例談“動態平衡”問題的求解

陳惠英

高中物理靜力學部分，有很多動態平衡問題。所謂動態平衡問題，就是通過某種途徑（如繩子的收放、傾斜角的改變等）使物體的受力發生變化，但物體仍處于平衡狀態。由于這類問題涉及變力，力的大小和方向均可能發生變化，要用動態思維來考慮這類問題。解決這類問題的指導思想是：動中求靜，變中尋恒。下面結合例題談談這類問題的求解方法。

一、運用矢量三角形求解

【例1】將重為G的小球靜止放置在固定斜面和豎直擋板間，不計一切摩擦。在擋板逆時針方向慢慢轉到水平位置的過程中，請分析斜面和擋板對小球的彈力的大小，F1、F2是怎樣變化？

解析：擋板緩慢轉動的過程中，可以認為小球每一時刻都處于靜止狀態（如圖1所示），即所受合力為零。畫出如圖2所示的矢量三角形，其中G的大小、方向都不會改變；F1的方向保持不變；F2的起點在G的終點處，而F2的終點一定在F1所在的直線上，由圖可知，在擋板逆時針轉動90°的過程中，F2也逆時針轉動90°，所以由圖2可知F1逐漸變小，F2先變小后變大。

總結：當物體在三個共點力作用下處于動態平衡時，如果只有某一個力的大小和方向發生變化，而另外兩個力的方向不變，此時，可用力的矢量三角形來判斷力的大小變化趨勢。

二、運用相似三角形法求解

【例2】如圖3中，輕桿BO的O端是用光滑鉸鏈鎖定在豎直放置輕桿AO上的，B端處掛上一個物體，并系著一條細繩，細繩跨過輕桿頂點A處的光滑小滑輪，細繩被外力F拉住，現把細繩慢慢向左拉，在桿BO與桿AO間的夾角θ逐漸減少的過程中，拉力F和桿BO所承受的壓力FN大小變化情況是（）。

A.F先增大，后減小

B.FN先減小，后增大

C.FN始終不變

D.F始終不變

解析：以桿的B端作為研究對象，則B端受繩的拉力F、BO桿的彈力FN、掛物體的繩子的拉力作用，掛物體繩子的拉力大小等于G，現將FN與G進行力的合成，它們的合力跟F大小相等、方向相反，畫出如圖4所示的受力分析圖，其中力的三角形與幾何三角形OBA相似，根據數學知識可知GH=FNL=Fl，式中G、H、L均不變，l逐漸變小，可知FN不變，F逐漸變小。正確答案為選項C。

總結：物體在三個共點力作用下處于動態平衡時，如果有兩個力的方向在變化，用力三角形與幾何三角形相似，來判斷力的大小變化比較簡單。

三、運用隔離法和整體法求解

【例3】如圖5，粗糙的水平地面上，與墻平行放置著一個截面為半圓形狀的物塊A，A與墻間放一個球B，不計球受到的摩擦力。整個系統處于靜止平衡狀態?，F給B施加豎直向下并通過球心的力F，若墻對B的作用力為F1，B對A的作用力為F2，地面對A的作用力為F3。在F緩慢增大，而整個系統仍保持靜止不動的過程，下面說法正確的是（）。

A.F1保持不變，F3緩慢減小

B.F1緩減小，F3保持不變

C.F2緩慢增大，F3緩慢增大

D.F3保持不變，F2緩慢增大

解析：由于F可分解為兩個力，一是使B緊壓豎直墻的力F′1，另一個是緊壓A的力F′2。對系統進行整體分析，可得F′1和地面對A的摩擦力應大小相等，地面對A的支持力N=（mA+mb）g+F，所以地面對A的作用力就是地面對A的摩擦力和支持力的合力，力F緩慢增大的過程中，F′1和F′2會同時增大，所以答案是C。

總結：針對本題所給出的條件，綜合運用整體法和隔離法進行分析討論，可有效解答類似問題。

四、運用正交分解法求解

【例4】如圖7所示，在水平拉力F作用下，物體B向右緩慢運動，A物體勻速上升。地面對B物體的支持力、摩擦力和繩對B物體的拉力分別用FN、Ff和T表示，那么在運動過程中FN、Ff和T的變化情況是（）。

A.FN、Ff都減小，T增大

B.FN、Ff都增大，T減小

C.FN、Ff、T都增大

D.FN增大，Ff減小，T不變

解析：因為A、B通過定滑輪相連，A勻速上升，那么拉力T的大小始終保持不變，為T=mAg。

畫出如圖8所示的受力圖。

點評：正交分解法是解決平衡問題的一般方法，應用正交分解法一般應注意以下幾點：（1）該方法不受研究對象所受外力多少的限制；（2）關于坐標軸的選取，原則上是任意的，就是說選擇不同的坐標軸并不影響運算的結果，但具體應用時又以解題方便為原則。

五、運用極限分析法求解

總結：極限分析法就是運用極限思維，把所涉及的變量在不超過變量取值范圍的條件下，使某些量的變化抽象成無限大或無限小去考慮解決實際問題的一種方法，極限分析法具有好懂、易學、省時、準確的特點，在物理學中有著重要應用。

（責任編輯 易志毅）endprint

高中物理靜力學部分，有很多動態平衡問題。所謂動態平衡問題，就是通過某種途徑（如繩子的收放、傾斜角的改變等）使物體的受力發生變化，但物體仍處于平衡狀態。由于這類問題涉及變力，力的大小和方向均可能發生變化，要用動態思維來考慮這類問題。解決這類問題的指導思想是：動中求靜，變中尋恒。下面結合例題談談這類問題的求解方法。

一、運用矢量三角形求解

【例1】將重為G的小球靜止放置在固定斜面和豎直擋板間，不計一切摩擦。在擋板逆時針方向慢慢轉到水平位置的過程中，請分析斜面和擋板對小球的彈力的大小，F1、F2是怎樣變化？

解析：擋板緩慢轉動的過程中，可以認為小球每一時刻都處于靜止狀態（如圖1所示），即所受合力為零。畫出如圖2所示的矢量三角形，其中G的大小、方向都不會改變；F1的方向保持不變；F2的起點在G的終點處，而F2的終點一定在F1所在的直線上，由圖可知，在擋板逆時針轉動90°的過程中，F2也逆時針轉動90°，所以由圖2可知F1逐漸變小，F2先變小后變大。

總結：當物體在三個共點力作用下處于動態平衡時，如果只有某一個力的大小和方向發生變化，而另外兩個力的方向不變，此時，可用力的矢量三角形來判斷力的大小變化趨勢。

二、運用相似三角形法求解

【例2】如圖3中，輕桿BO的O端是用光滑鉸鏈鎖定在豎直放置輕桿AO上的，B端處掛上一個物體，并系著一條細繩，細繩跨過輕桿頂點A處的光滑小滑輪，細繩被外力F拉住，現把細繩慢慢向左拉，在桿BO與桿AO間的夾角θ逐漸減少的過程中，拉力F和桿BO所承受的壓力FN大小變化情況是（）。

A.F先增大，后減小

B.FN先減小，后增大

C.FN始終不變

D.F始終不變

解析：以桿的B端作為研究對象，則B端受繩的拉力F、BO桿的彈力FN、掛物體的繩子的拉力作用，掛物體繩子的拉力大小等于G，現將FN與G進行力的合成，它們的合力跟F大小相等、方向相反，畫出如圖4所示的受力分析圖，其中力的三角形與幾何三角形OBA相似，根據數學知識可知GH=FNL=Fl，式中G、H、L均不變，l逐漸變小，可知FN不變，F逐漸變小。正確答案為選項C。

總結：物體在三個共點力作用下處于動態平衡時，如果有兩個力的方向在變化，用力三角形與幾何三角形相似，來判斷力的大小變化比較簡單。

三、運用隔離法和整體法求解

【例3】如圖5，粗糙的水平地面上，與墻平行放置著一個截面為半圓形狀的物塊A，A與墻間放一個球B，不計球受到的摩擦力。整個系統處于靜止平衡狀態?，F給B施加豎直向下并通過球心的力F，若墻對B的作用力為F1，B對A的作用力為F2，地面對A的作用力為F3。在F緩慢增大，而整個系統仍保持靜止不動的過程，下面說法正確的是（）。

A.F1保持不變，F3緩慢減小

B.F1緩減小，F3保持不變

C.F2緩慢增大，F3緩慢增大

D.F3保持不變，F2緩慢增大

解析：由于F可分解為兩個力，一是使B緊壓豎直墻的力F′1，另一個是緊壓A的力F′2。對系統進行整體分析，可得F′1和地面對A的摩擦力應大小相等，地面對A的支持力N=（mA+mb）g+F，所以地面對A的作用力就是地面對A的摩擦力和支持力的合力，力F緩慢增大的過程中，F′1和F′2會同時增大，所以答案是C。

總結：針對本題所給出的條件，綜合運用整體法和隔離法進行分析討論，可有效解答類似問題。

四、運用正交分解法求解

【例4】如圖7所示，在水平拉力F作用下，物體B向右緩慢運動，A物體勻速上升。地面對B物體的支持力、摩擦力和繩對B物體的拉力分別用FN、Ff和T表示，那么在運動過程中FN、Ff和T的變化情況是（）。

A.FN、Ff都減小，T增大

B.FN、Ff都增大，T減小

C.FN、Ff、T都增大

D.FN增大，Ff減小，T不變

解析：因為A、B通過定滑輪相連，A勻速上升，那么拉力T的大小始終保持不變，為T=mAg。

畫出如圖8所示的受力圖。

點評：正交分解法是解決平衡問題的一般方法，應用正交分解法一般應注意以下幾點：（1）該方法不受研究對象所受外力多少的限制；（2）關于坐標軸的選取，原則上是任意的，就是說選擇不同的坐標軸并不影響運算的結果，但具體應用時又以解題方便為原則。

五、運用極限分析法求解

總結：極限分析法就是運用極限思維，把所涉及的變量在不超過變量取值范圍的條件下，使某些量的變化抽象成無限大或無限小去考慮解決實際問題的一種方法，極限分析法具有好懂、易學、省時、準確的特點，在物理學中有著重要應用。

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高中物理靜力學部分，有很多動態平衡問題。所謂動態平衡問題，就是通過某種途徑（如繩子的收放、傾斜角的改變等）使物體的受力發生變化，但物體仍處于平衡狀態。由于這類問題涉及變力，力的大小和方向均可能發生變化，要用動態思維來考慮這類問題。解決這類問題的指導思想是：動中求靜，變中尋恒。下面結合例題談談這類問題的求解方法。

一、運用矢量三角形求解

【例1】將重為G的小球靜止放置在固定斜面和豎直擋板間，不計一切摩擦。在擋板逆時針方向慢慢轉到水平位置的過程中，請分析斜面和擋板對小球的彈力的大小，F1、F2是怎樣變化？

解析：擋板緩慢轉動的過程中，可以認為小球每一時刻都處于靜止狀態（如圖1所示），即所受合力為零。畫出如圖2所示的矢量三角形，其中G的大小、方向都不會改變；F1的方向保持不變；F2的起點在G的終點處，而F2的終點一定在F1所在的直線上，由圖可知，在擋板逆時針轉動90°的過程中，F2也逆時針轉動90°，所以由圖2可知F1逐漸變小，F2先變小后變大。

總結：當物體在三個共點力作用下處于動態平衡時，如果只有某一個力的大小和方向發生變化，而另外兩個力的方向不變，此時，可用力的矢量三角形來判斷力的大小變化趨勢。

二、運用相似三角形法求解

【例2】如圖3中，輕桿BO的O端是用光滑鉸鏈鎖定在豎直放置輕桿AO上的，B端處掛上一個物體，并系著一條細繩，細繩跨過輕桿頂點A處的光滑小滑輪，細繩被外力F拉住，現把細繩慢慢向左拉，在桿BO與桿AO間的夾角θ逐漸減少的過程中，拉力F和桿BO所承受的壓力FN大小變化情況是（）。

A.F先增大，后減小

B.FN先減小，后增大

C.FN始終不變

D.F始終不變

解析：以桿的B端作為研究對象，則B端受繩的拉力F、BO桿的彈力FN、掛物體的繩子的拉力作用，掛物體繩子的拉力大小等于G，現將FN與G進行力的合成，它們的合力跟F大小相等、方向相反，畫出如圖4所示的受力分析圖，其中力的三角形與幾何三角形OBA相似，根據數學知識可知GH=FNL=Fl，式中G、H、L均不變，l逐漸變小，可知FN不變，F逐漸變小。正確答案為選項C。

總結：物體在三個共點力作用下處于動態平衡時，如果有兩個力的方向在變化，用力三角形與幾何三角形相似，來判斷力的大小變化比較簡單。

三、運用隔離法和整體法求解

【例3】如圖5，粗糙的水平地面上，與墻平行放置著一個截面為半圓形狀的物塊A，A與墻間放一個球B，不計球受到的摩擦力。整個系統處于靜止平衡狀態。現給B施加豎直向下并通過球心的力F，若墻對B的作用力為F1，B對A的作用力為F2，地面對A的作用力為F3。在F緩慢增大，而整個系統仍保持靜止不動的過程，下面說法正確的是（）。

A.F1保持不變，F3緩慢減小

B.F1緩減小，F3保持不變

C.F2緩慢增大，F3緩慢增大

D.F3保持不變，F2緩慢增大

解析：由于F可分解為兩個力，一是使B緊壓豎直墻的力F′1，另一個是緊壓A的力F′2。對系統進行整體分析，可得F′1和地面對A的摩擦力應大小相等，地面對A的支持力N=（mA+mb）g+F，所以地面對A的作用力就是地面對A的摩擦力和支持力的合力，力F緩慢增大的過程中，F′1和F′2會同時增大，所以答案是C。

總結：針對本題所給出的條件，綜合運用整體法和隔離法進行分析討論，可有效解答類似問題。

四、運用正交分解法求解

【例4】如圖7所示，在水平拉力F作用下，物體B向右緩慢運動，A物體勻速上升。地面對B物體的支持力、摩擦力和繩對B物體的拉力分別用FN、Ff和T表示，那么在運動過程中FN、Ff和T的變化情況是（）。

A.FN、Ff都減小，T增大

B.FN、Ff都增大，T減小

C.FN、Ff、T都增大

D.FN增大，Ff減小，T不變

解析：因為A、B通過定滑輪相連，A勻速上升，那么拉力T的大小始終保持不變，為T=mAg。

畫出如圖8所示的受力圖。

點評：正交分解法是解決平衡問題的一般方法，應用正交分解法一般應注意以下幾點：（1）該方法不受研究對象所受外力多少的限制；（2）關于坐標軸的選取，原則上是任意的，就是說選擇不同的坐標軸并不影響運算的結果，但具體應用時又以解題方便為原則。

五、運用極限分析法求解

總結：極限分析法就是運用極限思維，把所涉及的變量在不超過變量取值范圍的條件下，使某些量的變化抽象成無限大或無限小去考慮解決實際問題的一種方法，極限分析法具有好懂、易學、省時、準確的特點，在物理學中有著重要應用。

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