非負(fù)矩陣Hadamard積的特征值估計(jì)

黃守德

（阿壩師范高等專科學(xué)校數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)系，四川阿壩623002）

非負(fù)矩陣Hadamard積的特征值估計(jì)

黃守德

（阿壩師范高等專科學(xué)校數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)系，四川阿壩623002）

非負(fù)矩陣的Hadamard積是矩陣分析理論研究中的一個(gè)重要問(wèn)題.對(duì)于兩個(gè)非負(fù)矩陣A和B的Hadamard積，給出了譜半徑的一個(gè)新的上界估計(jì)方法.

非負(fù)矩陣；Hadamard積；特征值

0 引言

非負(fù)矩陣Hadamard積在計(jì)算數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、控制論等領(lǐng)域中有著十分廣泛的應(yīng)用.［1—3］而許多情況下都涉及到非負(fù)矩陣Hadamard積特征值的估計(jì)問(wèn)題.對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，許多學(xué)者做出了比較好的結(jié)果.本文繼續(xù)對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行研究，并得到了一個(gè)新的上界估計(jì)式.數(shù)值算例表明，本文所得結(jié)果比現(xiàn)有的一些結(jié)果更加精確.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［1］設(shè)矩陣A＝（aij）∈Rn×n，若對(duì)于任意i，j∈N，都有aij≥0，則稱A是非負(fù)矩陣，記作：A≥0，而對(duì)于非負(fù)矩陣A＝（aij）∈Rn×n，記N＝A—D，其中D＝diag（aii），i∈N.令

定義2［1］由矩陣A＝（aij）∈Cn×n的所有特征值λ1，λ2，…，λn組成的集合稱為A的譜，記為σ（A），即：σ（A）＝｛λi，i＝1，2，…，n｝，稱ρ（A）為A的譜半徑.

定義3［2］設(shè)Cn×n，用A°B表示A，B的對(duì)應(yīng)元素相乘后組成的n×n矩陣，即：A°B＝（aijbij），稱其為矩陣A，B的Hadamard積.

定義4［2］對(duì)于A＝（aij）∈Rn×n，k≥0，稱矩陣Ak＝（）∈Rn×n是矩陣A的k次Had—amard冪，特別地，對(duì)于x＝（xi）∈Rn，k≥0，有xk＝（）∈Rn

2 ρ（A°B）的一個(gè)新的上界估計(jì)

在本節(jié)，將給出兩個(gè)非負(fù)矩陣A和B的ρ（）A°B的一個(gè)新的上界，為了方便后文的論證，首先給出以下兩個(gè)引理.

引理1 設(shè)A＝（aij）∈Rn×n，B＝（bij）∈Rn×n，且D，E∈Rn×n都是對(duì)角矩陣，則：

D（A°B）E＝（DAE）°B＝（DA）°（BE）＝（AE）°（DB）＝A°（DBE）.

設(shè)A＝（aij）∈Rn×n是一個(gè)非負(fù)矩陣，則：

定理1 設(shè)A＝（aij）∈Rn×n，B＝（bij）∈Rn×n，A≥0，B≥0.于是：

（1）若對(duì)于?i∈N，都有aiibii≠0，則：

（2）若存在i0≠j0，使得ai0i0≠0，aj0j0≠0，或者bi0i0≠0，bj0j0≠0，但對(duì)于?i∈N，有aiibii＝0，則

（3）若對(duì)于任意i∈N，有aii＝0，bii＝0，則

（4）若存在i0≠j0∈N，使得ai0i0bi0i0≠0，aj0j0bj0j0≠0，則

ρ（A°B）≤max｛T1，T2，T3｝，其中T1≤max

證明：當(dāng)k＝1時(shí)，上述定理就是文［5］的定理3.因此當(dāng)k＝1時(shí)上述定理成立.

當(dāng)k＝2時(shí)，對(duì)于n＝1上述定理顯然成立，下證當(dāng)n≥2時(shí)結(jié)論成立.

a.假定矩陣（A°B）是不可約的，則矩陣A，B都是不可約的，顯然JA，JB也是非負(fù)不可約的，所以J（2）A，J（2）B均為非負(fù)不可約矩陣.故存在正向量使得，且

U＝diag（u1，u2，…，un），V＝diag（v1，v2，…，vn），

所以根據(jù)引理2以及Holder不等式可得

因此，綜上可得定理1的結(jié)論成立.

b.假定矩陣A°B是可約的，此時(shí)定義矩陣G＝（gij），g12＝g23＝…＝gn—1n＝gnn＝1，其余gij＝0.任意給定的正實(shí)數(shù)ε矩陣A+εG，B+εG都是不可約非負(fù)矩陣，所以將第（1）種情況中的矩陣A，B分別用矩陣A+εG，B+εG代替，并令ε→0即得結(jié)論.

3 數(shù)值算例

利用MATLAB7.1，計(jì)算可得ρJ（）A＝0. 8128，ρ（JB）＝1.1258，ρ（）＝0.3407， ρ（）＝0.6263，ρ（A°B）＝6.3365.由文獻(xiàn)［4］的定理6可得ρ（）A°B≤11.5266；由文獻(xiàn)［5］的定理3可得ρ（）A°B≤9.6221，根據(jù)本文的定理1可得ρ（）A°B≤7.3620.于是本文所得結(jié)論比文獻(xiàn)［4］和文獻(xiàn)［5］所得結(jié)論更加精確.

［1］R.A.Horn，C.R.Johnson.Matrix Analysis［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1985：165—180.

［2］R.A.Horn，C.R.Johnson.Topics in Matrix Analysis［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1991：101—125.

［3］顧幸生，劉漫丹，張凌波.現(xiàn)代控制理論及應(yīng)用［M］.上海：華東理工大學(xué)出版社，2008：55—60.

［4］R.Huang.Some inequalities for the Hadamard product and the Fan product of Matrices［J］.Linear Algebra Appl，2008（428）：1551—1559.

［5］Q.B.Liu，G.L.Chen.Some new bounds on the spectral radius of Matrices［J］.Linear Algebra Appl，2010（432）：936—948.

［責(zé)任編輯 范 藻］

An Eigen Value Estimation of Non—negative Matrix Hadamard

HUANG Shou—de

（Mathematics and Finance Department ofAba Teachers College，Aba Sichuan 623002，China）

The product of non—negative matrix Hadamard is an important study in the matrix analysis theory.From there，a new upper—estimation method of spectral radius is given for the Hadamard product of two non—negative matri—ces A and B.

non—negative matrix；Hadamard product；Eigen value

O151.21

A

1674—5248（2014）05—0019—03

2014—01—08

阿壩師范高等?？茖W(xué)校2013年度青年基金項(xiàng)目“矩陣特征值的上下界估計(jì)”（ASC13—13）

黃守德（1986—），男，四川自貢人.助教，碩士，主要從事數(shù)值代數(shù)方向研究.