考慮資金時間價值的網店產品動態定價研究

王海娟+周永務

摘要： 在資金時間價值影響背景下，以僅有網店渠道的銷售商為研究對象，為在期末能將產品銷售完畢并最大化其收益，在假設顧客所訂商品由賣家免費配送，并且顧客在收到產品之前可以取消訂單的前提下，通過建模給出了銷售商期初的最優訂貨量、期內價格調整的最佳次數及每階段的最優價格的動態定價求解算法。最后的算例分析表明模型和算法是有效的，且動態定價相對于靜態定價能帶來更大的收益。

Abstract： Under the context of the time value， a retailer only with the online shop was researched as the object. Thus， in order to sell out all products at the end of the sell time and maximize the revenue， assuming the customer can cancel their orders prior to the receipt of the product and the delivery is free. The seller's optimal order quantity and the dynamic pricing strategy were given through a mathematical model. Finally， Numerical example shows the effectiveness of the model and the algorithm，and the superiority of dynamic pricing strategy compared with the static strategy.

關鍵詞： 供應鏈管理；動態定價；訂貨策略；資金時間價值

Key words： supply chain management；dynamic pricing；order policy；time value of money

中圖分類號：F272 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2014）19-0001-03

0 引言

電子商務的飛速發展，網絡零售如雨后春筍般出現并逐漸普及。由于實體店鋪需要占用一部分固定資金，而網上開店對資金投入的要求極低，另外淘寶、騰訊商城等為他們提供了有效的平臺，因此網店創業這一模式備受吹捧。網絡購物不同于實體店鋪購買，顧客先下單，賣家在規定時間內派送，并且顧客在收到商品前可以取消訂單。為避免多批次訂貨產生的高訂貨成本，一般銷售商會訂購一定數量的商品。在銷售期內動態調整價格來保證在期末將產品銷售完畢并且實現收益最大化。

國內外學者對動態定價方面的研究很多，Kincaid和Darling[1]是最早開始研究易逝品連續時間動態定價問題的，但將動態定價和收益管理聯系起來的是Gallego和van Ryzin[2]，后續動態定價文章都是在此基礎上發展而來的，申成霖等[3]從消費者策略行為出發，在需求是隨機情況下，確定了兩階段的最優價格策略來最大化其收益。Peng-sheng You[4]在假定需求是關于價格的線性函數條件下，研究了預售系統中，并且考慮取消的情況下，服務產品的訂貨及二階段定價策略。

文獻[3-4]是兩階段定價策略，但是在現實操作中，兩階段定價不一定是最優的，于是許多學者開始研究在銷售期內動態定價策略問題。李豪等[5]研究兩競爭的零售商在面對顧客策略行為時如何動態決定易逝品價格的問題，最后得出在供大于求的情況下，價格會隨銷售時間的增加而減少。Zhao和Zheng[6]研究了需求服從非齊次泊松過程的情況下，證明了最優價格隨庫存數量的增加而減少的價格連續變化的特征。

上述文獻得出價格隨某一因素連續變化的結果，但現實中，在一定銷售期內，價格的調整次數是有限的，并且連續價格不容易控制和實施。所以學者開始研究有限次價格改變的動態定價問題，如文獻[7-8]。但這些研究的背景與本文不同，秦進等[9]研究了網絡渠道和實體渠道共存下的季節性商品的動態定價問題，其假定訂單取消率為常數的情況下給出了價格調整的次數及銷售期初的采購量。

本文研究的是網店產品動態定價問題，與文獻[9]的不同之處在于：①本文考慮了在銷售期內的資金時間價值的影響。由于銷售期較長，而在銷售期內通常會出現因通貨膨脹帶來的貨幣購買力下降，或者通貨緊縮而導致的貨幣購買力上升的現象，即資金的時間價值是時刻變化的；②研究問題的背景不同，本文目的是在電子商務盛行的時代，為網店創業者提供動態定價策略指導；③本文假設顧客取消訂單收取的懲罰費用是價格的函數，并且訂單取消率是關于時間的減函數，因為一般來說，越接近消費日，即越接近收到貨物的時刻，訂單取消量會隨之降低。

1 模型的建立

1.1 模型假設 考慮以一銷售商在銷售期L開始前采購Q數量商品，在銷售期內，銷售商會對產品的價格進行動態調整，將銷售期長度L劃分為n個相等的時間階，每個階段的時間跨度是T，T=■，假設每隔相等時間T后，產品價格就會被重新調整一次，價格集合p■=p■，p■，…，p■；價格調整的同時，銷售商會將上一階段的訂單免費派送完畢，即在每階段末發貨；顧客收到商品前可以取消訂單，假定訂單取消率θ（t）=■，η∈（0，1），對于顧客取消訂單銷售商要收取一定的取消懲罰費用，假定取消懲罰費用是價格的函數ri=kpi，k為常數，需求函數D（pi）=α-βpi，i=1，2…n，α，β是正的常數；假設存在資金時間價值的影響，資金的貼現率為r，是個常數。

為了建立模型，變量定義如下：n：銷售期內價格設定的次數，是一個決策變量，Si（t）表示從第i階段開始到該時期內t時刻的累積銷售量，t∈[0，T]，c：單位采購成本，Ch：單位商品單位時間庫存持有成本，Ct：每次配送啟動成本。endprint

1.2 建立模型 根據前面對變量的定義，任意i階段銷售速率有■=D■p■-θ（t）S■（t），0？燮t？燮T，1？燮i？燮n （1）

因為在任意階段預訂的產品都將在該時期末被派送，即有S■（0）=0，將此條件用于求（1）式得S■（t）=■（2）

第i階段總銷售量為

n■■=■D■p■-■S■（t）dt=■ （3）

整個計劃期的銷售量為u■=■n■■=■■ （4）

所以，期初的采購量Q=un （5）

①銷售收益。

第i階段銷售收益的貼現值

R■■=■D■p■-■S■（t）p■e■dt=■D■p■p■ （6）

整個計劃期的銷售收益的貼現值

R■=■R■■e■=■■D■p■p■e■ （7）

②訂單取消費用收益。

第i階段訂單取消費用收益貼現值

R■■=■θ（t）S■（t）r■e■dt=■D■p■p■ （8）

整個計劃期的訂單取消費用收益

R■=■R■■e■=■■D■p■p■e■ （9）

③庫存保管費。

第i階段的庫存

■n■■=■■T （10）

每階段的庫存水平如圖1所示。

第i階段庫存保管費貼現值

■C■■■Te■dt=■■■T （11）

整個計劃期庫存保管費貼現值

C■=■■■■Te■ （12）

④商品采購成本。

C=cQ=cu■=c■n■■=c■■ （13）

⑤配送啟動成本。Ct=nct （14）

⑥總利潤。

R表示整個銷售期[0，L]的總利潤，總利潤由銷售產品的收入、顧客取消訂單的懲罰費用收入、庫存保管費、采購成本及配送成本這五部分構成，所以有總利潤

R=Rs+Rc-CH-C-Ct （15）

將T=■，Ti=■，D■p■=α-βp■代入上式得，

Rp■，n=■

■α-βp■p■e■+kη■α-βp■p■e■

-■■■■e■

-c■■-nc■ （16）

又由于產品的需求為D■p■=α-βp■，

需求必須滿足D■p■？叟0

所以最優的動態定價及最優訂貨模型為式（17）：

max Rp■，n s.t p■？芻■ （17）

1.3 模型求解 由于在實際銷售過程中，在一定的銷售期內，價格的改變次數的設置一般不會太多，即n的值一般不會太大，我們可以人為設定價格調整次數的上限N，因此我們可以分別求解給定n值時模型的最優解。

定理1、給定n，R（Pi，n）是關于Pi的嚴格凹函數

證明：■=■e■

（1+kη）α-2βp■+C■ibL/n+■ （18）

■=-■e■（1+kη）？芻0 （19）

■=0，i≠j （20）

所以可知海塞矩陣的符號是（-1）k，k=1，2，3…n，即海塞矩陣是負定的，所以R（Pi，n）是關于Pi的嚴格凹函數。

為求得產品的最優價格，定義下面一個函數：

u■=α/β-

cLr/n1-e■（1+kη）e■+c■iL/[n（1+kη）]

為求解第i階段的銷售價格Pi，我們引入定理2。

定理2、當n確定時，若u■？叟0，p■=p■■；若ui<0，Pi=α/β

證明：■=0？圯p■■=

1/2α/β+cLr/n1-e■（1+kη）e■+

C■iL/[n（1+kη）] （21）

若ui？叟0，則α/β>p■■，所以p■=p■■；若ui<0，則α/β？芻p■■，所以pi=α/β。

根據上面的分析，我們可以給出模型求解的方法，詳細步驟如下：步驟1、令n=1，即假設價格調整1次，即n*=1，max R=R（n*）；步驟2、若n

2 算例分析

某銷售量在銷售期初采購一批商品，在一定銷售時間內將其銷售完畢，銷售期長度為L=360天，貼現率r=0.01，單位產品單位時間的庫存保管費Ch=0.001，單位產品的采購成本c=1，每次的配送成本Ct=50，α=10，β=1，k=0.2。即產品需求為D（pi）=10-Pi。根據前面的求解方法，在不同的n值下利潤R及訂貨量Q如表1。從表1可以看出，隨著價格改變次數的增加，銷售商的收益先增加后減小，當價格設定次數n=3時，銷售商獲得最大收益R=1140.7，此時相應的訂貨量Q=188.9個單位。即在銷售期內價格改變了2次，相應的最優價格為5.9、7.9和10。另外從表中還可以看出銷售量大不一定所獲得的利潤就大；價格調整次數的變化會影響銷售商的總利潤和采購量；并且從上表明顯看出，在整個銷售期價格不發生變動時，即n=1時，獲得的收益為766.76，顯然產品的動態定價明顯優于靜態定價。

3 結束語

面對實體店鋪租金的壓力，越來越多的個體開始進行了網上商店產品的銷售。本文研究了一銷售商僅通過網店銷售產品，顧客購買的商品由銷售商免費配送，并且顧客在收到商品之前可以取消其訂單，但需要支付一個取消懲罰費用。通過建立相應的數學模型，給出了銷售商的最優訂貨數量及最優的價格調整次數問題，并推導出了最優的定價策略.經過分析發現，系統的總收益函數是關于銷售價格的凹函數；并給出了一個有效算法求出了在一個銷售期內最優的價格調整次數。最后的算例分析表明在銷售期內銷售商采用動態定價獲得的收益明顯優于靜態定價，可以使銷售商在期初以較少的訂購量獲得期末較大的收益。研究結果對于開網店的店主有一定的借鑒意義。

參考文獻：

[1]Kincaid， W. M.Darling. An inventory pricing problem[J].Mathematical Analysis and Application，1963（7）：183-208.

[2]Gallego，G and G.van Ryzin.Optional dynamic pricing of inventories with stochastic demand over finite horizons[J].Management Science，1994，40（8）： 999-1020.

[3]申成森，張鑫新.混合型消費者的短生命周期產品動態定價[J].工業工程，2011，14（1）：39-42.

[4]You P S. Ordering and pricing of service products in an advance sales system with pice-dependent demand[J]. European Journal of Operational Research，2006，170：57-71.

[5]李豪，熊中楷，彭志強.競爭環境下基于顧客策略行為的易逝品動態定價研究[J].中國管理科學，2011，19（2）：89-97.

[6]Zhao W， Zheng Y S. Optimal dynamic pricing for perishable assets with nonhomogeneous demand[J]. Management Science， 2000，

46：376-380.

[7]Feng， Y. and G. Gallego. Optimal starting times for end-of-season sales and optimal stopping times for promotional fares [J]. Management Science， 1995， 41（8）： 1371-1391.

[8]Bitran，G.R.and S.V.Mondschein.Periodic pricing， of seasonal products in retailing[J].Management Science，1997，43（1）： 64-79.

[9]秦進，倪玲森，繆立新.考慮采購數量的季節性商品的動態定價問題[J].系統工程理論與實踐，2011，31（7）：1259-1261.endprint

參考文獻：

[1]Kincaid， W. M.Darling. An inventory pricing problem[J].Mathematical Analysis and Application，1963（7）：183-208.

[2]Gallego，G and G.van Ryzin.Optional dynamic pricing of inventories with stochastic demand over finite horizons[J].Management Science，1994，40（8）： 999-1020.

[3]申成森，張鑫新.混合型消費者的短生命周期產品動態定價[J].工業工程，2011，14（1）：39-42.

[4]You P S. Ordering and pricing of service products in an advance sales system with pice-dependent demand[J]. European Journal of Operational Research，2006，170：57-71.

[5]李豪，熊中楷，彭志強.競爭環境下基于顧客策略行為的易逝品動態定價研究[J].中國管理科學，2011，19（2）：89-97.

[6]Zhao W， Zheng Y S. Optimal dynamic pricing for perishable assets with nonhomogeneous demand[J]. Management Science， 2000，

46：376-380.

[7]Feng， Y. and G. Gallego. Optimal starting times for end-of-season sales and optimal stopping times for promotional fares [J]. Management Science， 1995， 41（8）： 1371-1391.

[8]Bitran，G.R.and S.V.Mondschein.Periodic pricing， of seasonal products in retailing[J].Management Science，1997，43（1）： 64-79.

[9]秦進，倪玲森，繆立新.考慮采購數量的季節性商品的動態定價問題[J].系統工程理論與實踐，2011，31（7）：1259-1261.endprint

參考文獻：

[1]Kincaid， W. M.Darling. An inventory pricing problem[J].Mathematical Analysis and Application，1963（7）：183-208.

[2]Gallego，G and G.van Ryzin.Optional dynamic pricing of inventories with stochastic demand over finite horizons[J].Management Science，1994，40（8）： 999-1020.

[3]申成森，張鑫新.混合型消費者的短生命周期產品動態定價[J].工業工程，2011，14（1）：39-42.

[4]You P S. Ordering and pricing of service products in an advance sales system with pice-dependent demand[J]. European Journal of Operational Research，2006，170：57-71.

[5]李豪，熊中楷，彭志強.競爭環境下基于顧客策略行為的易逝品動態定價研究[J].中國管理科學，2011，19（2）：89-97.

[6]Zhao W， Zheng Y S. Optimal dynamic pricing for perishable assets with nonhomogeneous demand[J]. Management Science， 2000，

46：376-380.

[7]Feng， Y. and G. Gallego. Optimal starting times for end-of-season sales and optimal stopping times for promotional fares [J]. Management Science， 1995， 41（8）： 1371-1391.

[8]Bitran，G.R.and S.V.Mondschein.Periodic pricing， of seasonal products in retailing[J].Management Science，1997，43（1）： 64-79.

[9]秦進，倪玲森，繆立新.考慮采購數量的季節性商品的動態定價問題[J].系統工程理論與實踐，2011，31（7）：1259-1261.endprint