微分中值定理中間點的性質研究

陳開宇

摘 要：本文研究了拉格朗日中值定理與柯西中值定理的中間點的性質，根據輔助函數的構造來完成對中間點性質的證明，得到了該中值定理中間點存在的一些性質。

關鍵詞：微分中值；中間點；漸進性

微積分中值定理作為高等數學十分重要的定理之一，在整個高數中占據著重要的地位。關于微分中值定理中間點的研究中，其漸進性性質成為當前研究的重點與難點，許多學者都進行了相關性質的分析與探討。關于微分中值定理漸進性的研究中，利用中值定理提出針對不同函數的中值定理特性的分析方法，并取得了一定的研究成果。本文以高階微分函數為研究對象，對該函數進行中間點的性質進行分析，并推導出相應的結論。

一、預備知識

在微分中值定理中，最為基本的是拉格朗日中值定理，該定理具有很強的代表性，因此對于N階拉格朗日中值定理來講，滿足以下條件：

對于f(x)來講，其連續的區間為[a,b]，在該開區間內，該函數是存在K階可微的，則對于任意的λ，滿足公式（1）表達式：

■(-1)KC1Kf(b-■)=f(K)(λ)(■)K……（1）

同時對于g(x)來講，定義其不為零，且在上述開區間內是可導的，函數導數g（1）（x），g（2）（x），g（3）（x），…，g（n）（x）都是連續的，對于任意的λ，滿足公式（2）表達式：

■=■……（2）

同時，在上述的基礎上，對于拉格朗日中值定理還存在以下引理：

引理1：■(-1)KCKn(n-K)n=n!

引理2：■(-1)KCKn(n-K)n+1=■(n+1)!

引理3：■(-1)KCKn(n-K)n+2=■(3n+1)(n+2)

二、微分中值定理中間點的漸進性性質分析

定理：假設f（t）與g（t）在區間[a,x]上是連續函數，保證f（x）在其開區間內存在n+1次導函數，而g（x）則為n次導函數，對g（x）來講其每一階導數值都不等于零。在此條件下，如果滿足f1（a）=f2（a）=……fn（a）=0，而fn+1（a）≠0，假設F（t）=fn（t）/gn（t）,則滿足的結果是F1（a）=F2（a）=……Fn-1（a）=0，使得F（t）在a點處是連續的函數，在此條件下n階的柯西定理中間點滿足的條件是：

■■=■

其中Bn+1滿足的條件是：Bn+1=■(-1)KCKn(n-K)n+1

證明：構造輔助函數U（x）=

■

對于上述的f（x）與g（x）來講，分別采用n階的拉格朗日中值定理與柯西中值定理，經過計算得到如下：

U（x）=■

=■=■

上述式子中的參數ζ與η都是在本文定義的區間內。然后在a點處，通過泰勒展開公式進行U（x）與F（x）的分解，得到如下：

F（ζ）=F(a)+1/l!F(1)(ζ1)(ζ1-a)，其中ζ1也是在上述范圍之內。

U(x)=n!/l!F(1)(ζ1)g(n)(η)(ζ-a)/(x-a),

■U(x)=1/l!F(1)(a)g(n)(a)■■

然后在上述的條件下，利用羅比塔法則進行應用與計算后，得到如下式子：

■U(x)=■{■}

=■{■}

=■{■}

=■{■}

對于F（1）(ζ2)來講可以利用泰勒展開式進行縮減，帶入后得到：

F(x-k/(x-a))=■(-1)KCKn(n-k)n+1F(1)(a)g(n)(a)x（1）/(n+l)!

通過上述式子的比對分析可以得到本文所需要證明的上述定理。

推論1：假設f（m）在區間[a,m]上是連續的，且開區間內是n階可導的，對于處于a點處的n階導數都是零，n+1導數不為零的條件下，對于拉格朗日中值定理中間點ζ滿足以下結論：

■■=1/2

推論2：假設f(x)滿足條件保證函數在規定的區間[a，b]內連續，其在K+2階下是可微函數，且導函數不為零，在此條件下對于任意的ζ來講，其K階的朗格朗日中值點滿足一下性質：

l■■=1/2(■)

該推論沒有上述推論的關于該n階導數在a點處的每一個導數值相等都等于零的條件，條件比較寬泛。

總之，微分中值定理在高等數學的計算與應用過程中占據著重要的地位。為了研究微分中值定理的中間點的漸進性，為了更好地對定理進行范圍的擴展，通過構造不同的輔助函數對每一個定理進行推斷，結合最基本的微分中值定理的內容，能使計算更加便捷。

參考文獻：

[1]趙益坤，節存來，王磊.關于曲線積分中值定理中間點的一個一般性質[J].大學數學，2007，23（1）：166-169.

[2]王成偉.二階柯西中值定理中間點的漸近性質[J].北京服裝學院學報（自然科學版），2003，23（2）：62-65.

[3]覃淋，張旭.K階拉格朗日中值定理巾間點的漸進性質[J].科技信息，2012（12）：9-10.