基于球面調和映射的三維產品形態融合方法研究

蘇建寧， 吳江華， 劉 蕓， 張秦瑋

（1. 蘭州理工大學設計藝術學院，甘肅 蘭州 730050；2. 蘭州理工大學機電工程學院，甘肅 蘭州 730050）

產品形態是表達產品設計思想與實現產品功能的語言和媒介，通過形態的設計不僅要實現產品的使用功能還要傳達精神、文化等層面的意義與象征性，所以產品形態是產品自身的功能、結構、材料以及工藝技術等客觀因素，與設計者和消費者在審美、價值判斷等主觀因素相互作用的綜合結果[1]。

圖像變形技術在最近幾年的應用變得越來越廣泛，主要是將一個二維圖像轉變為另一個二維圖像[2]。隨著時代的發展，二維圖像的變形越來越不能滿足行業的需求，為了充分發揮在動畫和設計行業中形態變形的優勢，三維形態變形技術變得越來越重要[3]，并逐漸成為研究的熱點。Lin和 Lee[4]針對多面體產品形態，提出一種可以創建包含兩個給定嵌入體模型點、線、面融合嵌入體模型的三維形態變形方法，Yang和 Bert[5]提出一種通過使用 T-樣條曲線標量函數來創建中間形態的三維變形方法，袁浩等[6]提出通過實現特征曲線的融合而得到局部三維形態變形的方法，上述方法對于比較復雜的產品形態，在變形時不能很好地保持兩個形態之間的對應關系。

針對此問題，本研究提出一種基于球面調和映射的三維產品形態變形方法，首先應用球面調和映射對三維產品形態進行描述[7]，包括對產品進行網格劃分和球面參數化。然后運用描述結果，提出一種將兩種產品形態進行融合的新算法，實現在兩個三維產品之間形態的變形，以此來豐富產品的形態。該變形方法適用于任意具有相同拓撲結構的產品形態，本研究整體框架如圖1所示。

1 基于球面調和映射的產品形態描述

1.1 產品表面數據結構

本研究中使用三維工程軟件來設計產品結構模型，然后劃分三角網格，其所構成的幾何拓撲結構[8]為三維形態的表面數據結構，劃分三角網格的方法采用三維實體網格自適應劃分算法[9]。該算法在對對象的加密區域、區域布點等前期處理后，將選取的節點集進行Delaunay三角剖分，選取最優節點，并對特征集中區域進行局部加密，從而完成三維產品的網格劃分。基于以上方法，一個鼠標基體模型的表面結構示意圖如圖2所示。

圖1 研究整體框架

圖2 表面模型結構

將形態劃分完三角網格后，最后提取網格信息，由此來獲得模型表面數據結構，其由模型表面幾何拓撲結構組成。模型表面幾何拓撲結構包括坐標原點(0,0,0)、表面節點和三角網格面，其中節點的記錄包括該點的空間直角坐標(x,y,z)和點的識別號，三角網格面的記錄包括3個點的識別號和面的識別號，當從對象物體的外面看時，每個面上的點均逆時針旋轉排列。

1.2 球面參數化

基于球面調和映射，對產品進行球面參數化，由此生成三維模型的嵌入體E1和E2。球面參數化建立了一個從三維網格曲面到參數域（單位球面）的連續均勻的映射[10-11]，其過程在極坐標下進行。極坐標θ和?確定如下：

（1）緯度θ由0（北極點）平穩的增長到π（南極點）。對于每一個節點（除了兩個極點），在滿足邊界條件的前提下，采用相應的連續拉普拉斯方程?2θ=0，建立一個線性系統來求解所需的緯度屬性值θ。在這種離散系統下，每一個節點的緯度值（除兩個極點外）必須等于鄰近節點緯度的平均值，然后通過求解一個稀疏對稱線性方程組Aθ=b，其中A為n階矩陣，n為節點個數，θ= (θ,θ ,…θ)T，b是一個n維常向量。01n-1在此系統下，邊界條件提供了兩個方程，所以此系統共有 n*=n- 2 個方程未知。應用邊界條件θ0=θnorth，θn-1=θsouth，該線性方程組可轉化成n*階線性系統 A*θ*=b*，其中 A*=（a11,a12,… an*n*）是一個對稱矩陣，θ*= (θ1,θ2,…θ*)T。n

該方法有一個重要的特性，緯度θ在兩極點之間持續單調變化，根據最大值原理，θ沒有局部極值點。

（2）與緯度θ不同的是，經度?是一個循環的參數。從北極往下看，當沿著球面逆時針運動時，經度?一直單調遞增，最終指定一個位置讓其達到2π。一個球體上的經度參數包含一條在南極和北極之間運行的不連續的線段，階躍高度差是2π。在形成的網狀結構中，去除兩個極點和所有與極點連接的線段，可以得到管狀的拓撲網格結構。同樣采用循環拉普拉斯方程?2φ=0，通過求解一個線性方程組來解決這種離散問題。這個新的線性方程組在結構上和緯度相同，只有六個對角項的值和緯度不同，即每個極點對應3個鄰近點的值不同。

由于方程組具有周期性的邊界條件，通過添加一個周期常數來求解?，定義兩極點處的經度φnorth=φsouth=0。此線性方程組是相互關聯的奇異系統，為了使其常規化，必須指定一個點的經度值，任意指定方程φ1=0，并將此方程添加到線性方程組的第一行。

基于以上算法，對于模型中的每一個點，計算了緯度 θ和經度 ?，由此建立了從三維模型表面到單位球面的一個連續均勻的映射。映射的結果是在面上的每個點r和一對球面坐標θ（緯度）和?（經度）之間的一個雙映射[12]，表達如下：

其中θ ∈ [ 0 ,π],φ ∈ [ 0 ,2π]，并且滿足：

當自由變量θ和?在整個球體上運動時，r在三維產品形態的整個表面運動。圖3給出了一個鼠標基體模型的球面參數化實例，其數據結構包括球面點的空間坐標和點的識別號。

圖3 鼠標基體模型的球面參數化

2 三維產品形態融合技術

對于網格化的源模型M1和目標模型M2，首先通過其嵌入體模型來建立二者之間點的對應關系，然后通過插入這些點的對應關系來生成融合模型形態中所有點的三維位置，最后創建融合嵌入體三角網格面。包含以下4個階段：

（1）點的對應關系。對于球面嵌入體模型E1和 E2上的每一個點，計算其在三維模型表面M1和M2上對應的三維位置。首先計算E1上的每一個點在M2上的三維位置，其中表示E1上任意點的位置。由于E1和E2上的所有點都位于同一空間直角坐標系下，可計算出位于E2的一個面f=｛i,j,k｝內部，其中｛i,j,k｝表示 E2上的 3個點、、所形成的一個三角面。令、分別表示在三維模型、M2上對應的三維位置，計算出在面f上的重心坐標（u,v ,w ），如圖4所示。由于E1和E2保持了M1和M2的拓撲結構，利用重心坐標，E1上的每一個點在M2上對應的三維位置可以計算如下：

然后計算E2上的每一個點在M1上的三維位置，其中表示E2上任意點的位置。令、分別表示在三維模型M1、M2上對應的三維位置，同樣的，對于 E2上的每一個點，可以計算其在M1上對應的三維位置。

基于以上算法，可以對M1、M2上的點進行拓展，以此來減小形態的失真。構建矩陣=[其中分別表示拓展后M1、M2上所有點的三維位置。

（2）插值。在建立了源模型和目標模型一一對應關系之后，本研究采用線性插值實現從源模型M1到目標模型M2中產品形態的轉變。對于任意插值點 t ∈ [ 0 ,1]，融合模型中各個點的位置計算如下：

（3）檢驗。檢查E1和E2的線與線之間是否存在相交，若存在相交，則將這兩條相交線沿著交點處分成兩條線段。

（4）在Ec中創建三角網格面。首先將每一個點和與這個點相連的所有線段逆時針排列，然后通過兩條連續的線段 ei=｛i,k ｝和 ej= ｛ j,k｝ 可以生成一個新的三角面 fc=｛i,j,k｝。如果在點j和點k之間沒有線段，則在這兩點之間創建一條新的線段｛j,k｝，并將其添加到線段的列表當中。一直持續這個操作，直到Ec中每條線段的兩側都包含一個三角網格面，則創建了Ec中的三角網格面。

圖4 E1上的點映射到E2上

3 實例研究

本研究中選用兩種不同形態的鼠標基體模型進行實例研究。利用相應算法將兩個模型劃分三角網格之后，鼠標1的結構數據包含4350個點和8696個三角網格面，鼠標2的結構數據包含3494個點和6984個三角網格面，表面數據結構如表1和表2所示。

表1 鼠標1的表面數據結構

基于球面調和映射，應用Matlab軟件編寫相應的算法程序，將三維模型球面參數化，生成三維模型的嵌入體模型，同時提取球面參數化數據，如表3和表4所示。

表2 鼠標2的表面數據結構

表3 鼠標1的球面參數化數據

表4 鼠標2的球面參數化數據

將模型球面參數化后，應用參數化數據重構模型表面。在同一空間直角坐標系下，將兩個嵌入體融合，計算每個點之間的對應關系，最后應用線性插值方法將中間形態輸出。運行的計算機圖形用戶界面如圖5所示。

界面左邊顯示兩個不同形態的三維源模型和目標模型及其嵌入體模型，右邊是融合的三維模型形態及其嵌入體模型。在此界面下，用戶可以通過設定任意插值點t（從0到1）的值來產生多種融合形態，還可以通過平移、旋轉、縮放來更加清楚地查看產生的中間形態。圖 6顯示了由源模型轉變到目標模型產生的一些中間形態。

圖5 產品形態融合的計算機圖形用戶界面

4 結 論

在產品創新設計中，形態的多樣化對提高產品的市場競爭力具有重要的作用。本研究從產品形態出發，運用球面調和映射的分析方法，提出一種豐富產品形態的新方法。總結本研究內容，主要有以下兩方面的結論。

（1）通過將三維產品形態劃分三角網格，利用球面調和映射對形態表面數據進行球面參數化處理，得到兩個嵌入體模型。球面調和映射是建立三維模型球面參數化的有力工具，其魯棒性好、結構緊湊，能最大限度的減小尺度的失真，同時能較好地保證三維模型的拓撲結構。

（2）應用得到的嵌入體模型，建立兩種不同產品形態表面上各個點的對應關系。利用線性插值方法得到更多的中間形態，從而達到豐富產品形態的目的。

圖6 鼠標1到鼠標2的形態轉變

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