鋼管下料問題的Mathematica求解及分析

隋英 孫常春 艾瑛

沈陽建筑大學理學院 遼寧沈陽 110168

鋼管下料問題的Mathematica求解及分析

隋英 孫常春 艾瑛

沈陽建筑大學理學院 遼寧沈陽 110168

針對鋼管切割加工的問題，分別以余料最少和用料最省為目標，建立了該問題的整數規劃模型，并用Mathemaica軟件進行求解。同時，對兩個模型進行了比較分析，得出了以用料最省為目標建立的模型優于以余料最少為目標建立的模型的結論，尋求出了鋼管下料的最佳處理方案。

線性規劃；整數規劃；Mathemaica

生活中常會遇到切割、裁剪、沖壓等手段，將原材料加工成所需大小，這種工藝過程稱為原料下料問題。按照進一步的工藝要求，確定下料方案，使用料最省或利潤最大。本文針對一類鋼管的切割加工問題，建立了數學模型，并用Mathemaica軟件進行了求解。

問題提出

某鋼管零售商從鋼管廠進貨，將鋼管按照顧客的要求切割后售出。從鋼管廠進的原料鋼管都是19米長，現有一客戶需要50根4米長、20根6米長、15根8米長的鋼管，應如何下料最節省？

問題分析

首先，應當確定哪些切割模式是可行的。所謂一個可行的切割模式，是指能按照客戶需要在原料鋼管上安排切割的一種組合。例如：將19米長的鋼管切割成3根4米長的鋼管，余料為7米；或者將19米長的鋼管切割成4米、6米和8米長的鋼管各1根，余料為1米。通常，可行的切割模式是只要能按照客戶的要求進行切割就行，而不必考慮該切割模式是否合理。顯然，可行的切割模式是很多的。

其次，應當確定哪些切割模式是合理的。通常假設一個合理的切割模式的余料不應該大于或等于客戶需要的鋼管的最小尺寸。例如：將19米長的鋼管切割成3根4米長的鋼管的切割模式是可行的，但余料為7米，可以進一步將7米的余料切割成4米鋼管余料為3米，或將7米的余料切割成6米的鋼管余料為1米。在這種假設下，合理的切割模式一共有7種，如表1所示：

表1 鋼管下料的合理切割模式

問題化為在滿足客戶需要的條件下，按照哪種合理的模式，切割多少根原料鋼管，最為節省的問題。所謂的節省，可以有兩種標準，一是切割后剩余的總余料量最小，二是切割原料鋼管的總根數最少。以此為目標，可建立下述模型。

模型的建立和求解

決策變量：設xi表示按第i種模式i=1，2，L，7切割的原料鋼管的數量，xi為非負的整數。

約束條件：4米的鋼管要50根，則：4x1+3x2+2x3+x4+x5≥50；

6 米的鋼管要20根，則：x2+2x4+x5+3x6≥20；

8 米的鋼管要15根，則：x3+x5+2x7≥15；

整數約束：xi為非負的整數，i=1，2，L，7。

目標函數：如果以切割后剩余的總余料量最小為目標，可得：

minz =3x1+x2+3x3+3x4+x5+x6+3x7于是以切割后剩余的總余料量最小為目標，可得模型（1）

xi為非負的整數，i=1，2，L，7

利用Mathematica求解模型

即：按照模式2切割12根原料鋼管，按照模式5切割15根原料鋼管，共27根，總余料為27米。

目標函數：如果以切割原料鋼管的總根數最少為目標，則有

于是以切割原料鋼管的總根數最少為目標，可得模型（2）：

xi為非負的整數，i=1，2，L，7

利用Mathematica求解模型

即：按照模式2切割15根原料鋼管，按照模式5切割5根原料鋼管，按照模式7切割5根原料鋼管，共25根，總余料量為35米。

模型的比較分析

經計算得：模型（1）按照模式2切割12根原料鋼管，按照模式5切割15根原料鋼管，共用料27根，總余料為27米。按照模型（1）的切割方式，共得到了36+15=51根4米長的鋼管，12+15=27根6米長的鋼管，15根8米長的鋼管。而實際客戶需要的是50根4米長、20根6米長、15根8米長的鋼管。因此，模型（1）實際用料27根，多生產了1根4米長的鋼管、7根6米長的鋼管，實際的總余料為27+4+42=73米。

經計算得：模型（2）按照模式2切割15根原料鋼管，按照模式5切割5根原料鋼管，按照模式7切割5根原料鋼管，共用料25根，總余料量為35米。按照模型（2）的切割方式，共得到了45+5=50根4米長的鋼管，15+5=20根6米長的鋼管，5+10=15根8米長的鋼管。剛好滿足客戶的要求，僅用料25根，余料35米。

經分析可得：僅在一次的供貨時，在余料沒有什么用途的情況下，無論是以切割后實際剩余的總余料量最小為目標，還是以切割原料鋼管的總根數最少為目標，模型（2）都較模型（1）更好。

結論

本文針對鋼管切割加工的問題，分別以余料最少和用料最省為目標，建立了該問題的整數規劃模型，用Mathemaica軟件進行求解。同時，對兩個模型進行了比較分析，得出了以用料最省為目標建立的模型優于以余料最少為目標建立的模型的結論，尋求出了求解鋼管下料的最佳處理方案。

[1]姜啟源,謝金星,葉俊.數學模型(第3版).北京:高等教育出版社,2003

[2]謝金星,薛毅.優化模型與LINDO/LINGO軟件.北京:清華大學出版社,2005

[3]李漢龍,繆淑賢,韓婷.Mathematica基礎及其在數學建模中的應用.北京:國防工業出版社,2013

隋英（1974-），女，遼寧丹東人，副教授，主要從事金融工程和數學建模的研究。