化設計、有效降低工程投資具有重要意義。

由于當n＞1時的正常水深計算涉及不可積分函數,且為超越方程,本文利用二次拋物線近似積分法完成了不可積函數的積分計算,進而完成了n＞1情況下拋物線形渠道斷面的最優水力參數計算,并給出了拋物線形斷面的最優方程指數n=3.35,經與n=1.5、2.0、4.0及6.0時的最優水力參數斷面比較表明,最優方程指數拋物線斷面濕周最小,相應的護砌長度最短,斷面面積也最小,具有較好的工程實用意義。

1 拋物線形斷面均勻流計算公式

以曼寧公式表示的明渠均勻流方程[8]為

式中:n′為渠床糙率;Q為過水流量,m3/s;i為渠底坡降;A為過水斷面面積,m2;χ為過水濕周,m。

拋物線形斷面曲線方程為

其過水斷面面積及濕周分別為

式中B為過水斷面水面寬度的1/2,m。

在式(4)中,僅當拋物線方程指數n為個別值(如n=1.5、2.0)時函數可以完成積分,通常情況下均無法通過常規方法完成積分。為此,采用二次拋物線近似法[9]完成對式(4)的積分,其計算公式為

其中

式中:N為在函數自變量x積分區間[0,B]內平均等分的份數,N為偶數;S為無量綱濕周;yi為取第j個等分點時被積分函數的計算值。

在式(3)、式(5)中,設

將式(3)(5)(8)(9)代入式(1)經進一步整理可得

式中:k為已知綜合參數;z為中間變量,即拋物線形斷面水力參數。

利用式(10)進行拋物線形明渠斷面設計需通過試算法完成:設定N值,選取不同的z(值 因B=,故B值可求),即可由式(5)完成積分的近似計算。為提高計算精度,在N取值時,將N的每次增幅取為6,并將上一次與本次χ計算值的相對誤差小于0.001%時作為N的最終取值,進而求得S。將S及k值代入式(10)即可求得z,當該計算與選定值相等時即為所求值,進而可由式(11)求得渠道的正常水深h0:

2 拋物線形斷面最優水力參數

當渠道的過水斷面面積A一定、濕周χ最小時,渠道通過的流量Q最大。為此,對式(3)和式(5)求關于h的導數,并令其為零,即

其中

由式(12)整理可得

將式(15)代入式(14),并考慮a1/nh(n-1)/n= aBn-1=z,經整理可得

將式(16)代入式(13)整理可得含最優水力參數z的超越方程。因N值可根據精度要求按前述方法確定,選取不同的拋物線方程指數n,即可由式(13)通過試算法求得最優水力參數zm,并由式(6)求得與其相對應的最優無量綱濕周Sm,再由式(10)求得與zm相對應的km值,具體計算成果見表1。

表1 與n值相對應的最優水力參數

由表1可見,當n為已知量時,相應的zm、Sm及km均可求得(當n值在表中兩個給定值之間時,可采用內插法獲得相應的zm、Sm及km),則由式(1) (8)(9)即可求得與最優水力參數相對應的斷面設計特征值:

其中

式中:D為已知綜合參數;u為拋物線形斷面形狀參數的系數。

3 最優拋物線方程指數

表1為在已知拋物線方程指數情況下的最優水力參數,在實際工程中,設計人員往往更關心當渠道的其他參數(流量、比降及糙率)一定情況下,如何選取拋物線方程指數才能獲得最經濟的設計斷面,即最優拋物線方程指數。為此,本文利用上述研究成果開展進一步的分析。

將式(18)和式(19)分別代入式(3)及式(5)并整理可得

其中

式中f、p分別為拋物線形斷面的斷面系數及濕周系數。

利用式(24)和式(25)即可通過選取不同的n值,計算出與之相對應的f、p值。為便于實際工作,現將不同n值所對應的f、p的計算成果列于表2,并繪制f-n及p-n關系曲線,見圖1。

表2 與n值相對應的f、p值

圖1 f-n、p-n關系曲線

由圖1可見,當n=3.35時,f和p獲得最小值,此時A及χ最小,因此n=3.35即為最優拋物線方程指數。

由表2可見,當渠道其他設計參數一定情況下, n=3.35斷面的斷面面積分別較n=1.5、2.0、5.0、6.0時的斷面面積小2.03%、0.72%、0.28%及0.54%;護砌長度(即濕周)分別短5.21%、1.80%、0.69%及1.34%。因此,在實際工程中,采用最優拋物線形斷面對有效減少工程量、降低工程造價具有重要意義。

4 算 例

已知一灌溉用水渠道的設計過水流量Q= 50 m3/s,渠底的設計坡降為i=0.000 5,采用混凝土護砌,渠道糙率n′=0.014。選擇最優拋物線形斷面設計,并分別與n=1.5、2.0時的拋物線形斷面及U形水力最優斷面進行比較。

根據已知參數即可采用本文公式按以下方法完成求解計算:由表1及表2可得,當n=1.5時,zm=0.9908,f=4.7227,p=5.7151,由式(21)得u= 0.70183,由式(19)(22)(23)可分別求得a=0.480715, A=21.457m2,χ=12.182m,由式(17)(18)可分別求得h0=4.209 m,B=4.248 m。

采用同樣方法也可分別求得當n=2.0、3.35情況下的斷面水力參數,成果見表3。

表3 拋物線形、U形水力最優斷面計算成果

由表3可見,就渠道設計過水斷面面積、濕周長度、水面寬度及正常水深而言,最優拋物線形斷面與U形斷面最接近,其斷面面積及濕周僅較U形斷面的斷面面積及濕周大0.362%和0.906%;水面寬度較U形斷面大4.35%,更有利于渠道邊坡穩定及護砌施工;水深較U形斷面小1.917%,更適合于中小型灌溉及排水渠道。而半立方拋物線及拋物線形斷面的斷面面積則較U形斷面的斷面面積分別大2.405%和1.083%;濕周分別大6.170%和2.728%;水面寬度分別大16.320%和10.652%;水深分別大15.252%和7.640%。綜上可知,上述3種斷面均不如最優拋物線形斷面。

5 結 語

本文通過對拋物形明渠過水斷面均勻流方程的變形整理并采用近似積分的方法,得到了拋物線形明渠斷面當拋物線方程指數n取大于1情況下任意數值時最優水力參數的簡捷計算方法,使最優過水斷面面積、濕周長度、水面寬度及正常水深的計算更加便捷實用;同時,本文在對拋物線形明渠過水斷面最優水力參數進一步分析的基礎上,提出了當渠道其他設計參數(流量、比降及糙率)一定情況下拋物線形斷面的最優拋物線方程指數為n=3.35,并通過算例分析比較,較好地驗證了其主要優點,可為該類工程或類似工程的優化設計提供參考和借鑒。

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[9]同濟大學數學教研室.高等數學[M].上海:人民教育出版社,1978.

Calculation of open channel section optimum hydraulic parameters and parabolic index parabola//

ZHANG Liwei1, TENG Kai2
(1.River Management Office of Qiqihar City,Qiqihar 161006,China;2.Qiqihar Municipal Water Affairs Bureau,Qiqihar 161006,China)

A relatively systematic study on the optimum hydraulic parameter of parabolic transaction and the calculation of parabolic optimum index have been studied in this paper.Through sorting out the variants and calculating the approximate integration of the equation of uniform flow for such transaction,this essay presents the simplified formula for the optimum hydraulic parameter of the open-channel water-flowing transaction in case of a given parabolic equation index.By analyzing the simplified equation,we found a new optimum equation index of parabolic transaction to be 3.35 on the condition that other parameters of the open-channel such as water flow,gradient and roughness stay unchanged.Our finds also show that the presentation of the optimum hydraulic parameter serves as the basis for the further optimization design of parabolic transaction.Additionally,through the comparison of the optimum index of parabolic transaction and other hydraulic optimum transactions,the optimum index of parabolic transaction shows a higher economic indicator and therefore,it is worth extending the application.

parabola form channel;uniform flow in open channel;best hydraulic cross section;hydraulic parameter

TV131.4

:A

:1006-7647(2014)05-0065-04

10.3880/j.issn.1006-7647.2014.05.013

201308-01 編輯:駱超)

張麗偉(1969—),女,黑龍江齊齊哈爾人,高級工程師,主要從事水利工程建設管理工作。E-mail:cfgcjsj@163.com

滕凱(1957—),男,黑龍江齊齊哈爾人,高級工程師,主要從事水利防災減災及工程優化設計研究。E-mail:tengkai007@163.com