新型無桿飛機牽引車夾持舉升機構靜剛度分析

許致華，王岳飛，洪振宇，張志旭

(中國民航大學航空自動化學院，天津300300)

為適應我國航空業的快速發展，加快飛機牽引車關鍵技術的研究迫在眉睫。夾持舉升機構是無桿飛機牽引車的關鍵部件之一，直接與飛機機輪相作用，將機輪抬離地面，實現牽引功能。文獻 ［1］提出一種新型吊籃式夾持舉升機構，該機構在保證安全的條件下，減少對飛機機輪自由度的限制。由于飛機牽引車在工作時，夾持舉升機構托起飛機前輪，承受飛機部分重力，承受載荷大，因此靜剛度是其重要指標，在夾持舉升機構設計前期，建立其靜剛度模型是非常必要的。

對并聯機構靜剛度研究，國內外學者做了大量工作，主要有:GOSSELIN［2］根據虛功原理在只考慮主動關節彈性的前提下，研究了平面3自由度和空間6自由度并聯機器人靜剛度矩陣;文獻 ［3－4］采用虛設鉸鏈法研究了含恰約束從動支鏈并聯機構的剛度建模問題，但所建模型采用一維彈簧描述約束支鏈的彎曲變形，建模精度不高;HUANG等［5－6］利用子系統原理，考慮構件變形，利用虛功原理、線性疊加原理建立機床整體剛度模型并對其進行分析;韓書葵等［7］采用螺旋理論推導出了4自由度并聯機器人的剛度計算公式并進行了分析;WOO-KEUN等［8］基于構件的彈性變形研究了并聯機器人的靜剛度，所建模型僅考慮了機構的驅動剛度;王友漁等［9］基于全變形雅克比矩陣，提出了一種建立Tricept類并聯機構完備靜剛度映射矩陣的方法，解決了含有恰約束支鏈的彎曲剛度建模問題;HUANG等［10］證明在靜剛度建模過程中忽略幾何變形對系統剛度有一定影響，并把考慮幾何變形后求得的剛度矩陣稱為并聯機構的守衡轉換剛度矩陣;Charles PINTO等［11］在考慮預應力的情況下，用理論和實驗相結合的方法分析了2自由度和4自由度等少自由度并聯機器人的靜剛度模型;周玉林等［12］通過靜力學平衡方程求得3-RRR球面并聯機構各桿件的受力及變形情況，利用小變形疊加原理，建立了機構的整體剛度矩陣，但忽略了桿件的軸向拉壓變形和垂直方向的扭轉和彎曲變形。

以新型吊籃式夾持舉升機構為研究對象，根據靜力學平衡方程分析其受力情況，求出各支鏈的變形，再利用虛擬機構法求出支鏈變形引起的承載斗的位姿變化，利用小變形疊加原理求出機構的整體變形，并建立外載荷和機構的整體變形之間的映射關系，求出機構的剛度矩陣。利用正交化法，求出機構的主剛度，并用ANSYS有限元軟件加以驗證。

1 機構簡介和運動學分析

1.1 機構簡介及坐標系的建立

如圖1所示，吊籃式夾持舉升機構由轉盤、承載斗、兩組結構相同的RUS支鏈與一個被動支鏈組成。RUS支鏈一端通過轉動副與轉盤相連，另一端通過球鉸鏈與承載斗相連;被動支鏈一端通過虎克鉸與承載斗相連，另一端通過移動副與轉盤相連。在此，R表示轉動副，U表示虎克鉸，表示主動移動副，S表示球鉸。

圖1 吊籃式夾持舉升機構

圖2為該新型夾持舉升機構的結構簡圖。

將轉盤視為機架，與機架相連的被動支鏈等效為PU支鏈。設被動支鏈3與轉盤固連于點A，與承載斗通過虎克鉸相連，設虎克鉸轉軸中心點為C3。兩組RUS支鏈1、2與承載斗通過球形鉸相連，設球鉸中心分別為C1、C2，移動副液壓缸通過虎克鉸與后擋板相連，設虎克鉸中心點分別為D1、D2。后擋板與轉盤通過轉動副相連，過點D1、D2作轉動副軸線的垂線，與轉動副軸線分別相交于點E1、E2。在點A處建立固定坐標系A－xyz，其中x軸沿AC3方向，y軸豎直向上，z軸滿足右手定則。在點C3處建立坐標系C3－x3y3z3，z3軸沿BC3方向，y3軸垂直于BC3向上，x3軸滿足右手定則。在點Ei(i=1，2)處分別建立坐標系Ei－xiyizi與后擋板相固連，xi軸沿EiDi方向，yi軸豎直向上，zi軸滿足右手定則。設坐標系Ei－xiyizi、C3－x3y3z3可由坐標系A-xyz通過坐標變換得到，其姿態變換矩陣分別為Ri、R3。

圖2 夾持舉升機構結構簡圖

變換矩陣R1、R2、R3分別為:

式中:α表示坐標系A－xyz變換到坐標系C3－x3y3z3時，繞x軸旋轉的角度;

β表示坐標系A－xyz變換到坐標系C3－x3y3z3時，繞z軸旋轉的角度;

θ表示坐標系A－xyz變換到坐標系E1－x1y1z1時，繞y軸旋轉的角度;

φ表示坐標系A－xyz變換到坐標系E2－x2y2z2時，繞y軸旋轉的角度。

1.2 機構的位置逆解

采用閉環矢量法進行機構位置逆解分析，在坐標系A－xyz下，構造閉環約束方程對式 (1)兩端取模，得

式中:qi和wi分別表示支鏈i中液壓缸的長度和單位矢量;c3、ei表示點C3、Ei在坐標系A－xyz的度量;ci表示點C1、C2在坐標系C3－x3y3z3下的度量;di表示點Di在系Ei－xiyizi下的度量。

2 機構的靜剛度分析

2.1 機構的靜力學分析

為了分析機構的受力情況，對機構的動作加以分析，抬起機輪的過程可分為以下兩步:

(1)主動支鏈1、2中的液壓缸收縮，由于拖動后擋板轉動所需的摩擦力小于提起承載斗所需要的拉力，所以承載斗位置不變，后擋板繞固連在轉盤上的轉軸轉動到止動點位置，停止轉動;

(2)液壓缸繼續收縮，承載斗向后移動，機輪滾上承載斗，承載斗繞z3軸轉動，抬起機輪至離地面100～150 mm的高度。

在第一步中，機構運動所需克服的阻力為后擋板與轉動軸之間的摩擦力，要遠遠小于提升機輪所需要的拉力，因此可以忽略不計。僅對第二步機構的受力加以分析。做如下假設:忽略各鉸鏈的間隙對機構剛度的影響;將轉臺、承載斗、各鉸鏈視為剛體。

如圖2所示，承載斗在點P處所受載荷為 (FM)，點P在坐標系C3－x3y3z3下的度量為p。支鏈i(i=1，2，3)對承載斗的作用力為Fi，由于支鏈1，2均為二力桿，故F1、F2沿w1、w2方向，設F3沿w3方向。以承載斗為研究對象，列其平衡方程有:

對點P求矩有

式中:Gi為過點P做Fi所在直線的垂線的垂足，rP、rGi表示點P、Gi在坐標系A－xyz下的度量。

Fi所在直線li的方程為

式中:ri、r3分別為以ti、t3為變量的函數。過點P作直線li的垂線的方程為

綜合式 (4)、(5)可得外載荷與承載斗所受各支鏈的作用力之間的關系為

設wi= ［wixwiywiz］T(i=1，2)，υi=［υixυiyυiz］T(i=1，2)，點P在坐標系A－xyz下的坐標為 (xpypzp)。

2.2 桿件的變形

機構的連桿在外載荷作用下發生變形，其中連桿1、2為二力桿，其變形僅為拉壓變形，連桿3受軸向力和徑向力，其變形有拉壓變形和彎曲變形。

連桿i因軸向力引起的變形為

式中:ki、k3分別為連桿i、連桿3的軸向剛度，F3x為力F3沿x軸方向的投影。力F3在平面yoz內的投影F3yoz使連桿3產生彎曲變形，將連桿3簡化為懸臂梁，在力F3yoz作用下連桿的最大撓度和轉角為

連桿3的軸向變形為

其中:EI為抗彎剛度，E為材料的彈性模量，I為橫截面對中性軸的慣性矩，f沿F3yoz方向。

2.3 桿件變形對承載斗的影響

假定承載斗為剛體，不考慮各鉸鏈的變形和間隙，連桿變形引起承載斗的位姿變化，設 (Δ'，δ')表示承載斗的位姿變化，Δ'表示承載斗的線位移，δ'表示承載斗的角位移。由機構的結構形式可知，承載斗的線位移由支鏈3的變形所引起，角位移由支鏈1、2的變形所引起。所以有

以第i支鏈為研究對象。假設連桿長度為變量，可以得到以下關系式

對式 (20)兩端對時間求導有通過承載斗的位姿變形，可求出點Ci的速度

將式 (19)代入式 (23)中得

對式 (24)進行化簡得出承載斗角位移與各支鏈變形之間的關系為

2.4 機構的剛度矩陣

根據小變形疊加原理，將各連桿的變形及引起承載斗的牽連變形進行疊加得到機構的整體變形，綜合式 (15)—(17)、式 (25)得到機構的整體線位移Δ和機構整體的角位移δ為

承載斗在外載荷 (FM)作用下產生整體線位移Δ、整體角位移δ，根據上述分析，可得外載荷與機構整體變形的關系為

其中:K為機構的整體靜剛度矩陣。

將式 (26)、(27)整理得其中:K1、K2分別為剛度矩陣K的前3列和后2列，因為前3列和線位移有關，后2列和角位移有關，所以K1、K2分別表示機構的線位移剛度矩陣和角位移剛度矩陣。采用對角化的方法，求出矩陣K的特征值為K1、K2、K3、K'1、K'2，從而可得機構的線位移主剛度K1、K2、K3和角位移主剛度K'1、K'2。

3 算例分析

c2=［2 0 0 －200±s 3 －500］T;中轉軸采用45鋼，其彈性模量E=200 GPa，直徑D=50 mm。對連桿2、3進行簡化處理，設其等效為圓柱45鋼的拉桿，其直徑D2=D3=70 mm。點P在坐標系C3－x3y3z3下的度量為p= ［x3py3pz3p］T，并滿足方程 (x3－400)2+y23=4002，且z3p∈ ［－100 mm，

其中:C=GH－1為機構的柔度矩陣，所以機構的靜剛度矩陣可寫為

機構處于正常工作條件下，z3p=0，此時機構在工作空間內的各向剛度如圖3中 (a)、(b)、(c)所示。可知:機構沿x、y軸的線剛度很大，而且遠遠高于沿z軸的線剛度，符合機構設計的沿x、y軸剛度大要求。

為校驗所建機構剛度模型的準確性，借助有限元分析軟件ANSYS Workbench分析給定機構的兩個典型位姿，求解出其各向線剛度。

圖3 機構剛度在工作空間內的分布

為便于進行比較，仍選用如圖2所示的坐標系，在工作空間內選取兩個典型位形:位形1，α=0.05 rad，β=0，z3p=0;位形 2，α=0.05 rad，β=0.2 rad，z3p=0。設外載荷為單位力，作用在點P。通過解析法和有限元法計算得到在此兩位姿處的剛度數據，如表1所示。通過對比可知兩種模型計算結果非常接近，所以文中提出的靜剛度解析模型是正確有效的。

表1 機構在位形1、2下的剛度比較 ×104N/mm

4 結論

(1)機構整體剛度在工作空間中變化平穩，線剛度沿x、y軸方向較大，沿z軸方向較小，角剛度接近于0，符合實際工作中對自由度的要求。

(2)綜合考慮驅動支鏈和被動支鏈的剛度，以及其變形對承載斗位姿變化的影響，所提出的建模思路明確，計算簡單，并通過有限元計算驗證了所建模型的正確性，可實現整機剛度的快速預估，對機構的詳細結構設計具有重要意義。

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