區間參數梁結構熱彈耦合效應分析

云永琥， 陳建軍， 趙 寬， 閻 彬， 曹鴻鈞

(西安電子科技大學 電子裝備結構設計教育部重點實驗室，陜西 西安 710071)

近年來，結構在突加熱載作用下的動力響應問題引起了人們的關注．例如在航天器結構周期性進出陰影區和日照區時，其中柔性結構由于瞬態溫度梯度的巨變將有可能導致熱致振動[1]．反之，結構的變形也會引起其熱輻射邊界條件的改變，從而導致結構溫度場的變化，顯然，此時結構的溫度場與變形場是相互耦合的．但在計算精度要求不高的情況下，對于受到瞬態溫變作用的結構動力學分析，通常可以忽略其熱彈耦合效應，在計算中只需將溫度梯度產生的熱彎矩當作等效載荷引入到動力學方程中即可．如文獻[2]用有限元方法對矩形板進行了熱致振動分析，并通過實驗驗證了該方法的有效性．文獻[3]對層疊板的熱誘發振動進行了有限元計算．文獻[4]對結構的熱動力響應和熱致振動等問題進行了分析．以上文獻均未考慮結構變形對溫度場的影響，而在計算精度要求較高的情況下，結構中熱彈耦合項的作用將不能忽視．文獻[5]提出了耦合系數的概念，并對梁結構進行了熱彈耦合分析．在Boley工作的基礎上，國內外學者相繼開展了一些研究．文獻[6]對功能梯度梁的熱彈耦合進行了有限元分析．文獻[7]利用有限元方法分析了二維平面板考慮熱彈耦合的熱動力響應問題，給出了熱彈耦合項對響應的影響．文獻[8]在考慮熱彈耦合效應下，分析了Timoshenko梁同時受到熱載荷和力載荷作用時的動力特性，并提出了求解耦合動力學方程的方法．文獻[9]對輻射換熱條件下的空間薄壁桿件的熱-動力學耦合問題進行了有限元分析，得到了熱載荷對結構響應的影響．

目前，在結構熱彈耦合效應分析中，研究對象基本上為確定性參數模型．然而，由于結構在制造過程中的各種不確定性因素以及誤差的影響，導致結構的物性參數具有一定的不確定性，并且結構所受的熱載荷和力載荷有時亦具有不確定性，此時結構的動力響應也將呈現出不確定性．因此，分析結構所受載荷及其物性參數的不確定性對動力響應的影響，其結果較確定性問題的解無疑更加符合客觀實際．文獻[10]將不確定結構參數視為隨機變量，利用隨機因子法推導出結構動力響應的均值和方差的計算表達式，對隨機參數彈性桿在瞬態溫度場下的響應問題進行了分析．文獻[11-12]利用區間分析方法對區間不確定性結構的動態特性和動態響應進行了分析．

筆者針對Euler-Bernouli梁結構，考慮其物性參數、溫度和外力載荷均為區間變量，建立了其熱彈耦合動力學區間有限元方程，提出了結構熱彈耦合動力響應范圍的區間計算方法．并通過算例證明了該方法的可行性與有效性．考察了結構的區間物性參數對梁動力響應的影響，以及結構受力變形對熱彈耦合效應的影響．

圖1 懸臂梁結構圖

1 熱彈耦合懸臂梁有限元方程的建立與求解

以圖1矩形截面懸臂梁為分析對象，環境溫度為T0，在t=0的初始時刻，梁的上端面同時受到階躍均布力f和熱流q的共同作用，下端面絕熱，忽略固定端面的熱傳導和自由端截面以及前后表面的換熱．由于熱流在梁上端面均勻分布，沿著梁軸向任意截面上的溫度處處相等，因此熱流僅沿梁厚度方向傳導．鑒于此，求解該梁熱彈耦合動力響應將需分別構建以下兩種有限元模型．

1.1 梁動力學有限元模型

圖2 熱分析模型

通過對各個單元進行組集，可得梁的動力學有限元方程為[13]

(1)

其中，u為結構的位移向量，M和K分別為結構的總質量矩陣和總剛度矩陣，FB為總力載荷向量，FT為總溫度載荷向量．

1.2 梁熱分析有限元模型

梁熱分析模型如圖2所示．將梁橫截面沿厚度方向離散分為m個單元和m+1個節點．由自由能密度和熵密度的計算，并利用最小勢能原理，導出一維耦合熱傳導有限元方程為[7]

其中，T為待求的節點瞬態溫度向量；C為熱容矩陣；KT為熱傳導剛度矩陣；P為節點熱載荷列陣；N為單元節點溫度的形函數；B為單元節點位移應變矩陣；H為溫度與彈性變形的耦合矩陣項，它表明溫度場不僅與熱源、熱力學物性參數及換熱邊界條件有關，還受到彈性變形應變率的影響，其在一定程度上改變物體內部的熱量傳遞；k為熱傳導系數；ρ為質量密度；c為比熱容；μ為泊松比；q為熱流量；T0為結構初始溫度．

1.3 熱彈耦合下動力響應求解

對于文中熱彈耦合動力學有限元方程求解的問題，采用聯立求解式(1)和式(2)，并相互交替迭代的計算方法，其中，運動方程式(1)則由Newmark法求解，熱傳導方程式(2)由Galerkin迭代格式進行求解．

對熱傳導方程式(2)，取θ=2/3的無條件穩定迭代格式[14]如下:

(3)

而動力學方程式(1)則利用Newmark法將轉化為求解如下的擬靜力方程:

其中，γ是根據積分的精度和穩定性要求給定的可調參數．當γ=0.25時，積分格式無條件穩定[14]．

2 區間參數熱彈耦合響應分析

考慮到結構制造誤差和外界環境等多種不確定性因素的影響，將結構的物性參數ρ、c、k、α、μ和E等均視為區間參數，同時，將結構所受外力f、溫度載荷q以及結構初始溫度T0亦視為區間參數，將它們統一以區間參數向量形式表示為β= (β1，β2，…，βm)T，β中既有區間結構參數也有區間載荷參數，其所在的范圍為

(7)

將式(7)代入方程(1)和(2)中，則得描述區間參數梁結構的動力學和瞬態溫度場方程如下:

由式(8)和式(9)可見，當結構參數和載荷均具有區間不確定性時，梁結構的時變位移響應u(β，t)和瞬態溫度場T(β，t)將分別是兩個區間參數時變函數的集合，即

u(β，t)和T(β，t)的上下界可表示為

以下將給出求解區間參數結構熱彈耦合動力方程的響應上下界的計算方法．

3 熱彈耦合區間結構有限元方程的求解方法

由于區間有限元方程的參數是區間變量，所有區間變量在各自的區間范圍內的取值和變量的分布類型未知，對此問題為能夠近似有效求解，可假設各變量在其區間范圍內均服從具有最大熵的矩形分布[15]．此假設的理由在于，將變量取到區間兩端點的概率密度等同于取到其中值點的概率密度，從而將得到最為保守的計算結果，這對于結構的可靠性預測和設計結果是最為安全的．基于此假設，則可利用蒙特卡羅方法對每一區間變量在給定的區間內生成均勻分布的隨機樣本，進而再按照確定性有限元模型進行計算，最后得到結構響應的區間范圍．

(1) 確定結構中獨立的各區間變量及抽樣次數l．

(3) 對于當前時間步長，隨機抽取1～N之間的正整數并提取出其所對應子區間的兩個端點值，記當前抽樣次數i=1．(令f1和f2用來存儲當前抽樣所計算出來的最大和最小值，fmax和fmin用來存儲當前時間步下的最大和最小值)．

(4) 將各個參數子區間的端點值進行組合，代入式(3)和式(4)，計算出函數值并比較．令當前計算結果中f1為最大值，f2為最小值，同時令fmax=f1，fmin=f2．

(5) 當il時，則轉入步驟(6)．

(6) 結束循環抽樣，輸出當前時間步的最大與最小的響應fmax和fmin．

(7) 返回步驟(3)，對下一時間迭代步進行新的抽樣計算．

當在給定時間域上逐步計算完成之后，則得到整個時間域上動力響應的最大和最小包絡線．

4 算 例

如圖1所示的矩形截面懸臂深梁，長L=500 mm，寬b=100 mm，高h=50 mm，材料為鋁，梁結構的區間參數分別為:ρ= [2 560，2 730] kg/m3，k= [190，210] W/(m·K)，α= [20×10-6，23×10-6]/℃，μ= [0.31，0.35]，q= [1.55×106，1.71×106] W/m2，c= [825，915] J/(kg·℃)，E= [70×109，77×109] Pa，T0= [21，22]℃，f= [9，11] N/m2，其中梁上端面熱流q作用的時間為 10 s．

求解懸臂梁熱彈耦合動力響應分別采用兩種有限元模型進行計算．圖1為梁的動力學分析模型，沿其長度方向被離散為4個單元、5個節點，利用結構動力學方程計算得出節點的動力響應．圖2為梁的熱分析模型，沿梁橫截面的厚度方向亦被離散為4個單元、5個節點，利用熱傳導有限元方程計算得出截面溫差，從而計算出梁截面的熱彎矩．

圖3為梁自由端橫截面中點溫度場均值分別在耦合與非耦合(即耦合項H為0時，結構變形對溫度場未產生影響)情況下的時間歷程計算結果．從圖3可以看出，耦合效應對橫截面中點溫度分布的影響，這是由于耦合與結構變形有關．由式(2)可知，由于耦合項的作用，溫度場產生小幅度的波動．

圖3 梁自由端中點溫度的時間歷程圖4 梁自由端節點位移的時間歷程

圖4為梁自由端節點位移響應均值隨時間變化歷程的計算結果．在不考慮熱彈耦合效應時，位移響應在各個周期的振動狀態相同．而在考慮熱彈耦合效應時，位移振幅隨時間逐漸減弱，這種現象說明了耦合對振動產生的抑制作用．由阻尼的效應可知，這種減小的變化實際上相當于阻尼的作用．

圖5給出了僅當E增大(取E=210×109Pa)以及E和α兩者都增大(取E=210×109Pa 和α=60×10-6/℃) 的情況下，自由端節點位移均值響應的時間歷程．由圖5可見，E的增大使耦合效果明顯，振幅衰減迅速．而當E和α都增大時，耦合效應不僅影響了振幅，還使得平衡位置發生了改變．說明了E和α對耦合的影響較大．該計算結果也可以通過熱傳導方程式(2)中的熱彈耦合項的表達式進行分析．當參數E和α增大時，熱彈耦合項就越大，其所表現的阻尼作用就越明顯．

圖5 E和α變化時梁自由端節點位移的時間歷程圖6 梁自由端節點位移響應區間的時間歷程

圖6給出了當梁各參數取區間變量時，利用區間有限元模型計算獲得的自由端節點位移響應的區間時間歷程．與確定性模型的計算方法相比，采用區間的計算方法可以得到更多的計算結果信息，不僅給出了結構位移響應的中值，亦可獲得位移響應的區間范圍．

以上算例均考慮了階躍均布力f作用時的響應情況．為了考察該作用力對熱彈耦合效應的影響，對無作用力和有作用力兩種情況分別計算懸臂梁自由端位移響應均值，其計算結果見表1．從表1可見，當梁承受作用力時，變形比無承受作用力時的大，此時耦合效應的影響也更為明顯．因此，當結構同時受到力和熱載荷共同作用時，則需考慮耦合效應才能得到符合實際情況的計算結果．

表1 有無作用力時對懸臂梁自由端撓度的影響

5 結 論

研究了結構參數、力和熱載荷同時具有區間不確定性時，梁結構在熱彈耦合情況下的動力響應求解問題．通過懸臂梁算例，獲得了以下結論:

(1) 在已知結構參數和載荷關于不確定性信息較少時，利用區間分析模型，并通過文中改進的蒙特卡羅數值仿真方法可以得到結構響應的區間范圍．該方法無需不確定參數的概率信息，為解決區間參數梁結構的熱彈耦合計算問題提供了一種途徑．

(2) 在不考慮熱與結構變形耦合的情況下，溫度不受變形的影響．由于耦合效應，則結構變形對其溫度場的分布產生影響，表現為溫度的明顯波動．

(3) 熱彈耦合效應對結構位移振動有抑制作用，使結構的振幅隨時間不斷減小，并趨于穩態的平衡位置．

(4) 結構的彈性模量和熱膨脹系數與耦合效應密切相關，兩參數越大，熱彈耦合效應越明顯．

(5) 在有力的作用時，不考慮熱彈耦合效應對結構位移的影響將可能造成一定的計算誤差．因此，在高精度要求的結構分析和設計中，考慮熱彈耦合效應的影響是十分必要的．

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