一種分段分塊式壓縮采樣模型的設計

方 標， 黃高明， 高 俊， 左 煒

(1. 海軍工程大學 電子工程學院，湖北 武漢 430033;2. 中國人民解放軍92723部隊，北京 100841)

香農/奈奎斯特采樣定理指出:為避免信息丟失，實現無失真恢復原始信號，采樣率至少要兩倍于信號帶寬．所以，寬帶模擬信號的數字化需要很高的采樣率．由于器件的物理特性約束，提高采樣率的代價是巨大的，如導致量化精度下降等．壓縮感知(Comoressive Sensing，CS)[1-2]理論為解決上述問題開啟了新的思路，其思想是對稀疏信號以遠低于奈奎斯特頻率的采樣率進行全局觀測而非局部采樣，然后用適當的重構算法從觀測值中還原出原始信號．

CS理論的提出最初是針對離散數字信號的，為了將其應用到模擬域，就出現了基于壓縮感知理論的模擬到信息的轉換理論，其旨在利用信號的結構特征降低信號采樣率，解決海量數據的壓縮存儲以及傳輸問題．模擬到信息轉換的研究重點在于采用何種有效的轉換架構，使得信號采集效率得以提高，采集方式的適用范圍得以擴展．在近幾年不斷發展過程中，涌現了一批各有特色的轉換架構．最早的模擬信息轉換方式可以追溯到多陪集采樣模型(Multi-coset Sampling，MS)[3]，它是在周期非均勻采樣基礎上提出的一種結構簡單、易于硬件實現的并行支路模型，已應用于稀疏信號的數據采集，但存在一些固有的缺陷，比如處理信號的最大帶寬受限于模數轉換器(Analog to Digital Converter，ADC)的固有帶寬，兩個ADC之間保持精確的時間偏移量在實際環境中存在困難[4]．在CS理論提出后，Laska等提出了隨機采樣模型(Random Sampling，RS)[5]，主要用于采集和處理局部傅里葉稀疏信號(Local Fourier Sparse，LFS)，即信號的每個時間點能夠近似地分解成幾個定頻的正弦波的寬帶信號，比如部分跳頻通信信號、雷達信號和大部分的語音信號，文獻[5]給出了一個RS在寬帶信號中的典型應用．隨機解調模型(Random Demodulation，RD)[6-7]是一個由寬帶周期偽隨機解調器、模擬低通濾波器和低速A/D采樣器組成的單支路模擬到信息轉換結構，目前應用范圍比較廣，文獻[6]將這一模型推廣到頻譜稀疏的連續域多頻帶信號類型中，但此模型對濾波器的設計要求很高，濾波器設計對可重構性的影響非常大．在并行架構方向，Eldar團隊提出了調制寬帶轉換器模型(Modulated Wideband Converter，MWC)[8-9]，這一架構克服了多陪集模型的兩大缺陷：MWC利用偽隨機序列函數通過混頻操作實現頻譜搬移，擺脫了模擬ADC帶寬的限制；同時各支路采用同一個時間觸發器保證了采樣同步，有效解決了精確的時間延遲難以實現的問題．但其本身存在一個問題：當單位時間內需要很多的壓縮采樣值時，將導致相當大數量的相關支路，這將大大增加系統硬件實現的復雜度．針對此問題，文獻[10]加入分段思想對MWC進行了改進，提出了分段式模擬信息轉換器(Segmented Analog-to-Information Conversion，S-AIC)，在每個混合積分器支路(Branches of Mixters and Integrators，BMIs)上將每一個積分周期分成M段后，得到分段測量值；再按照一定規則將各個BMIs上的分段測量值置換，得到新測量值，達到在不增加BMIs的基礎上擴展測量矩陣行數的目的，有效降低了相關支路數，提升了恢復性能．但是，由于S-AIC所得的等效測量矩陣是密集矩陣，其硬件實現的復雜度高．針對測量值密集性問題，文獻[11]從集合論和互相關理論出發，通過去除冗余觀測達到降低觀測信號數的目的．筆者在積分周期分段的基礎上，對BMIs和積分時間進行分塊處理，提出了基于分段分塊采樣的模擬信息轉換器(Segmented and Blocked Analog-to-Information Conversion，SB-AIC)，將等效測量矩陣轉換為稀疏塊對角矩陣，縮短了積分時間．該模型不僅能夠改善傳統AIC的恢復性能，而且相比S-AIC降低了硬件實現的難度．

1 S-AIC模型描述

針對如何降低普通并行AIC，如MWC結構中BMIs的數量，節約硬件成本的問題，文獻[10]提出了一種分段型AIC(S-AIC)，其基本思想是重復利用壓縮采樣值構建新采樣值．從矩陣形式上看，這等價于對觀測矩陣進行擴展，增加觀測矩陣的行數，然后利用該觀測矩陣獲取新的壓縮采樣值，來提高系統的恢復性能，降低系統的相關采樣支路，從而達到降低系統硬件實現成本的目的．S-AIC與AIC的構成部件和工作原理相同，它們之間的不同之處在于：并行壓縮采樣模型每次重構過程只采用了每個通道的1個采樣點，而分段式并行壓縮采樣模型中每個通道的多個連續采樣點參與信號重構．實現分段采樣的關鍵是如何利用不完整的壓縮采樣值構建新的測量值，其具體的實現結構如圖1所示．每一個支路中輸入信號x(t)與周期偽隨機序列p(t)的相乘結果，再由分段后脈沖響應為h(t)的積分器濾波，后經低速ADC以子奈奎斯特采樣率fs采集數據．其中，頻率fs的選取與濾波器的截止頻率有關，p(t)是一個取值為 ±1 有限持續時間隨機方波的周期擴展．這一模型在原來支路數量不變的情況下，采用擴展后的測量矩陣觀測信號能夠獲得更多的信息樣點，也就是說，在所需信息樣點數目一定的條件下，改進后轉換模型的相關支路數量減少了．文獻[12]指出，如果原來矩陣滿足受限等距性質(Restricted Isometry Property，RIP)，那么擴展后的測量矩陣也以一定概率滿足RIP條件，可知改進后的測量矩陣能夠繼承RIP特性．

圖1 分段式壓縮采樣(S-AIC)結構示意圖

2 SB-AIC模型的設計與分析

2.1 SB-AIC模型的設計思想

由于結構化的測量矩陣能夠節省存儲空間、降低計算復雜度，并且滿足RIP特性[12]．鑒于此，在S-AIC基礎上，對積分時間和BMIs進行分塊操作，將S-AIC中的子采樣K×M矩陣Y進一步分割成若干個對角化塊，使得等效測量矩陣Φe為塊對角矩陣，除了主對角線外其他元素均為0，在每一個獨立的對角塊中進行類似于前文中的S-AIC處理，從而降低硬件復雜度．

圖2顯示了SB-AIC的結構框圖，其基本思想是將S-AIC的大測量矩陣分割成若干個相對獨立的對角塊小測量矩陣，在每一個小塊中按照S-AIC的擴展思路產生新測量值，這樣除對角塊外的測量值就全部置零，復雜度大大降低，存儲空間也會大大縮小，進一步提高了模型的適用性．分塊思想是SB-AIC的核心，也是其與S-AIC模型的主要區別，下節將就這一主要差別進行分析．

圖2 分段分塊式壓縮采樣(SB-AIC)結構示意圖

2.2 SB-AIC模型分析

在SB-AIC中，K個BMI被分成J塊，假設K和M是J的整數倍，令Mt=M/J，Kt=K/J，Nt=N/J．第j(j=1，2，…，J)塊包含從 (j-1)Kt+1 到jKt共Kt個BMI．對于第j塊中的每一個BMI，其積分時間是從 (j-1)T/J到jT/J，則SB-AIC中第j塊的所有BMI產生的子采樣為下面的Kt×Mt矩陣，即

(1)

定義K×M的塊對角矩陣為

Y=diag(YB1，YB2，…，YBJ) ,

(2)

額外的采樣值產生：對矩陣Y中的列逐塊進行置換，子采樣的置換在每個YBj塊中獨立進行，塊內對每一列的置換方式和前述S-AIC中的置換方式相同[13]．此時，SB-AIC置換集最多為I=Kt-1 個．將置換集P(i)應用于Y中的每個塊中，可得

(3)

當Ka=KI時，令Ya=[(YP(1))T，…，(YP(I))T]T，則第k個額外的采樣值為

(4)

每一個分塊都可以看成獨立的S-AIC．因此，額外的采樣值的產生只與本塊內產生的原始采樣值有關，而與其他塊產生的原始采樣值相互獨立．

令ΦBj為Kt×Nt的矩陣，其中第k行第n列的元素為

(5)

則SB-AIC的等效測量矩陣為

(6)

當Ka

(7)

l∈{1，2, …，nb} ．

(8)

此時，等效測量矩陣的形式如下:

(9)

圖3 SB-AIC壓縮采樣信息處理算法流程圖

3 仿真實驗與分析

針對AIC、S-AIC和文中SB-AIC進行仿真測試和分析．仿真設置同參考文獻[10]，不失一般性和公平性，文中仿真實驗中全部采用輸入長度N=512，稀疏度S=5 的相同時域稀疏信號，信號中的非零元素為 ±1 等概率分布的時域稀疏信號，即稀疏基Ψ=I．經過AIC后的信息向量y=Φx(t)+e，其中，e是均值為0、方差為σ2的高斯噪聲向量．為了保證分段分塊后的等效采樣值噪聲同于原始采樣值噪聲，按照文獻[10]，令AIC條件下噪聲方差為σ2，S-AIC的子采樣噪聲方差為σ2/M，SB-AIC中子塊采樣噪聲方差為σ2/Mt．

3.1 無噪條件下不同擴展率信號恢復對比實驗

在無噪背景下，當信號在時域稀疏，選取J=2和J=5兩種情況，擴展率(SR)分別取1，2，3，4，5．采用OMP算法重構信號，分別進行100次蒙特卡羅實驗．圖4給出了該條件下恢復稀疏信號的均方誤差(MSE)的性能曲線．由圖4可知，當SR大于等于3、J=2 時，SB-AIC與S-AIC的性能基本相同，特別在SR比較高時，J=5 時的性能也明顯優于AIC的性能，證明了新方法的可靠性．由于SB-AIC只需要S-AIC的 1/J的運算和存儲資源，SB-AIC的復雜度也為S-AIC的 1/J，在針對大容量數據壓縮采樣時更具有適用性，從實現成本考慮此方案也更可取．

隨著J數目的增加，在相同SR下其測量矩陣的稀疏性增強，根據每個BMI子分塊占有的Kt=K/J個BMI支路和Mt=M/J個積分段，獨立子塊矩陣都將變小．需要注意的是，每個獨立子塊不能過小，過小無法保證擴展后子采樣值的相對獨立性，從而影響重構性能，如圖4所示．因此，在實際應用中，硬件資源的節省有一定的限度，分塊數量J不宜過多，在硬件資源滿足構建要求時，J盡可能選取得小一些．這需要結合實際硬件資源和重構恢復情況而定．

圖4 不同擴展率下4種采樣方案的MSE性能曲線(SNR為∞)圖5 不同信噪比下4種采樣方案的PROB性能曲線(SR為1)

3.2 含噪條件下不同信噪比精確重構的對比實驗

選取擴展率SR為1，在不同的SNR下比較4種方案下的精確重構概率(PROB)．由圖5可知，當SNR較高時，4種方案的性能接近，這與圖4是相吻合的；當SNR較低時，SB-AIC的性能介于AIC和S-AIC之間，這也說明了SB-AIC在S-AIC的基礎上為獲取結構上的優勢犧牲了一定的性能，但是依然可保證其對AIC的優越性．在實際應用中，通過選取合適的分塊數J可獲得結構和性能上的有效平衡．

圖6 不同的擴展率條件下4種采樣方案的PROB性能曲線(SNR為10 dB和30 dB)

3.3 含噪條件下不同擴展率精確重構對比實驗

在不同的擴展率條件下比較各方案的精確重構性能，選取SNR為 10 dB 和 30 dB 為研究對象．由圖6可知，在較高信噪比(SNR為 30 dB) 的情況下，4種方案的精確重構概率都能達到90%以上，PROB性能隨SR的變化不明顯，信號恢復良好，這與圖4中描述的MSE性能是相吻合的；在較低信噪比(SNR為 10 dB) 的情況時，隨著SR的提升，3種分段方案下的PROB性能都得到了有效改善．由于文中提出的SB-AIC方案構造的測量矩陣是稀疏對角塊矩陣，結構上的優勢保證了在相同SR條件下，相比S-AIC，只需占用 1/J的存儲空間和運算資源．以J=5 為例，在硬件實現時，若使用相同的存儲空間，SB-AIC可利用剩余 4/5 的空間繼續擴展至SR為5的情形，這時PROB的性能已經達到93%，相比于S-AIC在SR為1情形下的PROB提升了23%，這說明了文中方案在存儲空間受限和低信噪比條件下的優越性．

SB-AIC相比于S-AIC(可視為J=1時SB-AIC的特例)，將測量矩陣從密集矩陣轉化為稀疏對角化矩陣，其優越性主要體現在硬件實現時資源節約上，包括前端的高速脈沖發生器、乘法器和積分器資源以及后端的存儲器資源，都將降低為原先的 1/J．由仿真實驗可以看出，在同樣的SR時，由于測量矩陣數據量的減少，使得SB-AIC的性能略有降低，但與S-AIC仍處于同一數量級．換言之，SB-AIC在犧牲一定可容許性能的基礎上，提升硬件的利用率是其主要優越性所在．

4 結 束 語

圍繞并行架構中如何降低混合積分支路數以適應大規模壓縮采樣值場合的問題，在現有的模型上進行了改進．在BMIs數目相同的條件下，S-AIC獲得采樣值個數要多于傳統AIC的，改善了恢復效果，而文中提出的SB-AIC又在S-AIC的基礎上，利用分塊思想得到塊對角化的等效測量矩陣，不僅能夠獲得比傳統AIC多的采樣值，而且減少了積分時間，大幅度節省了硬件資源，降低了硬件復雜度．由于每個分塊相對獨立，在硬件設計中各分塊子采樣的存儲空間可以實現復用，其實時性也要優于S-AIC的，具有很好的實用性和可操作性．

[1] Donoho D L. Compressed Sensing[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(4): 1289-1306.

[2] Candes E, Romberg J, Tao T. Robust Uncertainty Principles: Exact Signal Reconstruction from Highly Incomplete Frequency Information[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(2): 489-509.

[3] Herley C, Wong P W. Minimum Rate Sampling and Reconstruction of Signals with Arbitrary Frequency Support [J]. IEEE Transactions on Information Theory, 1999, 45(5): 1555-1564.

[4] Eldar Y C, Oppenheim A V. Filter- bank Reconstruction of Bandlimited Signals from Nonuniform and Generalized Samples [J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2000, 48(10): 2864-2875.

[5] Laska J, Kirolos S, Massoud Y. Random Sampling for Analog-to-Information Conversion of Wideband Signals [C]//Proceedings of the IEEE Dallas Circuits and System Workshop. Piscataway: IEEE, 2006: 325-328.

[6] Kirolos S, Laska J, Wakin M, et al. Analog-to-Information Conversion via Random Demodulation [C]//Proceedings of the IEEE Dallas Circuits and System Workshop. Piscataway: IEEE, 2006: 1183-1186.

[7] Tropp J A, Laska J, Duarte M, et al. Beyong Nyquist:Efficient Sampling of Sparse Bandlimited Signals [J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2010, 56(1): 520-544.

[8] Mishali M, Eldar Y C. From Theory to Practice: Sub-Nyquist Sampling of Sparse Wideband Analog Signals [J]. IEEE Journal on Selected Topics on Signal Processing, 2010, 4(2): 375-391.

[9] Mishali M, Elron A, Eldar Y C. Sub-Nyquist Processing with the Modulated Wideband Converter [C]//International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing. Piscataway: IEEE, 2010: 3626-3629.

[10] Taheri O, Vorobyov S A. Segmented Compressed Sampling for Analog-to-Information Conversion: Method and Performance Analysis[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2011, 59(2): 554-572.

[11] 宋曉霞, 石光明. 低冗余的壓縮感知觀測 [J]. 西安電子科技大學學報, 2012, 39(4): 144-148.

Song Xiaoxia, Shi Guangming. Low-redundancy Compressed Sensing Measurements [J]. Journal of Xidian University, 2012, 39(4): 144-148.

[12] Badjwa W, Haupt J D, Raz G M, et al. Toeplitz-structured Compressed Sensing Matrices [C]//Proceedings of 14th IEEE/SP Workshop on Statistical Signal Processing. Piscataway: IEEE, 2007: 294-298.

[13] Candes E, Tao T. Near-optimal Signal Recovery from Random Projections and Universal Encoding from Random Projection and Universal Encoding Strategies [J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(12): 5206-5245.