融合卡方累積分布函數(shù)和PDE的曲波閾值去噪法

崔 華， 嚴(yán)玍伻

(長安大學(xué) 信息工程學(xué)院，陜西 西安 710064)

曲波閾值去噪框架[1-2]中不同的閾值函數(shù)產(chǎn)生不同的去噪效果．文獻(xiàn)[3]中所述的軟閾值和硬閾值函數(shù)得到了廣泛應(yīng)用，但它們都存在不同程度的缺陷．曲波硬閾值函數(shù)在閾值點處的不連續(xù)造成去噪圖像有明顯的振鈴、偽吉布斯效應(yīng)等視覺失真．曲波軟閾值函數(shù)處理前后的曲波系數(shù)之間存在恒定偏差，導(dǎo)致圖像的邊緣模糊，造成去噪圖像視覺質(zhì)量降低．所以，構(gòu)造高效的閾值函數(shù)是改善曲波閾值去噪法去噪性能的關(guān)鍵[4-6]．另外，曲波閾值去噪法只能保證絕對值小于閾值的噪聲被去掉[1,4]，而且閾值選擇沒有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，還會出現(xiàn)環(huán)繞效應(yīng)，導(dǎo)致圖像視覺質(zhì)量差[5-6]．針對曲波閾值去噪法本身固有的這些性能缺陷，筆者將基于信息融合思想利用偏微分方程(Partial Differential Equation, PDE)[7-8]來改善曲波閾值方法的去噪效果[9]．

1 基于卡方累積分布函數(shù)的曲波閾值函數(shù)

含噪圖像可以表示為

y=x+δu,

(1)

其中，x和y分別表示原圖像和含噪圖像；u～N(0，1)，為標(biāo)準(zhǔn)高斯白噪聲；δ是噪聲方差．高斯白噪聲的一個重要特點是對其進(jìn)行曲波分解[2]后，其曲波子帶系數(shù)也呈現(xiàn)正態(tài)分布特性，所以可以考慮采用與正態(tài)分布相關(guān)的數(shù)學(xué)函數(shù)來構(gòu)造曲波閾值函數(shù)．這里利用卡方分布的累積分布函數(shù)[10]構(gòu)建新的曲波閾值函數(shù)，其表達(dá)式為

(2)

(3)

圖1 基于卡方累積分布函數(shù)的曲波閾值函數(shù)

2 融合PDE擴(kuò)散的新曲波閾值去噪法

對于曲波閾值去噪法本身固有的環(huán)繞效應(yīng)和難以兼顧去噪效果與保留細(xì)節(jié)的弊端，新曲波閾值去噪法同樣需要克服．文中利用信息融合方法來解決．PDE擴(kuò)散[7-9]與曲波閾值去噪法分別以不同的去噪機(jī)制對含噪圖像進(jìn)行去噪處理，二者的去噪結(jié)果是對真實圖像、噪聲和圖像細(xì)節(jié)的不同表達(dá)．文獻(xiàn)[8]所述的非線性結(jié)構(gòu)張量擴(kuò)散PDE中包含著新閾值函數(shù)丟失的有用信息，將它們?nèi)诤系叫虑ㄩ撝等ピ雸D像中，勢必能改善其去噪性能[9]．具體融合方案如下所述．

對同一含噪圖像，由新曲波閾值去噪法和文獻(xiàn)[8]所述的非線性結(jié)構(gòu)張量擴(kuò)散PDE得到的去噪圖像可以看成是干凈圖像與噪聲的疊加，即

其中，x表示干凈圖像；y1和y2分別表示新曲波閾值和PDE去噪法得到的去噪圖像；ε1和ε2表示去噪圖像中包含的噪聲，噪聲ε1包括新曲波閾值去噪法引起的圖像振鈴、偽吉布斯效應(yīng)等視覺失真的干擾以及該方法丟失的細(xì)節(jié)和未處理干凈的殘余噪聲．噪聲ε2由偏微分方程去噪法造成的圖像邊緣模糊、邊緣位置移動等現(xiàn)象的干擾、丟失的細(xì)節(jié)以及未處理干凈的殘余噪聲組成．由于ε2與ε1產(chǎn)生的機(jī)制不同，對干凈圖像x的影響也不同，ε2中包含一些對削減噪聲ε1有用的信息，如果將ε2疊加到ε1上，就能進(jìn)一步改善y1的信噪比．其次，ε2與ε1在x上的分布也不同，如果將ε2疊加到ε1上，就可以降低圖像y1形變的集中程度，改善y1的視覺效果．另外，ε2與ε1中所包含的圖像細(xì)節(jié)不同，如果將ε2疊加到ε1上，就可以改善y1的視覺質(zhì)量．為此，將偏微分方程去噪圖像疊加融合到曲波閾值去噪圖像中，可表示為

y3=λy1+(1-λ)y2,

(6)

其中，y3為最終的去噪圖像；λ為融合權(quán)值，起到平衡偏微分方程和曲波閾值對圖像的濾波結(jié)果的作用，以達(dá)到視覺效果和噪聲消除的完美折中，最終收到總體上較滿意的去噪效果．

圖2 Lena圖像

3 仿真實驗及分析

圖3 基于不同方法得到的去噪圖像

噪聲方差硬閾值法/dB結(jié)構(gòu)張量PDE法/dB新曲波閾值法/dB文中方法/dB1033.7833.0834.0034.862031.1228.5031.3031.92 3029.4525.2929.5729.61

表2 對Barbara加噪圖像的去噪圖像PSNR

比較圖3(a)與圖2(b)可以看出，硬閾值法去噪效果比較明顯，圖像包含的噪點較少，無明顯的色偏現(xiàn)象，圖像還原較為真實，但圖像有明顯的振鈴、偽吉布斯效應(yīng)等視覺失真．比較圖3(b)與圖3(a)和圖2(b)可以看出，軟閾值處理后的圖像變得模糊不清，并且圖像有明顯的色偏現(xiàn)象，與原圖像有較大差距，并且振鈴、偽吉布斯效應(yīng)等視覺失真依然存在，圖像視覺質(zhì)量較硬閾值法有較大程度的降低．比較圖3(d)與圖3(a)和圖3(b)可以看到，用新閾值函數(shù)處理得到的圖像與軟硬閾值法相比，去噪圖像中無肉眼可見的明顯噪點，去噪效果較好，而且具有更加豐富的邊緣等細(xì)節(jié)，圖像中帽子邊緣及帽子上的羽毛紋理都比較清晰，視覺效果最佳．但是，可以察覺到圖3(d)與圖3(a)和圖3(b)同樣存在著不同程度丟失帽子邊緣及羽毛等重要細(xì)節(jié)信息的現(xiàn)象，以及3幅圖像都出現(xiàn)了許多交錯的劃痕，即環(huán)繞效應(yīng)．從圖3(e)可以看出，噪聲殘留較圖3(c)大幅減少，而圖3(c)中圖像細(xì)節(jié)得到較好的保護(hù)，但整幅圖像存在明顯的噪聲斑點．圖3(e)較圖3(d)更加清晰，帽子邊緣更加完整清晰，羽毛紋理保護(hù)得更好，環(huán)繞效應(yīng)和偽吉布斯效應(yīng)等視覺失真得到有效抑制，總體視覺效果較好．

由表 1 可以看出 ， 與結(jié)構(gòu)張量 PDE 法去噪圖像信噪比相比較 ， 文中提出的新曲波閾值法及其與結(jié)構(gòu)張

量PDE的融合去噪方法產(chǎn)生的去噪圖像信噪比有較大幅度提高；與硬閾值法得到的去噪圖像信噪比相比，文中提出的新曲波閾值法及其與結(jié)構(gòu)張量PDE的融合去噪方法產(chǎn)生的去噪圖像信噪比均有所提高，但提高幅度不大，而前面仿真結(jié)果表明，二者均獲得了比硬閾值好得多的視覺效果．所以，綜合主客觀評價指標(biāo)，可以認(rèn)為文中方法優(yōu)于硬閾值去噪法等其他方法．表2再次表明，即使對噪聲強度更大、紋理等細(xì)節(jié)更加豐富的Barbara加噪圖像進(jìn)行去噪，文中方法比其他方法得到的去噪圖像信噪比都有較大幅度的提高，去噪效果仍然保持最好．

4 結(jié) 束 語

通過對軟硬閾值函數(shù)在去噪方面優(yōu)劣的研究，構(gòu)造了基于卡方累積分布函數(shù)的曲波閾值函數(shù)，新閾值函數(shù)克服了硬閾值不連續(xù)和軟閾值存在恒定重構(gòu)誤差的缺陷．理論分析和仿真實驗一致表明，新閾值函數(shù)可以產(chǎn)生更好的去噪效果和視覺質(zhì)量．進(jìn)一步地，針對曲波閾值函數(shù)固有的環(huán)繞效應(yīng)和難以兼顧去噪與細(xì)節(jié)保持的弊端，文中采用信息融合的思想，將偏微分方程去噪圖像中的有用信息融合到新閾值函數(shù)去噪圖像中．理論分析和仿真實驗一致表明，較軟硬閾值去噪法，文中方法可以有效地提高去噪圖像的信噪比和視覺效果，較好地保持了圖像細(xì)節(jié)，大幅度降低了環(huán)繞效應(yīng)，具有最優(yōu)的峰值信噪比和較好的圖像適應(yīng)能力以及優(yōu)勢明顯的視覺效果．

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