非一致節點的未知復雜動態網絡的自適應同步

郝修清， 李俊民

(西安電子科技大學 數學與統計學院，陜西 西安 710071)

近幾年來，復雜動態網絡成為了一個研究熱點，許多自然系統和人工系統都可以描述為復雜動態網絡[1-2]．在復雜動態網絡的研究中，同步是受到極大關注的一個問題[3-13]，具有重要的現實意義和廣泛的應用前景．各種不同的控制方法被用于復雜動態網絡的同步，如脈沖控制[3]、非脆弱控制[4]、牽制控制[5]和自適應控制[6]等．

從研究對象來看，復雜動態網絡的同步已經從一致性節點和線性耦合發展到非一致節點[7-9]和非線性耦合[9-11]．同時，關于耦合時滯和耦合強度的問題也在復雜動態網絡的研究中引起了重視[6，11-13]．例如，文獻[9]研究了一類非線性耦合的具有非一致節點和耦合時滯的復雜動態網絡的同步問題；文獻[10]對非線性耦合的復雜動態網絡進行了自適應牽制控制；文獻[11-13]對復雜動態網絡中的時變時滯和時變耦合強度進行了討論，采用自適應律對未知的參數進行了辨識，實現了對復雜動態網絡的自適應同步．可見，對復雜動態網絡的研究越來越接近于現實環境．值得注意的是，目前對復雜網絡是未知的情形考慮得很少．

另一方面，李雅普洛夫穩定性理論被廣泛用于系統的鎮定和跟蹤問題[14-15]．對于具有周期特性的信號，可設計自適應學習律對其進行估計，進而實現對系統的自適應學習控制[16-17]．在文獻[17]中，考慮一種周期時變時滯非線性參數化系統的自適應學習控制，運用對系統重構的方法，很好地解決了對周期參考信號的跟蹤問題．

1 未知復雜動態網絡的自適應同步方案

1.1 系統描述和控制目標

由N個非一致節點耦合組成的復雜動態網絡系統為

(1)

其中，xi(t)=[xi1，xi2，…，xin]T∈Rn，表示第i個節點在t時刻的狀態向量；fi和gij是未知的、光滑的連續向量值函數；矩陣A= (aij)n×n，表示復雜動態網絡的拓撲結構或鄰接矩陣，若aij≠ 0，則表示節點j對節點i的動力學行為有影響；hj(t)是未知的周期時變時滯，但其周期是已知的．

假設1 對于式(1)中的未知非線性向量值函數，假設存在li>0，cij>0，使得

假設3 對于式(1)，假設鄰接矩陣A的元素滿足|aij|0．

1.2 控制輸入和周期自適應律的設計

(2)

其中，ui(t)表示每個節點的輸入，此時誤差方程為

(4)

容易證明，Θ(t+T)=Θ(t)．由Θ(t)的定義，可得，Θ(t)是以T為周期的周期連續向量值函數．

(5)

對式(5)求導，可得

由Young不等式和假設1，可得

將上面兩個不等式代入式(6)，同時由假設1～3可得

取足夠大的L，滿足Na2c2-L<0，有

(8)

設計控制輸入和周期自適應律為

(11)

注在整個同步方案的設計中，對誤差方程進行了重構，采用信號置換的思想，將耦合部分、周期時變時滯以及給定的周期參考信號整合為一個未知的周期時變向量Θ(t)，在采用周期自適應律對Θ(t)進行估計的基礎上，設計了簡單的反饋控制．

1.3 收斂性分析

這里通過一個定理，說明復雜動態網絡能夠實現自適應同步，并且所有的信號都是有界的．

(1) 計算W(t)在1個周期上的差分，即

(12)

利用周期自適應律式(10)，經過運算，式(12)的最后一項可以表示為

(13)

將式(9)和式(10)代入式(8)，再將式(13)代入式(12)，可得

(14)

(15)

(16)

利用Young不等式，可得

(17)

把式(17)代入式(16)，可得

(18)

(19)

2 仿真研究

下面將給出仿真實例，以驗證所設計的同步方案的有效性．

例 在系統式(2)中，取節點數N=3，每個節點狀態的維數n=3，已知的周期T=2π，同步目標為:s(t)= (s1(t)，s2(t)，s3(t))T= (2+0.3 sint，-1-0.5 sint，0.6 cost)T，復雜動態網絡各個節點處的狀態方程為

(20)

其中，時變時滯h1(t)=1-0.4 sin2t，h2(t)=0.8-0.5 sin2t，h3(t)=0.7-0.6 sin2t，而非線性向量值函數為

選取系統初始狀態為x1(0)=[1，0，-1]T，x2(0)=[2，1，3]T，x3(0)=[-0.5，1.2，-3]T．設計控制輸入和周期自適應律為

將控制輸入式(21)和周期自適應律式(22)代入復雜動態網絡式(20)，圖1～3為復雜動態網絡中各個節點的狀態xi(t)= [xi1，xi2，xi3]T對s(t)的跟蹤情形．可見，即使在每個節點選取不同的初始狀態，受控系統式(20)都可以做到同步于給定的周期軌跡s(t)．

圖1 x1(t)和s(t)的軌跡(從左到右分別表示3個分量的軌跡)

圖2 x2(t) 和s(t)的軌跡(從左到右分別表示3個分量的軌跡)

圖3 x3(t) 和s(t)的軌跡(從左到右分別表示3個分量的軌跡)

3 結 束 語

考慮了非一致節點、非線性耦合、多重時變時滯的未知復雜動態網絡的同步問題，通過信號置換技術對系統進行重構，設計自適應學習控制使其能夠同步于任意給定的周期參考信號．將非線性和時滯等問題加入所討論的復雜系統，同時考慮到復雜動態網絡的未知性，使其更接近真實環境，具有一定的現實意義．

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