非線性破壞準則下考慮坡頂條形基礎的邊坡穩定性分析*

劉 斌，黃 震，劉 雄，劉清裕

非線性破壞準則下考慮坡頂條形基礎的邊坡穩定性分析*

劉 斌1，黃 震1，劉 雄1，劉清裕2

（1.長沙理工大學交通運輸工程學院，湖南長沙410004；2.長沙理工大學文法學院，湖南長沙410004）

運用非線性破壞準則對邊坡穩定性進行分析時需考慮的變量比線性情況多.基于非線性Mohr－Coulomb破壞準則，在考慮坡頂條形基礎附屬荷載情況下對邊坡的穩定性進行了分析，采用極限分析原理對邊坡的高度表達式進行了推導，并結合序列二次規劃算法進行計算.再根據計算方法對工程實例進行計算，將結果與已有研究結果相比較，驗證了該計算方法的正確性.

邊坡穩定性；非線性準則；條形基礎；極限分析

隨著我國高速公路建設過程的推進，邊坡穩定性問題日益凸顯，如果處理措施不當，將造成不可挽回的巨大經濟損失.因此，邊坡穩定性一直是學術界研究的一個熱點問題［1－5］.在已有的研究中，大多數邊坡穩定性分析是基于線性破壞準則進行研究，Chen［6］在其著作中基于線性破壞準則，采用極限分析方法給出了大多數情況下邊坡的穩定性分析結果，其研究成果為邊坡穩定性研究提供了重要的指導；陳祖煜［7］對土力學經典問題的上、下限解進行了研究，并給出了計算結果.然而，大量試驗數據表明，巖土介質服從非線性破壞準則，已有的線性破壞情況只是非線性破壞準則的一種特殊情況.對于非線性破壞準則而言，其研究成果相對線性破壞成果較少，已有的研究成果也難以應用到工程實際以及理論研究當中.Yang等［8－10］首次基于非線性破壞準則將極限分析方法應用于邊坡穩定性分析當中，為處理邊坡穩定性工程難題提供了重要參考，使極限分析方法得到了更為廣泛的應用.

在土地資源日益緊缺的今天，邊坡頂部設置各種建筑物成為一種合理利用土地資源的手段，張曉曦［11］在考慮邊坡頂部設置固定荷載的情況下，對邊坡的穩定性進行了分析，為山區公路邊坡的穩定性及處治提供了參考.本文基于非線性破壞準則，并考慮在邊坡頂部設置條形基礎荷載情況下，對邊坡進行穩定性分析.構建了在條形基礎作用下的邊坡破壞機構，同時利用非線性破壞準則對邊坡的內外做功功率進行推導，計算了條形基礎荷載對邊坡內外做功功率的影響，令邊坡處于極限狀態，求解邊坡的臨近高度，采用非線性規劃算法對其結果進行計算，將本文所得結果與已有研究相比較，為實際工程中邊坡穩定性設計和施工提供了指導意義.

1 基本原理

在巖土工程研究當中，為了計算的簡便，通常采用的強度準則為線性的Mohr－Coulomb準則，在線性準則中，其最大主應力σ1和最小主應力σ3為線性關系：

式（3）當中，σ1和σ3為土體破壞時的最大以及最小主應力，qp、Mp和巖體的土體強度指標c、φ之間的關系為：

但是，大量的實驗表明，在土體當中，其最大與最小主應力的關系并非是線性的，大多數研究考慮的兩者的線性關系只是一種特殊情況.其非線性關系可以表達如下：

上式當中，M*p和α是由室內三軸試驗所確定的參數，此公式是Bieniawski在線性強度破壞準則的基礎上提出的.在應力空間（τ，σn）中，上式可以表示如下：

將上述關系式用曲線表示如圖1所示，其中c0為縱軸的截距，c0，σt和m均為室內三軸試驗所確定土體參數.令m＝1，則所研究的非線性破壞準則退化為線性準則.

圖1 非線性屈服準則的切線

式（4）的切線方程可表示如下：

式（5）中：ct，tanφt為切線的截距和斜率，如上圖1中所示，在非線性破壞準則當中，ct，tanφt可表示如下：

2 條形基礎荷載作用下邊坡的上限分析

構建如圖2所示的邊坡在條形基礎作用下的旋轉破壞機構，其中曲線AB為旋轉破壞機構的假象破壞面，邊坡坡腳為β，邊坡頂部BC長度為L，邊坡的高度為H，所構造的旋轉破壞機構旋轉中心O與邊坡的B、A連線與水平夾角分別為θ0，θh.由參考文獻可知，在本文的破壞機構中，潛在破壞面AB的曲線方程可表示為：

直線OA的長度為：

圖2所示在條形基礎作用下的邊坡的破壞機構中，潛在破壞面AB以上的土體可視為假象剛體，并繞破壞機構的旋轉中心O做旋轉運動，則由圖中的幾何關系可得：

圖2 條形基礎荷載作用下邊坡的對數螺旋線破壞機構

2.1外部做功功率

在Chen的著作當中可知，在分析邊坡的旋轉破壞機構時，如果對分析的土體自重做功功率時，直接對其進行求解，則過程過于繁瑣，并且結果不易求得，只能是一個近似解，因此在本文對圖2邊坡的外部做功功率求解時，采用的方法為間接的疊加法：首先分別求出OAB、OBC、OAC三個部分的做功功率，進而求得要求的ACB區域的做功功率，其中OAB的做功功率相對OBC、OAC兩個三角形的土體做功功率較為難求，本文采用積分的手段進行求解，可得OAB部分做功功率為：

其中：

O－B－C的重力做功功率可表示如下：

同理可得OAC土體自重做功功率表達式為：

因此由（14）、（16）、（18）式可得，本文所求ACB區域土體外部做功功率為：

2.2土體內部耗散功率

由極限分析原理可知，旋轉剛體的內部能量耗損發生在間斷面AB上，沿著間斷面AB進行積分即可得旋轉剛體的土體內部能量耗散功率：

2.3條形基礎荷載做功功率

條形基礎荷載分布圖2所示，條形基礎與坡頂C的距離為L0，埋深為d，基礎寬度為b，假設其附加均布荷載為q.本文假設回填土的重度、條形基礎的重度和二級邊坡土體的重度比較接近，其差別對邊坡的影響可以忽略不計.故可認為條形基礎的附加荷載為上部結構傳遞到基底的平均值：

由式（20）及式（22）可得，邊坡總的外力做功功率為：

由極限分析上限法定理可知，土體外部做功功率與內部能量耗散功率相等時，圖2中旋轉剛體達到一個臨界狀態，可知：

當在條形基礎附加荷載作用下邊坡的各項功率滿足公式（24）時，旋轉剛體體達到臨界狀態，在非線性Mohr－Coulomb破壞準則下，對于在條形基礎附加荷載作用下邊坡的穩定性分析時，相比線性準則的3個變量就能確定其滑動面方程而言，非線性準則下要采用4個變量，分別為θ0，θh，r0，tanφt，進而確定邊坡在平衡狀態的臨界高度Hcr.

由公式（10）、（12）、（20）、（21）、（23）以及（24）可知，條形基礎附加荷載作用下邊坡的高度H可以表示為θ0，θh，r0，tanφt的函數.故采用極限分析原理求條形基礎附加荷載作用下邊坡的臨界高度，可轉化為數學優化問題：

當在條形基礎附加荷載作用下邊坡的滑動土體處于臨界狀態時，H即為最小值，也是式（25）的最小值令，進而對θ0，θh，r0，tanφt進行求解.

其約束條件可確定如下：

本文采用Chen提出的邊坡穩定系數概念，公式（25）給出了臨界高度的一個上限解min H.

記

稱無量綱系數Ns為邊坡穩定系數.

3 工程算例

為了便于比較，假設某邊坡坡腳β＝90°，即為豎直邊坡.采用已有研究將本文中非線性破壞準則下考慮坡頂條形基礎附屬荷載作用所得邊坡的穩定系數與已有的研究結果［12］相比較，設某豎直邊坡的土體服從非線性破壞準則，Zhang等［13］在對邊坡的穩定性進行分析時，所取的巖土強度參數分別為c＝90kPa、σt＝247.3kPa，此后也有許多學者基于非線性準則及相同的強度參數分析巖土的穩定性.因此，本文所取的計算參數也同樣采用上述參數值.非線性破壞準則中，其非線性系數m決定著破壞準則的強度包絡線形狀，對巖土的其他參數有著較大影響，故本文對不同非線性系數下的邊坡穩定性進行研究.由于本文考慮坡頂條形基礎荷載的作用，邊坡的穩定性系數將比文獻［12］中會小.

當m分別取值為1.0，1.2，1.4，1.6，1.8，2.0，2.5，其他參數與文獻［12］中所述相同，并將本文的計算結果與文獻［12］中所得結果相比較，結果見表1.從表1中可看出，在非線性Mohr－Coulomb破壞準則下，考慮坡頂條形基礎附屬荷載，邊坡的穩定性系數Ns相比文獻［12］中較小，隨著m系數的增加，兩者相差也越來越大，當m＝2.5時，其穩定系數為3.44，與文獻［12］中相差達到22.6%.從而可以看出條形基礎附加荷載對邊坡穩定性的影響，也驗證上文提到的本文計算的正確性.

表1 非線性破壞準則下考慮條形基礎荷載時邊坡穩定性系數與已有結果的比較

4 結論

（1）在非線性破壞準則下，對邊坡的穩定性分析時要考慮的變量比線性情況要多一個土體參數.運用極限分析原理對邊坡的高度表達式進行了推導，并采用序列二次規劃算法進行計算，從而求得條形基礎荷載對邊坡的穩定性系數的影響.

（2）將本文研究方法應用的工程實例當中，并將所得計算結果與已有研究結果相比較，可以得出，在非線性Mohr－Coulomb破壞準則下，考慮坡頂條形基礎附屬荷載下，邊坡的穩定性系數Ns相比已有結果中較小，隨著m系數的增加，兩者相差也越來越大.

［1］龔曉南.土塑性力學［M］.杭州：浙江大學出版社，1999.

［2］楊小禮，李亮，劉寶琛.非線性破壞準則對豎直邊坡穩定性分析的影響［J］.巖石力學與工程學報，2004，（4）：592－596.

［3］李家春.公路邊坡降雨災害評價方法與指標研究［D］.西安：長安大學博士學位論文，2005.

［4］鐘聞華，劉松玉，張克恭.群樁基礎特性研究與實例分析［J］.建筑結構，2003，（11）：9－12.

［5］夏元友，李梅.邊坡穩定性評價方法研究及發展趨勢［J］.巖石力學與工程學報，2002，（7）：1087－1091.

［6］Chen W.Limit Analysis and Soil Plasticity［M］.Amsterdam：Elsevier，1975.

［7］陳祖煜.土力學經典問題的極限分析上下限解［J］.巖土工程學報，2002，（1）：1－11.

［8］Yang X，Yin J.Slope stability analysiswith non－linear failure criterion［J］.Journal of Engineering Mechanics，2004，（3）：267－273.

［9］Yang X.Seismic displacementof rock slopeswith nonlinear Hoek－Brown failure criterion［J］.Rock Mechanics＆Mining Sciences， 2007，（6）：948－953.

［10］楊小禮.巖石極限分析非線性理論及其應用［J］.中南大學學報，2009，（11）：225－229.

［11］張曉曦.邊坡工程穩定性極限分析［D］.成都：西南交通大學碩士學位論文，2011.

［12］胡衛東，張國祥.非線性破壞準則下的邊坡穩定塑性極限分析［J］.巖土力學，2007，（9）：1909－1913.

［13］Zhang X，ChenW.Stability analysis of slopeswith general nonlinear failure criterion［J］.International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics，1987，（1）：33－50.

Slope Stability Analysis under the Nonlinear Failure Criterion w ith the Consideration of the Crest Strip Foundation

LIU Bin1，HUANG Zhen1，LIU Xiong1，LIU Qingyu2
（1.College of Transportation Engineering，Changsha University of Science and Technology，Changsha Hunan 410004，China；2.College of Arts and Law，Changsha University of Science and Technology，Changsha Hunan 410004，China）

It is necessary to considermore variables to analyze slope stability by using nonlinear failure criterion compared to the linear case.Based on nonlinearMohr－Coulomb failure criterion，affiliated load of the creststrip foundation is considered to analyze the slope stability.Slope height expressions are deduced by the principle of limitanalysis，and they are calculated with sequential quadratic programming algorithm.Then the paper calculates the engineering practicewith the calculationmethod，and the results are compared with those of previous studies to verify the correctness of the calculationmethod.

slope stability；nonlinear criteria；strip foundation；limit analysis

TU47

A

1008－4681（2014）02－0015－05

（責任編校：晴川）

2013－12－31

劉斌（1990－），男，江西吉安人，長沙理工大學交通運輸工程學院碩士生.研究方向：特殊土路基、邊坡穩定性.