運用觀察，巧思妙解

李等通

摘 要：觀察是人們認識客觀世界的途徑，是有計劃、有目的、有意識地知覺事物的過程。觀察是學好數學的必備條件，許多數學知識的獲得都來源于觀察。從觀察結構、觀察規律、觀察特值、觀察圖形、觀察全題等方面論述培養學生的能力。

關鍵詞：數學；觀察；培養；思維能力

觀察能力是對事物的有意感知。觀察能力施展的目的是捕捉進行思維的信息，引發思維，從而獲得概念、認識規律、掌握技能。在解決數學問題時，讓學生觀察各類已知條件和結論之間的內在及外在聯系，充分挖掘隱含條件和題型結構，從而全面了解數學信息，聯系記憶，簡化類化思維過程，進而依據所收集到的信息解決問題。在教學過程中培養學生的觀察能力，是能力培養任務中的重要一環，也是學好數學的保證。

一、觀察結構，尋求突破

觀察能力是人們在認識事物和獲取知識的過程中，必須具備的本領。在教學過程中培養學生的觀察能力，是能力培養任務中的重要一環，也是學好數學的保證。在解題中，教會學生仔細觀察題中的式子的結構特點，聯想有關的數學知識和方法，尋求解題的突破口，確定解題思路。

分析：分子的式子是sin4x、sin2xcos2x、cos4x三項的和，與完全平方的結構相似，又聯想到（sin2x+cos2x）2=sin4x+cos4x+2sin2xcos2x=1。因此，分子可以化成sin4x+cos4x+sin2xcos2x=1-sin2xcos2x，分母同時可化成2-2sinxcosx=2（1-sinxcosx），問題即可解決。

因此，我在高中數學教學中，有意識地培養學生善于觀察的習慣，這樣有助于培養學生的直覺思維能力。而直覺思維又經常與解決數學疑難問題相聯系，有時從題目的數形特征就可以發現題目的內在規律，進而找到解題的突破點。

二、觀察規律，尋找答案

通過觀察各元素之間的關系，發現它們的內在聯系，從事物的構成規律把握問題的實質，認真運算，從而尋找答案。

例，在數列an中，an=1+22+33+…+nn，（n∈N*），在數列bn中，bn=cos（anπ），（n∈N*），則b2012-b2013=_________.

我在教學時引導學生研究數列an的規律，通過簡單的運算可以找到an有這樣的奇偶性規律：奇，奇，偶，偶，奇，奇，偶，偶，…，從而bn分別為：-1，-1，1，1，-1，-1，1，1，…，周期為4，所以，b2012-b2013=1-（-1）=2.

實踐證明，教師有意識地引導學生經過分析、綜合、比較、抽象、概括等思維法學習一個又一個新概念，有意識地引導學生用各種數學思維方法解決一個又一個數學實際問題，那么學生就會熟悉這些思維方法規律，并能從不自覺到自覺應用這個方法，從而提高分析問題解決問題的能力。

三、觀察特值，尋得結果

高中數學問題的條件和結論，都存在著特殊性。求解數學問題時，若能從條件或結論的特殊性出發，抓住隱含在題目中的特殊關系，可幫助學生擺脫思維困境。通過解題，可以培養學生的發散思維能力。

因此，教師要善于引導學生從多角度觀察、思考、聯想、概括，并獲得多種解題途徑，從而不斷掀起學生的思維浪花，使他們既開闊了視野，又增添了興趣，也感受到數學的美妙與情趣，更培養了發散思維的靈活性。

四、觀察圖形，探索解法

數與形是數學中研究的兩個方面，這兩者既相互區別又密切相關。在教學過程中，如能引導學生充分挖掘題目條件中蘊含的幾何意義，構造幾何圖形使條件中的數量關系與幾何意義統一為整體，就可以有效解決一些較為復雜的數學問題。比如，某些代數問題，三角問題往往都有幾何背景，借助其背景圖形的性質，可使那些抽象的概念、復雜的數量關系變得直觀，從而便于探索解題思路，找到問題的結論。

緊密結合教學內容和學生生活實際，制作數學主題圖，把數學知識圖畫化，把復雜問題簡單化，把隱蔽問題揭示出來。這能充分調動學生的求知欲望，激發學生的學習興趣，發散學生的數學思維，提高學生的能力。

五、觀察全題，發掘隱含

所謂隱含條件，是指題目中含而未露、不易察覺的固有條件，常是巧妙地隱蔽在題設的背后，極易被人們所忽視。因此在教學中培養學生學會搜尋每一個細節，不放過題中的每一個字，盡可能地發掘隱含條件。最大限度地利用題目所提供的信息，全面審視、各個擊破、化繁為簡、巧解妙證。

例如，如圖，幾何體ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直平面ABC，且EA=AB=2a，DC=a，F、G分別為EB和AB的中點。求證：

①FD∥平面ABC；②AF⊥BD；③求二面角B-FC-G的正切值。

分析：要證明AF⊥BD，關鍵是要發掘隱含條件AF⊥平面EBD，仔細看題，其中條件三角形ABC是正三角形，那么就要想到“三邊合一”得到AG⊥CG，從而發現CG⊥平面AFG，進而得AF⊥CG，最終可得AF⊥平面EBD，問題即可解決。

說明解題往往就是挖掘隱含條件，所以一定要認真觀察全題，不放過題目中的每一個字，從已知條件中挖掘，注意概念與性質，這樣才能更好地挖掘隱含條件，再各個擊破，使問題獲解。

數學概念的形成、命題的發現、解題方法的探究，都離不開觀察。因此在課堂教學上要使學生認識到觀察的重要性，培養學生的觀察興趣，通過直觀滲透及對比、類化、識圖、實踐等方法，使學生直觀認識到觀察的重要性及其在實踐與解題中的簡便快捷等特性，并從中產生興趣，化被動為主動，積極進行觀察和積累，從而提高他們的數學能力。

（作者單位 廣東省梅州市大埔實驗中學）