壓電驅(qū)動(dòng)器電壓及其頻率對(duì)驅(qū)動(dòng)速度的影響

摘 要： 為探究壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器電壓及其頻率與驅(qū)動(dòng)速度的關(guān)系，利用壓電陶瓷的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系導(dǎo)出了位移的二階微分方程。通過(guò)解該微分方程，得到了基于輸入電壓的壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器位移和速度的解析表示。利用壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器速度的解析表示，證明了對(duì)任何給定的時(shí)間，壓電驅(qū)動(dòng)器的速度與輸入電壓的幅值成線性關(guān)系；頻率與驅(qū)動(dòng)器速度的關(guān)系是一條幅值不斷變化的連續(xù)余弦曲線，隨著給定時(shí)間的增大，曲線的峰點(diǎn)逐步遠(yuǎn)離縱坐標(biāo)軸，余弦曲線的頻率也逐步增大。

關(guān)鍵詞： 應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系； 壓電驅(qū)動(dòng)器； 頻率； 輸入電壓

中圖分類(lèi)號(hào)： TN710?34； TQl74 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2014）13?0113?03

Influence of driving voltage and frequency of piezoelectric actuator on driving speed

AN Kai

（Shandong Aerospace Electro?technology Institute， Yantai 264670， China）

Abstract： In order to research into the problem about the influence of driving voltage and frequency of piezoelectric actuator on driving speed， the stress?strain relationship for piezoelectric ceramics is utilized to derive the second?order difference equation about displacement. By resolving the difference equation， the analytic expressions about displacement and speed of piezoelectric actuator are obtained as functions of input voltage. The analytic expression about speed of piezoelectric actuator shows that for any given time the speed of piezoelectric actuator is directly proportional to the amplitude of input voltage， and the relationship between frequency and the speed of piezoelectric actuator can be described as a consecutive cosine curve with variable amplitude， whose peak will keep away from longitudinal coordinate axis and whose frequency will increase gradually with the increase of given time.

Keywords： stress?strain relationship； piezoelectric actuator； frequency； input voltage

0 引 言

壓電陶瓷是一種可實(shí)現(xiàn)機(jī)械能與電能互相轉(zhuǎn)換的功能材料，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、體積小、重量輕、分辨率高等優(yōu)點(diǎn)，作為微操作器驅(qū)動(dòng)中的主流材料，已被廣泛應(yīng)用于航空、航天飛行器的精密制導(dǎo)、激光陀螺、自適應(yīng)光學(xué)、精密機(jī)械加工、自動(dòng)控制、半導(dǎo)體集成、生物醫(yī)學(xué)工程等技術(shù)領(lǐng)域[1?4]。壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的控制通常采用PI或PID控制器[5]。文獻(xiàn)[6]針對(duì)含有壓電智能結(jié)構(gòu)的柔性機(jī)械臂，提出了基于模糊PID融合控制理論的柔性機(jī)械臂振動(dòng)主動(dòng)控制方法，搭建了懸臂梁和平面1R、2R柔性機(jī)械臂實(shí)驗(yàn)裝置，并設(shè)計(jì)了相應(yīng)的控制系統(tǒng)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了柔性機(jī)械臂振動(dòng)的主動(dòng)控制。采用Preisach控制模型是壓電陶瓷控制的有效方法之一，但是采樣數(shù)據(jù)的不穩(wěn)定性仍然會(huì)對(duì)控制過(guò)程帶來(lái)較大的影響和誤差。為進(jìn)一步提高在實(shí)現(xiàn)過(guò)程中的定位控制精度及穩(wěn)定性，文獻(xiàn)[7]將積分分離PID控制應(yīng)用于壓電陶瓷定位過(guò)程，達(dá)到了預(yù)期的控制精度和效果。但由于PI或PID控制器的控制參數(shù)需要進(jìn)行反復(fù)調(diào)試才能確定，因此控制器的設(shè)計(jì)是一項(xiàng)耗時(shí)的工作。為縮短控制參數(shù)的調(diào)試時(shí)間，了解壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的工作特性，特別是研究驅(qū)動(dòng)電壓對(duì)驅(qū)動(dòng)器運(yùn)行的影響十分必要[8]。

文獻(xiàn)[9]針對(duì)一種新型的可直線運(yùn)動(dòng)的壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器，通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)其性能進(jìn)行了測(cè)試，給出了驅(qū)動(dòng)電壓及其頻率與驅(qū)動(dòng)器速度的關(guān)系曲線。由于曲線都是通過(guò)將離散的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)連接起來(lái)得到的，因此忽略了相鄰兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間頻率與驅(qū)動(dòng)器速度的真實(shí)關(guān)系以及不連續(xù)點(diǎn)的存在性。其次，由于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)必然存在的誤差，文獻(xiàn)[9]只是根據(jù)顯然不在同一直線上的三個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)連成的折線，斷言驅(qū)動(dòng)電壓與驅(qū)動(dòng)器速度基本成線性關(guān)系，而未對(duì)驅(qū)動(dòng)電壓與驅(qū)動(dòng)器速度成線性關(guān)系給出確定的結(jié)論。為給出精確的頻率與驅(qū)動(dòng)器速度關(guān)系曲線，并確定驅(qū)動(dòng)電壓與驅(qū)動(dòng)器速度的關(guān)系，本文將從壓電陶瓷的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系出發(fā)，導(dǎo)出壓電驅(qū)動(dòng)器位移的微分方程，由此獲得驅(qū)動(dòng)電壓及其頻率與驅(qū)動(dòng)器速度關(guān)系的解析表達(dá)式，并根據(jù)這些表達(dá)式研究壓電驅(qū)動(dòng)器電壓及其頻率對(duì)驅(qū)動(dòng)速度的影響。

1 壓電片位移的數(shù)學(xué)模型

壓電片的坐標(biāo)如圖1所示，電壓或電場(chǎng)沿[y]軸方向穿過(guò)其表面后，在[x]軸方向產(chǎn)生應(yīng)變和應(yīng)力，驅(qū)動(dòng)前面的載荷直線運(yùn)動(dòng)。應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為[9]：

[σc=Ecεc-d31Vtc]

其中[σc]是壓電片產(chǎn)生的應(yīng)力，[Ec]是壓電片的彈性模量；[εc]是壓電片的應(yīng)變；[d31]是與施加在壓電片上的電場(chǎng)相關(guān)的壓電常數(shù)；[V]是沿[y]軸方向施加的電壓；[tc]為壓電片的厚度 （沿[y]軸方向）。

圖1 壓電陶瓷的坐標(biāo)

若定義[V=0]時(shí)壓電片前面的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，則壓電片的應(yīng)變[εc]可以表示為[εc=xL，]其中[L]為壓電片沿[x]軸方向的長(zhǎng)度。壓電片的應(yīng)力[σc]用于使載荷產(chǎn)生加速度，因此[σc=md2xdt2，]其中[m]為載荷質(zhì)量與壓電片垂直于[x]軸方向一面的面積的比值。于是應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以表示為：

[md2xdt2+EcLx=Ecd31Vtc]

或

[md2xdt2+nx=pV] （1）

式中：[n=EcL]，[p=Ecd31tc]。

2 電壓與速度的關(guān)系

微分方程（1）相應(yīng)的齊次方程的通解為：

[x=c1sin（λt）+c2cos（λt）]

式中：[λ=nm。]利用常數(shù)變易法，設(shè)微分方程（1）的通解為：

[x=c1（t）sin（λt）+c2（t）cos（λt）]

其中[c1（t），c2（t）]是滿(mǎn)足方程組：

[c′1（t）sin（λt）+c′2（t）cos（λt）=0c′1（t）cos（λt）-c′2（t）sin（λt）=pλmV]

的待定函數(shù)。解上述方程組得：

[c′1（t）=pλmVcos（λt）c′2（t）=-pλmVsin（λt）]

因此：

[c1（t）=pλm0tVcos（λt）dt+c1c2（t）=-pλm0tVsin（λt）dt+c2]

[x=c1sin（λt）+c2cos（λt）+pλmsin（λt）0tVcos（λt）dt-pλmcos（λt）0tVsin（λt）dt=c1sin（λt）+c2cos（λt）+pλm0tVsin[λ（t-t）]dt]

[x=c1λcos（λt）-c2λsin（λt）+pm0tVcos[λ（t-t）]dt]

利用初始條件[x（0）=0，][x（0）=0]得[c1=c2=0]，因此：

[x=pλm0tVsin[λ（t-t）]dt]

令[V=Asin （ωt），]其中[A]為電壓幅值，[ω]為電壓的頻率，則：

[x=pλm0tAsin（ωt）sin[λ（t-t）]dt=pA2λm0t[cos（（ω+λ）t-λt）-cos（（ω-λ）t+λt）]dt]（2）

當(dāng)[ω≠λ]時(shí)，由式（2）得：

[x=pA2λmsin（ωt）+sin（λt）ω+λ-sin（ωt）-sin（λt）ω-λ=pAλmωsin（λt）-λsin（ωt）ω2-λ2]

當(dāng)[ω=λ]時(shí)，由式（2）得：

[x=pA2λm0t[cos（2λt-λt）-cos（λt）]dt=pA2λmsin（λt）+sin（λt）2λ-tcos（λt） =pA2λ2msin（λt）-pA2λmtcos（λt）]

因此：

[x=pAωm（ω2-λ2）（cos（λt）-cos（ωt）），ω≠λpA2mtsin（λt），ω=λ] （3）

由于：

[limω→λpAωm（ω2-λ2）（cos（λt）-cos（ωt））=pAωtsin（ωt）2mω=pAtsin（ωt）2m]

因此等式（3）給出的壓電陶瓷速度[x]在[ω=λ]處為可去不連續(xù)點(diǎn)，采用等式（3）的定義之后在區(qū)間[（0，+∞）]內(nèi)是連續(xù)的，而且，對(duì)于任何確定的時(shí)間[t]和頻率[ω（2π），]它與輸入電壓的幅值成線性關(guān)系。

3 頻率與速度的關(guān)系

對(duì)于任何確定的時(shí)間[t，]由于式（3）給出的曲線是一條連續(xù)曲線，因此在曲線：

[x=pAωm（ω2-λ2）（cos（λt）-cos（ωt））]

上找出有限個(gè)[ω≠λ]的點(diǎn)，只要這些點(diǎn)足夠稠密，連接這些點(diǎn)的曲線就可以反映頻率與速度的關(guān)系。

以邊長(zhǎng)為[L=]0.1 m的正方體壓電陶瓷為例，設(shè)

[Ec=6.6×1010][Nm2，][d31=24.5×10-12][mV，][tc=0.1]m，[A=10，]并設(shè)載荷重量為1 kg，則可以求得：

[m=100，][n=EcL=66×1010，][p=Ecd31L=16.17，][λ=nm]=81 240。

固定[t=1，]頻率與驅(qū)動(dòng)器速度的關(guān)系曲線如圖2所示。

圖2 頻率與驅(qū)動(dòng)器速度的關(guān)系

曲線達(dá)到峰值的頻率為：

[λt（2π）=12 936 Hz]

對(duì)于不同的時(shí)間[t，]曲線達(dá)到峰值的頻率將發(fā)生改變。隨著時(shí)間[t]的增大，曲線的波動(dòng)頻率[t（2π）]也將增大。

4 結(jié) 論

綜上所述，對(duì)于任何固定的時(shí)間[t]，壓電驅(qū)動(dòng)器的速度與輸入電壓的幅值成線性關(guān)系；頻率與驅(qū)動(dòng)器速度的關(guān)系是一條幅值不斷變化的連續(xù)余弦曲線，曲線的峰值在[λt（2π）]處達(dá)到，余弦曲線的頻率為[t（2π）。]隨著時(shí)間[t]的增大，曲線的峰點(diǎn)逐步遠(yuǎn)離縱坐標(biāo)軸，余弦曲線的頻率也將增大。

由圖2可以看出，電壓頻率與驅(qū)動(dòng)器速度的關(guān)系是比較復(fù)雜的，通過(guò)一些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)根本無(wú)法找到曲線的極值點(diǎn)，特別是隨著時(shí)間[t]的增加余弦曲線的頻率也逐步增大，在同樣的頻率區(qū)間內(nèi)極值點(diǎn)也逐步增加。借助應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系導(dǎo)出的解析式，可以準(zhǔn)確地反映驅(qū)動(dòng)器速度隨頻率的變化過(guò)程，克服實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量干擾對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)論的影響。通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式中的參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，再利用經(jīng)參數(shù)辨識(shí)后的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式研究壓電驅(qū)動(dòng)器電壓及其頻率對(duì)驅(qū)動(dòng)速度的影響是一個(gè)需要進(jìn)一步研究的問(wèn)題

參考文獻(xiàn)

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[7] 曹榮，秦嵐，夏含信，等.PID控制技術(shù)在壓電陶瓷精密定位過(guò)程的應(yīng)用[J].儀器儀表學(xué)報(bào)，2004，25（z3）：132?135.

[8] 安凱，馬佳光，傅承毓.由Z傳遞函數(shù)確定PID控制器參數(shù)[J].光電工程，2001，28（6）：7?9.

[σc=Ecεc-d31Vtc]

其中[σc]是壓電片產(chǎn)生的應(yīng)力，[Ec]是壓電片的彈性模量；[εc]是壓電片的應(yīng)變；[d31]是與施加在壓電片上的電場(chǎng)相關(guān)的壓電常數(shù)；[V]是沿[y]軸方向施加的電壓；[tc]為壓電片的厚度 （沿[y]軸方向）。

圖1 壓電陶瓷的坐標(biāo)

若定義[V=0]時(shí)壓電片前面的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，則壓電片的應(yīng)變[εc]可以表示為[εc=xL，]其中[L]為壓電片沿[x]軸方向的長(zhǎng)度。壓電片的應(yīng)力[σc]用于使載荷產(chǎn)生加速度，因此[σc=md2xdt2，]其中[m]為載荷質(zhì)量與壓電片垂直于[x]軸方向一面的面積的比值。于是應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以表示為：

[md2xdt2+EcLx=Ecd31Vtc]

或

[md2xdt2+nx=pV] （1）

式中：[n=EcL]，[p=Ecd31tc]。

2 電壓與速度的關(guān)系

微分方程（1）相應(yīng)的齊次方程的通解為：

[x=c1sin（λt）+c2cos（λt）]

式中：[λ=nm。]利用常數(shù)變易法，設(shè)微分方程（1）的通解為：

[x=c1（t）sin（λt）+c2（t）cos（λt）]

其中[c1（t），c2（t）]是滿(mǎn)足方程組：

[c′1（t）sin（λt）+c′2（t）cos（λt）=0c′1（t）cos（λt）-c′2（t）sin（λt）=pλmV]

的待定函數(shù)。解上述方程組得：

[c′1（t）=pλmVcos（λt）c′2（t）=-pλmVsin（λt）]

因此：

[c1（t）=pλm0tVcos（λt）dt+c1c2（t）=-pλm0tVsin（λt）dt+c2]

[x=c1sin（λt）+c2cos（λt）+pλmsin（λt）0tVcos（λt）dt-pλmcos（λt）0tVsin（λt）dt=c1sin（λt）+c2cos（λt）+pλm0tVsin[λ（t-t）]dt]

[x=c1λcos（λt）-c2λsin（λt）+pm0tVcos[λ（t-t）]dt]

利用初始條件[x（0）=0，][x（0）=0]得[c1=c2=0]，因此：

[x=pλm0tVsin[λ（t-t）]dt]

令[V=Asin （ωt），]其中[A]為電壓幅值，[ω]為電壓的頻率，則：

[x=pλm0tAsin（ωt）sin[λ（t-t）]dt=pA2λm0t[cos（（ω+λ）t-λt）-cos（（ω-λ）t+λt）]dt]（2）

當(dāng)[ω≠λ]時(shí)，由式（2）得：

[x=pA2λmsin（ωt）+sin（λt）ω+λ-sin（ωt）-sin（λt）ω-λ=pAλmωsin（λt）-λsin（ωt）ω2-λ2]

當(dāng)[ω=λ]時(shí)，由式（2）得：

[x=pA2λm0t[cos（2λt-λt）-cos（λt）]dt=pA2λmsin（λt）+sin（λt）2λ-tcos（λt） =pA2λ2msin（λt）-pA2λmtcos（λt）]

因此：

[x=pAωm（ω2-λ2）（cos（λt）-cos（ωt）），ω≠λpA2mtsin（λt），ω=λ] （3）

由于：

[limω→λpAωm（ω2-λ2）（cos（λt）-cos（ωt））=pAωtsin（ωt）2mω=pAtsin（ωt）2m]

因此等式（3）給出的壓電陶瓷速度[x]在[ω=λ]處為可去不連續(xù)點(diǎn)，采用等式（3）的定義之后在區(qū)間[（0，+∞）]內(nèi)是連續(xù)的，而且，對(duì)于任何確定的時(shí)間[t]和頻率[ω（2π），]它與輸入電壓的幅值成線性關(guān)系。

3 頻率與速度的關(guān)系

對(duì)于任何確定的時(shí)間[t，]由于式（3）給出的曲線是一條連續(xù)曲線，因此在曲線：

[x=pAωm（ω2-λ2）（cos（λt）-cos（ωt））]

上找出有限個(gè)[ω≠λ]的點(diǎn)，只要這些點(diǎn)足夠稠密，連接這些點(diǎn)的曲線就可以反映頻率與速度的關(guān)系。

以邊長(zhǎng)為[L=]0.1 m的正方體壓電陶瓷為例，設(shè)

[Ec=6.6×1010][Nm2，][d31=24.5×10-12][mV，][tc=0.1]m，[A=10，]并設(shè)載荷重量為1 kg，則可以求得：

[m=100，][n=EcL=66×1010，][p=Ecd31L=16.17，][λ=nm]=81 240。

固定[t=1，]頻率與驅(qū)動(dòng)器速度的關(guān)系曲線如圖2所示。

圖2 頻率與驅(qū)動(dòng)器速度的關(guān)系

曲線達(dá)到峰值的頻率為：

[λt（2π）=12 936 Hz]

對(duì)于不同的時(shí)間[t，]曲線達(dá)到峰值的頻率將發(fā)生改變。隨著時(shí)間[t]的增大，曲線的波動(dòng)頻率[t（2π）]也將增大。

4 結(jié) 論

綜上所述，對(duì)于任何固定的時(shí)間[t]，壓電驅(qū)動(dòng)器的速度與輸入電壓的幅值成線性關(guān)系；頻率與驅(qū)動(dòng)器速度的關(guān)系是一條幅值不斷變化的連續(xù)余弦曲線，曲線的峰值在[λt（2π）]處達(dá)到，余弦曲線的頻率為[t（2π）。]隨著時(shí)間[t]的增大，曲線的峰點(diǎn)逐步遠(yuǎn)離縱坐標(biāo)軸，余弦曲線的頻率也將增大。

由圖2可以看出，電壓頻率與驅(qū)動(dòng)器速度的關(guān)系是比較復(fù)雜的，通過(guò)一些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)根本無(wú)法找到曲線的極值點(diǎn)，特別是隨著時(shí)間[t]的增加余弦曲線的頻率也逐步增大，在同樣的頻率區(qū)間內(nèi)極值點(diǎn)也逐步增加。借助應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系導(dǎo)出的解析式，可以準(zhǔn)確地反映驅(qū)動(dòng)器速度隨頻率的變化過(guò)程，克服實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量干擾對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)論的影響。通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式中的參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，再利用經(jīng)參數(shù)辨識(shí)后的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式研究壓電驅(qū)動(dòng)器電壓及其頻率對(duì)驅(qū)動(dòng)速度的影響是一個(gè)需要進(jìn)一步研究的問(wèn)題

參考文獻(xiàn)

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[7] 曹榮，秦嵐，夏含信，等.PID控制技術(shù)在壓電陶瓷精密定位過(guò)程的應(yīng)用[J].儀器儀表學(xué)報(bào)，2004，25（z3）：132?135.

[8] 安凱，馬佳光，傅承毓.由Z傳遞函數(shù)確定PID控制器參數(shù)[J].光電工程，2001，28（6）：7?9.

[σc=Ecεc-d31Vtc]

其中[σc]是壓電片產(chǎn)生的應(yīng)力，[Ec]是壓電片的彈性模量；[εc]是壓電片的應(yīng)變；[d31]是與施加在壓電片上的電場(chǎng)相關(guān)的壓電常數(shù)；[V]是沿[y]軸方向施加的電壓；[tc]為壓電片的厚度 （沿[y]軸方向）。

圖1 壓電陶瓷的坐標(biāo)

若定義[V=0]時(shí)壓電片前面的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，則壓電片的應(yīng)變[εc]可以表示為[εc=xL，]其中[L]為壓電片沿[x]軸方向的長(zhǎng)度。壓電片的應(yīng)力[σc]用于使載荷產(chǎn)生加速度，因此[σc=md2xdt2，]其中[m]為載荷質(zhì)量與壓電片垂直于[x]軸方向一面的面積的比值。于是應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以表示為：

[md2xdt2+EcLx=Ecd31Vtc]

或

[md2xdt2+nx=pV] （1）

式中：[n=EcL]，[p=Ecd31tc]。

2 電壓與速度的關(guān)系

微分方程（1）相應(yīng)的齊次方程的通解為：

[x=c1sin（λt）+c2cos（λt）]

式中：[λ=nm。]利用常數(shù)變易法，設(shè)微分方程（1）的通解為：

[x=c1（t）sin（λt）+c2（t）cos（λt）]

其中[c1（t），c2（t）]是滿(mǎn)足方程組：

[c′1（t）sin（λt）+c′2（t）cos（λt）=0c′1（t）cos（λt）-c′2（t）sin（λt）=pλmV]

的待定函數(shù)。解上述方程組得：

[c′1（t）=pλmVcos（λt）c′2（t）=-pλmVsin（λt）]

因此：

[c1（t）=pλm0tVcos（λt）dt+c1c2（t）=-pλm0tVsin（λt）dt+c2]

[x=c1sin（λt）+c2cos（λt）+pλmsin（λt）0tVcos（λt）dt-pλmcos（λt）0tVsin（λt）dt=c1sin（λt）+c2cos（λt）+pλm0tVsin[λ（t-t）]dt]

[x=c1λcos（λt）-c2λsin（λt）+pm0tVcos[λ（t-t）]dt]

利用初始條件[x（0）=0，][x（0）=0]得[c1=c2=0]，因此：

[x=pλm0tVsin[λ（t-t）]dt]

令[V=Asin （ωt），]其中[A]為電壓幅值，[ω]為電壓的頻率，則：

[x=pλm0tAsin（ωt）sin[λ（t-t）]dt=pA2λm0t[cos（（ω+λ）t-λt）-cos（（ω-λ）t+λt）]dt]（2）

當(dāng)[ω≠λ]時(shí)，由式（2）得：

[x=pA2λmsin（ωt）+sin（λt）ω+λ-sin（ωt）-sin（λt）ω-λ=pAλmωsin（λt）-λsin（ωt）ω2-λ2]

當(dāng)[ω=λ]時(shí)，由式（2）得：

[x=pA2λm0t[cos（2λt-λt）-cos（λt）]dt=pA2λmsin（λt）+sin（λt）2λ-tcos（λt） =pA2λ2msin（λt）-pA2λmtcos（λt）]

因此：

[x=pAωm（ω2-λ2）（cos（λt）-cos（ωt）），ω≠λpA2mtsin（λt），ω=λ] （3）

由于：

[limω→λpAωm（ω2-λ2）（cos（λt）-cos（ωt））=pAωtsin（ωt）2mω=pAtsin（ωt）2m]

因此等式（3）給出的壓電陶瓷速度[x]在[ω=λ]處為可去不連續(xù)點(diǎn)，采用等式（3）的定義之后在區(qū)間[（0，+∞）]內(nèi)是連續(xù)的，而且，對(duì)于任何確定的時(shí)間[t]和頻率[ω（2π），]它與輸入電壓的幅值成線性關(guān)系。

3 頻率與速度的關(guān)系

對(duì)于任何確定的時(shí)間[t，]由于式（3）給出的曲線是一條連續(xù)曲線，因此在曲線：

[x=pAωm（ω2-λ2）（cos（λt）-cos（ωt））]

上找出有限個(gè)[ω≠λ]的點(diǎn)，只要這些點(diǎn)足夠稠密，連接這些點(diǎn)的曲線就可以反映頻率與速度的關(guān)系。

以邊長(zhǎng)為[L=]0.1 m的正方體壓電陶瓷為例，設(shè)

[Ec=6.6×1010][Nm2，][d31=24.5×10-12][mV，][tc=0.1]m，[A=10，]并設(shè)載荷重量為1 kg，則可以求得：

[m=100，][n=EcL=66×1010，][p=Ecd31L=16.17，][λ=nm]=81 240。

固定[t=1，]頻率與驅(qū)動(dòng)器速度的關(guān)系曲線如圖2所示。

圖2 頻率與驅(qū)動(dòng)器速度的關(guān)系

曲線達(dá)到峰值的頻率為：

[λt（2π）=12 936 Hz]

對(duì)于不同的時(shí)間[t，]曲線達(dá)到峰值的頻率將發(fā)生改變。隨著時(shí)間[t]的增大，曲線的波動(dòng)頻率[t（2π）]也將增大。

4 結(jié) 論

綜上所述，對(duì)于任何固定的時(shí)間[t]，壓電驅(qū)動(dòng)器的速度與輸入電壓的幅值成線性關(guān)系；頻率與驅(qū)動(dòng)器速度的關(guān)系是一條幅值不斷變化的連續(xù)余弦曲線，曲線的峰值在[λt（2π）]處達(dá)到，余弦曲線的頻率為[t（2π）。]隨著時(shí)間[t]的增大，曲線的峰點(diǎn)逐步遠(yuǎn)離縱坐標(biāo)軸，余弦曲線的頻率也將增大。

由圖2可以看出，電壓頻率與驅(qū)動(dòng)器速度的關(guān)系是比較復(fù)雜的，通過(guò)一些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)根本無(wú)法找到曲線的極值點(diǎn)，特別是隨著時(shí)間[t]的增加余弦曲線的頻率也逐步增大，在同樣的頻率區(qū)間內(nèi)極值點(diǎn)也逐步增加。借助應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系導(dǎo)出的解析式，可以準(zhǔn)確地反映驅(qū)動(dòng)器速度隨頻率的變化過(guò)程，克服實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量干擾對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)論的影響。通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式中的參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，再利用經(jīng)參數(shù)辨識(shí)后的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式研究壓電驅(qū)動(dòng)器電壓及其頻率對(duì)驅(qū)動(dòng)速度的影響是一個(gè)需要進(jìn)一步研究的問(wèn)題

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