諧波齒輪對大型SGCMG框架轉速控制的影響分析

劉寶玉 金 磊 賈英宏

北京航空航天大學宇航學院，北京 100191

諧波齒輪對大型SGCMG框架轉速控制的影響分析

劉寶玉 金 磊 賈英宏

北京航空航天大學宇航學院，北京 100191

框架轉速控制精度是影響大型單框架控制力矩陀螺(Single Gimbal Control Moment Gyroscope，SGCMG)輸出力矩精度的重要因素。諧波齒輪是一種大傳動比的減速裝置，在大型SGCMG框架伺服系統中加裝諧波齒輪提高框架電機的轉速，有利于減小框架轉速控制偏差。本文分析了大型SGCMG框架電機和諧波齒輪傳動的特性，建立了帶有諧波齒輪的大型SGCMG動力學模型。數值仿真結果表明加裝諧波齒輪可明顯改善大型SGCMG框架轉速控制精度，特別是框架低速運行時的控制精度，提高大型SGCMG輸出力矩精度;但加裝諧波齒輪也給框架帶來高頻諧振。

諧波齒輪;SGCMG;框架伺服系統;建模

姿態穩定精度和姿態機動能力是航天器姿態控制的2個重要性能指標。相比其它執行機構，控制力矩陀螺(Control Moment Gyroscope，CMG)具有效率高、輸出力矩大、帶寬大和線性范圍大的特點，是航天器重要的姿態控制執行機構，并得到廣泛應用。框架伺服系統是CMG的重要組成部分，其轉速控制精度是影響CMG輸出力矩精度的重要因素［1-2］。SGCMG框架伺服系統由于其組成與結構特性而存在多種誤差與擾動，如軸承摩擦，驅動電機力矩波動，框架軸向干擾等，這些誤差與擾動影響SGCMG框架轉速控制精度。在大型SGCMG框架電機與框架之間加裝減速器，使框架電機運行在高速狀態，有利于提高框架轉速控制精度。與其它傳動機構相比，諧波齒輪減速器具有傳動比大、體積小、傳動精度高、回差小、無沖擊、噪聲低等優點，很適合作為大型SGCMG框架伺服系統的減速器［3］，但是諧波齒輪減速器存在運動誤差、柔性和非線性摩擦等缺點［4-5］，這些缺點也影響SGCMG框架轉速控制精度。

很多學者對SGCMG框架伺服系統進行了研究。Heiberg C J等人在文獻［6］中探討了考慮外部時變干擾力矩和SGCMG框架轉速波動時航天器的姿態控制，其框架轉速波動表示為框架角諧波的正弦函數形式;之后又考慮了SGCMG框架電磁擾動力矩和機械擾動力矩的影響［7］。文獻［8］分析了SGCMG框架伺服系統摩擦力矩、電機脈動力矩對其框架轉速控制的影響。文獻［9］分析了SGCMG轉子動靜不平衡量、轉子軸安裝誤差、框架支承軸承摩擦力矩和框架電機干擾對框架轉速控制精度的影響。以上文獻主要是針對未加裝減速裝置的SGCMG框架伺服系統的分析與研究，而對于加裝了諧波齒輪的大型SGCMG框架伺服系統的研究目前還比較少。

本文對加裝了諧波齒輪的大型SGCMG框架伺服系統各主要組成部分及其特性進行分析與建模，建立帶有諧波齒輪的大型SGCMG動力學模型，結合數值仿真分析諧波齒輪對大型SGCMG框架轉速控制的影響。

1 大型SGCMG工作原理

大型SGCMG由轉子系統和框架伺服系統組成。其中轉子系統主要包括:轉子組件、轉子支承軸承組件、轉子電機組件。加裝了諧波齒輪的大型SGCMG框架伺服系統主要包括框架組件、框架支承軸承組件、諧波齒輪傳動系統組件、框架電機組件。由于轉子轉速一般很高，轉速波動較小，而框架通常工作在低速狀態，本文暫不考慮轉子系統和框架組件的誤差與擾動，假設轉子工作在定常轉速狀態。

加裝了諧波齒輪的大型SGCMG框架伺服系統的工作原理為:諧波齒輪剛輪固聯在SGCMG基座上，框架電機輸出軸與諧波齒輪波發生器相連，諧波齒輪柔輪與框架軸相連;框架電機驅動諧波齒輪波發生器運動，從而使諧波齒輪柔輪驅動框架運動。于是，框架伺服系統又可分為框架電機側部分與框架側部分。

框架伺服系統中框架電機主要受到電機自身摩擦阻尼力矩和諧波齒輪嚙合摩擦力矩的作用，其運動方程可表示為

其中，Jpw為框架電機轉子轉動慣量;Jhw為諧波齒輪波發生器轉動慣量;ωmp為框架電機機械角速度;Tep為框架電機電磁轉矩;Tfp為框架電機自身摩擦阻尼力矩;Tfh為諧波齒輪嚙合摩擦力矩;Nhdt為諧波齒輪傳動比;Tcfs為諧波齒輪柔輪輸出力矩。

框架的運動方程可表示為

其中，Jgwz為SGCMG框架和轉子系統相對于框架自旋軸的轉動慣量;Tfg為框架支承軸承摩擦力矩;Tgwz為框架軸向擾動力矩。

2 SGCMG動力學方程

不考慮SGCMG框架和轉子的誤差，建立SGCMG轉動動力學方程，SGCMG示意圖如圖1所示。

2.1 坐標系與變量定義

為了描述SGCMG中各體之間的相對運動，定義如下空間直角坐標系:

1)基座參考坐標系fg0(og0xg0yg0zg0)，固聯在基座，og0取為框架幾何中心，zg0沿框架自旋軸方向，xg0，yg0指向規定方向;

2)框架坐標系fg(ogxgygzg)，固聯在框架，og為框架幾何中心，zg沿框架自旋軸方向，xg沿轉子自旋軸方向，yg滿足右手法則，初始情況下坐標系fg與坐標系fg0重合;

3)轉子幾何體坐標系fw(owxwywzw)，固聯在轉子，ow為轉子幾何中心，xw沿轉子自旋軸方向，初始情況下坐標系fw與坐標系fg重合。

記rxy為從oy到ox的矢徑在坐標系fy中的分量列陣，Rxy為從坐標系fy到坐標系fx的轉換矩陣。定義如下變量:

mw為轉子質量;

圖1 SGCMG示意圖

Iw為轉子相對于其各主慣量軸的慣量矩陣;mg為框架質量;

Ig為框架相對于其各主慣量軸的慣量矩陣;

v為坐標系fg0原點og0的絕對速度在坐標系fg0中的分量列陣;

ω為坐標系fg0的絕對角速度在坐標系fg0中的分量列陣;

Ω為坐標系fw相對于坐標系fg的角速度在坐標系fw中的分量列陣，記為Ω=［Ω 0 0］T，其中Ω為轉子自旋角速度;

δ為坐標系fg相對于坐標系fg0的旋轉角度在坐標系fg中的分量列陣，記為δ=［0 0 δ］T，其中δ為框架轉角;

Rwg為坐標系fg到坐標系fw的轉換矩陣;

Rgg0為坐標系fg0到坐標系fg的轉換矩陣。

2.2 SGCMG動力學方程

SGCMG的動量pcg及其相對于坐標系fg原點og的絕對動量矩表示在坐標系fg中為

利用動量矩定理可以得到SGCMG轉動動力學方程為

式中，Tg為框架驅動力矩表示在fg坐標系下對求導;ωg=Rgg0ω+δ˙為坐標系fg的絕對角速度在fg下的分量列陣;vg=Rgg0v為坐標系fg原點og的絕對速度在fg下的分量列陣。

式(5)展開后為

其中，Jgw為框架和轉子相關慣量變量，記Jgw=diag(JgwxJgwyJgwz);Tgw為框架和轉子相關力矩變量，記 Tgw=［TgwxTgwyTgwz］T。

3 框架支承軸承摩擦力矩

由于SGCMG框架轉速低，本文框架支承軸承摩擦力矩采用庫侖模型、粘性模型和Dahl模型的組合模型表示，該組合模型可以基本完整地描述摩擦力矩的動態特性和靜態特性，且模型簡單，因此廣泛應用于航空航天領域。于是，框架支承軸承摩擦力矩Tfg表示為

其中，Tcou=Kcsign()，Kc為庫侖摩擦力矩;Tvis=Kv，Kv為粘性摩擦系數;為角速度，在這里為框架轉速;函數sign(x)為符號函數;Tdah為Dahl模型摩擦力矩，Tdah(θ)對時間的導數表示為［10］

其中，θ表示旋轉角度，在這里為框架轉角δ;σ為靜態剛度;λ為與所描述材料有關的常數。

4 框架電機及其控制

航天器姿態任務模式(姿態穩定和姿態機動)的不同，使得SGCMG框架的轉速分布范圍較大。正弦永磁同步電機(Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM)能產生比較平滑的電磁轉矩，電磁轉矩波動小、轉速平穩、動態響應快、過載能力強，在此采用PMSM作為SGCMG框架電機。

4.1 PMSM方程

在兩相旋轉坐標系dq下

1)PMSM 磁鏈方程為［11］

2)PMSM 電壓方程為［11］

其中，Rs為定子繞組電阻;ωr為電機轉子電角速度;ud，uq分別為d，q軸上的兩相電壓。

3)PMSM 轉矩方程為［11］

其中，pn為電機極對數。

4)PMSM自身摩擦阻尼力矩Tfp采用庫侖模型和粘性模型的組合模型表示，為

其中，Tcou與Tvis的表達式和含義與式(8)相同。

4.2 PMSM控制

PMSM轉速控制有直接轉矩控制、矢量控制等方法。PMSM矢量控制(Vector Control，VC)又叫磁場定向控制(Field-Oriented Control，FOC)，其基本思想是將定子繞組電流矢量分解為產生磁場的電流分量id(勵磁電流)和產生轉矩的電流分量iq(轉矩電流)并分別加以控制，即對電機磁鏈與轉矩進行解耦控制，以實現電機的高性能控制。PMSM矢量控制的控制策略主要有:id=0控制、最大轉矩控制、弱磁控制、cosφ=1控制、最大效率控制等。id=0控制就是控制定子繞組在兩相旋轉坐標系dq中的d軸電流id等于0，同時精確控制q軸電流iq以獲得精確的電磁轉矩控制電機轉子轉速。本文框架電機采用id=0矢量控制方法進行轉速控制，控制系統模型如圖2所示［11］。其中，ω'm為指令角速度;速度控制器與電流控制器均采用PI控制器;計算得到的u'd和u'q控制量調制空間矢量脈寬調制(Space Vector Pulse Width Modulation，SVPWM)器輸出信號的波形，以控制電機逆變器橋路的導通與截止，最終實現電機調速。

圖2 PMSM轉速控制系統模型

5 諧波齒輪

諧波齒輪傳動系統可以看成是兩輸入兩輸出系統，如圖3所示。

圖3 諧波齒輪傳動系統輸入輸出模型

輸入為:波發生器輸入轉角θnwg(由于波發生器與框架電機輸出軸剛性連接，故這里為框架電機軸轉角);波發生器輸入力矩Tnwg;輸出為:柔輪后端轉角θcfs;柔輪輸出力矩Tcfs。完整的諧波齒輪傳動模型為在其減速特性上加上各種摩擦損失以及柔性傳動特性，如圖4所示。

圖4 諧波齒輪傳動系統特性圖［12］

其轉角和力矩的平衡關系為［13］

6 數值仿真

為了直觀地了解加裝諧波齒輪對SGCMG框架轉速的影響，建立包含框架電機和諧波齒輪傳動等特性的大型SGCMG動力學模型進行數值仿真，仿真中不考慮SGCMG基座即航天器本體的運動，仿真涉及的主要參數取值如表1～4所示。

表1 框架與轉子參數

表2 框架電機及其控制系統參數

表3 諧波齒輪傳動系統參數

表4 框架支承軸承摩擦模型參數

6.1 恒速控制

1)當SGCMG框架伺服系統未加裝諧波齒輪時SGCMG的框架轉速如圖5。

圖5 恒速控制時未加裝諧波齒輪的框架轉速

2)當SGCMG框架伺服系統加裝諧波齒輪時SGCMG的框架轉速如圖6。

圖6 恒速控制時加裝諧波齒輪后的框架轉速

比較圖5和6可知，SGCMG框架在恒速控制情況下:當SGCMG框架伺服系統未加裝諧波齒輪時SGCMG的框架轉速波動較大;而加裝諧波齒輪后框架轉速誤差明顯減小，但框架起旋階段轉速波動較大，同時加裝諧波齒輪給框架帶來高頻諧振。

6.2 隨動控制

1)當SGCMG框架伺服系統不加裝諧波齒輪時SGCMG的框架轉速為圖7所示。

圖7 正弦隨動控制時未加裝諧波齒輪的框架轉速

2)當SGCMG框架伺服系統加裝諧波齒輪時SGCMG的框架轉速為圖8所示。

圖8 正弦隨動控制時加裝諧波齒輪后的框架轉速

比較圖7和8可知SGCMG框架在正弦隨動控制情況下:當SGCMG框架伺服系統未加裝諧波齒輪時SGCMG的框架轉速波動依然明顯，且不能跟蹤低于0.4(°)/s的框架轉速指令;而加裝諧波齒輪后框架能準確地跟蹤框架轉速指令，也能很好地響應框架低速指令。

7 結論

對大型SGCMG框架伺服系統各主要組成部分、誤差及擾動的特性進行了分析，建立包含框架電機和諧波齒輪傳動等特性的大型SGCMG動力學模型并進行數值仿真，仿真結果表明:在相同條件下，在大型SGCMG框架伺服系統中加裝諧波齒輪可以減小框架轉速控制偏差，特別是提高框架低速運行時的控制精度，在框架隨動控制時能準確地跟蹤框架轉速指令;但同時加裝諧波齒輪也給框架帶來高頻諧振，需要采取有效措施對其進行抑制。

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Influence Analysis of Harmonic Gear to SGCMG Gimbal Rate Control

LIU Baoyu JIN Lei JIA Yinghong
School of Astronautics，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China

The control precision of gimbal rate is the main factor which affects the output torque accuracy of large-scale single gimbal control moment gyroscope(SGCMG)．Harmonic gear is a deceleration device with high transmission ratio，adding harmonic gear into gimbal servo system of large-scaleSGCMGto increase the rotor speed of gimbal motor is helpful to reduce the level of gimbal rate deviation．This paper describes in detail the characteristics of large-scaleSGCMGgimbal motor and harmonic gear drive;establishes the dynamics model of large-scaleSGCMGwith harmonic gear to analyze the influence of harmonic gear to largescaleSGCMGgimbal rate control．numerical simulation results indicate that harmonic gear significantly improves the gimbal rate control precision of large-scaleSGCMG，especially under low gimbal rate condition，and the output torque accuracy of large-scaleSGCMG;but harmonic gear simultaneously brings highfrequency resonance to gimbal．

Harmonic gear;SGCMG;Gimbal servo system;Modeling

V448.22

A

1006-3242(2014)02-0023-06

2013-03-12

劉寶玉(1985-)，男，江西人，碩士研究生，主要研究方向為航天器姿態動力學與控制;金 磊(1982-)，女，云南人，副教授，主要研究方向為航天器姿態動力學與控制;賈英宏(1976-)，男，河北人，副教授，主要研究方向為復雜結構航天器動力學與控制。