對等量異種點電荷電場的研究

胡昌勝

（樅陽縣宏實中學 安徽 安慶 246700）

等量異種點電荷的電場是靜電場中的重要內容，也是難點內容.準確全面認識等量異種點電荷的電場，對學好靜電場的內容尤為重要.本文通過理論分析輔助多媒體作圖確定等量異種點電荷的電場分布情況.下面我們按照從簡單到復雜的原則，先從兩條線（等量異種點電荷的連線、連線的中垂線）上的電場入手進行分析.

1 等量異種點電荷連線上的電場強度和電勢

等量異種點電荷的電場分布圖如圖1所示，根據電場線的疏密程度，我們知道連線上越靠近中點O場強越小，兩側關于連線中點O對稱.

可進行理論證明如下：

圖1

設兩點電荷電荷量分別為＋Q和－Q，兩電荷間的距離為2L，以O為原點，連線為x軸建立直角坐標系如圖2所示，我們討論連線或連線的延長線上P（x，0）點的電場強度.

圖2

規定＋x方向為電場強度E的正方向，則由點電荷的場強公式及電場的疊加原理知P點的電場強度為［1］

可見E是x的函數，用幾何畫板作圖如圖3所示（以從正電荷指向負電荷為電場強度E的正方向）.

圖3

結論1：在等量異種點電荷的連線上，從連線中點沿連線向兩電荷移動時，電場強度逐漸增大，在連線的延長線上，離點電荷越遠電場強度越小，且二者連線上電場強度大小關于中點O對稱，中點位置的電場強度最小，但不為零.

【例1】（2009年高考上海卷第3題）兩帶電荷量分別為q和－q的點電荷放在x軸上，相距為L，能正確反映兩電荷連線上場強大小E與x關系的是圖4中的

圖4

解析：根據等量異種點電荷的電場線的分布情況可知，靠近兩點電荷電場強度較大，中點的最小，但不是零，因此正確的選項為A；或直接由圖3知正確答案為A.

電勢高低變化.

理論推導：規定無限遠處電勢為零，則由點電荷電場的電勢的計算式可得圖2中P（x，0）點的電勢為［2］

可見φ是x的函數，用幾何畫板作圖如圖5所示.

圖5

結論2：在等量異種點電荷的連線上，從正電荷向負電荷移動時，電勢逐漸降低；連線中點電勢為零，靠近正電荷一側電勢大于零，靠近負電荷一側電勢小零.在連線的延長線上，離正點電荷越遠電勢越低，離負點電荷越遠電勢越高.

【例2】（2011年高考上海卷第14題）兩個等量異種點電荷位于x軸上，相對原點對稱分布，正確描述電勢φ隨位置x變化規律的是圖6中的

圖6

解析：由于沿電場線方向電勢降低，所以正電荷處電勢最高，負電荷處電勢最低.由于兩電荷電荷量相等，其連線中點電勢為零，故選A；或由圖5知，圖6中A圖正確.

2 等量異種點電荷連線的中垂線（面）上電場強度和電勢

以連線中點O為原點，連線為x軸建立直角坐標系如圖7所示.設等量異種點電荷連線的中垂線上P點坐標為（0，y），則由點電荷的場強公式得：

圖7

電荷＋Q在P點產生的電場強度大小為

電荷－Q在P點產生的電場強度大小為

方向與連線的夾角均為θ，則由場的疊加原理得

而

從上式可以看出，當y絕對值增大時，E減小.

幾何畫板作圖如圖8所示.

圖8

結論3：在等量異種點電荷連線的中垂線（面）上，從垂足沿中垂線（面）向外側移動時，中垂線（面）上的各點的電場強度減小且中垂線（面）上關于中點O對稱的兩點場強相同，方向始終垂直于中垂線（面）指向負電荷一側.

電勢高低分析：

若規定無窮遠電勢為零，則等量異種點電荷連線的中垂線（面）上P（0，y）的電勢為

結論4：等量異種點電荷連線的中垂線（面）上任意一點電勢均為零，即等量異種點電荷連線的中垂線（面）是零勢線（面）.

3 等量異種點電荷電場中幾類特殊點的電場強度和電勢

3.1 關于連線中點對稱的任兩點的電場強度和電勢

理論證明：如圖9所示，我們研究等量異種點電荷的電場中關于連線中點O對稱的兩點M，N的電場強度和電勢的關系.兩電荷在M，N兩點均產生電場，方向如圖10所示.因M，N關于O點對稱，故可設則根據點電荷的場強公式可知場強大小關系為.又由幾何知識可知四邊形AMBN為平形四邊形，因此EA1與EB2的方向相同，EA2與EB1的方向相同，即兩矢量分別相等EA1＝EB2，EA2＝EB1，合場強也相等.

圖9

圖10

結論5：等量異種點電荷電場中的任兩個關于連線中點對稱的點的電場強度總相同，以中垂線為界靠近正電荷一側的各點的電勢總高于靠近負電荷一側的各點電勢.

3.2 等量異種點電荷連線的垂線（面）上各點電勢

以等量異種點電荷的連線中點O為原點，連線為x軸建立直角坐標系，研究直線x＝a（常數）上各點的電勢φ隨y的變化，即連線的某一垂線（面）內各點電勢的變化情況，設點為P（a，y），如圖11所示.

圖11

由點電荷電勢的計算式及電勢的合成得

幾何畫板作圖如圖12所示.

圖12

結論6：若連線的垂線（面）在中垂線靠近正電荷一側，則從垂足沿垂線（面）往外側電勢逐漸降低，如圖12（a）；若連線的垂線（面）在中垂線靠近負電荷一側，則從垂足沿垂線（面）往外側電勢逐漸升高，如圖12（b），且關于連線對稱.如以連線上任一點為圓心在垂直連線的平面內作圓，圓上各點電勢相等.

3.3 等量異種點電荷連線的平行線上各點電勢

以等量異種點電荷的連線中點O為原點，連線為x軸建立直角坐標系，研究直線y＝b（常數）上各點的電勢φ隨x的變化，即連線的某一平行線上各點電勢的變化情況，設點為P（x，b），如圖13，則

圖13

幾何畫板作圖如圖14所示.

圖14

結論7：在等量異種點電荷連線的平行線上，從正電荷一側指向負電荷一側電勢逐漸降低，且關于中垂線對稱的兩點電勢絕對值相等.

【例3】如圖15所示，由ABCD－abcd作為定點構成一正方體空間，在頂點A，c兩處放等量異種電點荷，則下列說法正確的是

A.a，C兩點場強相同

B.D，b兩點間電勢相等

C.D，d兩點間電勢差大于B，b兩點間電勢差

D.負電荷沿BCD從B點到D點電場力做正功

圖15

解析：設正方體的中心為O點，由正方體的空間特點可知，a與C關于O點對稱，則由結論5可知答案A正確.D與b也關于O點對稱，但D與b分別位于等量異種點電荷垂直平分線的兩側，其中D在靠近正電荷的一側，由結論5知電勢高于b點，故選項B錯.

B和D在垂直A與c連線的同一面內且到連線的距離相等，由結論6可知φB＝φD；b，d在垂直A，c連線的另一面內，到連線的距離也相等，故φb＝φd，得UDd＝UBb，所以選項C和D均錯.

研究等量異種點電荷的電場時，理論分析輔以幾何畫板作圖，讓等量異種點電荷的電場理性但不失感性，抽象不乏形象，將無法感知的電場立體、生動地呈現在我們眼前，同時也提供了數形結合法解決物理問題的絕好范例.

1 梁燦彬，秦光戎，梁竹健.電磁學.北京：高等教育出版社 ，1980.12

2 陳燕.兩等量異種點電荷電場的探討.物理教師，2012（02）：21