在高等代數(shù)中用類比的方法構(gòu)造反例

薛麗紅

（集寧師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，內(nèi)蒙古 烏蘭察布 012000）

在高等代數(shù)中用類比的方法構(gòu)造反例

薛麗紅

（集寧師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，內(nèi)蒙古 烏蘭察布 012000）

在學(xué)習(xí)高等代數(shù)過程中反例對(duì)問題的理解起著其至關(guān)重要作用，構(gòu)造反例就成為解決問題的關(guān)鍵.本文介紹了構(gòu)造反例的方法-運(yùn)用類比的思維方法來構(gòu)造反例，并通過高等代數(shù)中知識(shí)說明了該方法的實(shí)用性.

類比；反例；命題

高等代數(shù)這門課程開設(shè)在大一第一學(xué)期，它具有概念多、理論性強(qiáng)、抽象等特點(diǎn).對(duì)于剛剛邁進(jìn)大學(xué)校門的新生來說，學(xué)習(xí)高等代數(shù)有些吃力.對(duì)于這個(gè)情況我們不能忽視.我們知道反例在認(rèn)知理解事物起著特殊的作用.本文介紹了構(gòu)造反例的方法—運(yùn)用類比的思維方法來構(gòu)造反例，并通過高等代數(shù)中知識(shí)來驗(yàn)證該方法的實(shí)用性.本文利用該方法來構(gòu)造恰當(dāng)?shù)姆蠢瑥亩鴰椭鷮W(xué)生更加深刻地理解掌握概念、命題、定理，提高學(xué)生學(xué)好高等代數(shù)的自信心，同時(shí)啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)地構(gòu)造反例，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維和創(chuàng)造力.

運(yùn)用類比方法構(gòu)造反例就是利用我們所學(xué)過的知識(shí)（如定理、命題、熟知的結(jié)論）對(duì)比新問題，對(duì)比出該問題與我們認(rèn)知的不同地方，從而利用該問題的特點(diǎn)在新的范圍內(nèi)構(gòu)造反例.

命題1 實(shí)對(duì)稱矩陣A的所有順序主子式大于等于零，則A半正定

分析：可供類比的定理是實(shí)對(duì)稱矩陣A的所有順序主子式大于零，則A正定.

這樣我們構(gòu)造反例時(shí)先保證順序主子式大于等于零，而對(duì)于主子式來說可有正有負(fù)的，于是我們有顯然滿足命題條件，但A是半負(fù)定，可見結(jié)論不成立.問題就出在沒有滿足主子式大于等于零，于是我們放寬條件可得這樣結(jié)論：

實(shí)對(duì)稱矩陣A的所有主子式大于等于零，則A半正定.

命題2 設(shè)V1和V2是線性空間V的子空間，則V1YV2未必是V的子空間.

分析：可供類比的命題是設(shè)V1和V2是線性空間V的子空間，則V1IV2是V的子空間.

由子空間判定定理可知我們要考慮加法、數(shù)乘的封閉性，對(duì)集合V1YV2來說數(shù)乘的封閉性顯然滿足，而對(duì)加法運(yùn)算我們需要驗(yàn)證，可構(gòu)造反例：在R2中V1={(a,0)|a∈R}和V2={(0,b)|b∈R}為R2的子空間，取α=(1,0),β=(0,1)∈V1YV2，有α+β=(1,1)?V1YV2不滿足加法的封閉性，可見V1YV2不是V的子空間.

注意命題條件再加上V1?V2或V1?V2，V1YV2就會(huì)滿足加法的封閉性，使得結(jié)論成立.

命題3設(shè)A、B分別為n×s、s×n矩陣，若n>s，則|λI-AB|=|λI-BA|.

分析：可供類比的命題是:設(shè)A、B為n階方陣，則|λI-AB|=|λI-BA|.

于是我們構(gòu)造反例時(shí)要滿足A、B不是方陣，再分別求出它們的特征多項(xiàng)式.可有有于是可得|λI-AB|λ-8，顯然它們的特征多項(xiàng)式不同，結(jié)論不成立.細(xì)心一些我們會(huì)觀察到它們還是有一定關(guān)系：僅差一個(gè)因子，我們會(huì)有結(jié)論：

設(shè)A、B分別為n×s、s×n矩陣，若n>s，則|λI-AB|=λn-s|λI-BA|.

命題4設(shè)V是有限維線性空間，σ∈L(V)，則V=σV⊕σ-1(0),其中

分析：對(duì)線性變換 σ我們熟知的結(jié)論dimσV+dimσ-1(0)=dimV，于是焦點(diǎn)成為證明V=σV+ σ-1(0)成立.我們對(duì)比熟知的結(jié)論：設(shè)V是有限維線性空間，σ∈L(V)，且σ2=σ，則V=σV⊕σ-1(0)，可見一般的線性變換是不能使結(jié)論成立的.顯然有σV+σ-1(0)?V關(guān)鍵證明σV+σ-1(0)?V，這樣構(gòu)造反例的線性變換σ不要滿足σV+σ-1(0)?V，于是有反例：

設(shè)V=R[x]5，V上的線性變換σ：σ(f(x))=f'(x)，?f (x)∈V，則有σV=R[x]4和σ-1(0)=R，于是可得σV+ σ-1(0)=R[x]4+R≠R[x]5，所以一般V不等于值域σV和核σ-1(0)的直和.

從這個(gè)反例觀察到是值域σV不能使結(jié)論成立，但我們能找到與σV同構(gòu)的子空間W能有結(jié)論.設(shè)α1,α2,…,αs是σV的一組基，σ(ηi)=αi,?ηi∈V, i=1,2,..s，W=L(η1,η2,…,ηs)，則V=W⊕σ-1(0).

命題5設(shè)A、B為正定矩陣，則A-B正定.

分析：可供類比的結(jié)論是：設(shè)A、B為正定矩陣，則A+B正定.

由A、B對(duì)稱，則A-B也對(duì)稱，特別地當(dāng)這兩個(gè)矩陣相同時(shí)A-B就為零矩陣，顯然結(jié)論不成立.反例如下：

命題6設(shè)A、B為正交矩陣，則A+B也為正交矩陣.

分析：可類比的結(jié)論：設(shè)A、B為正交矩陣，則AB仍為正交矩陣.

要證(A+B)'(A+B)=I，左式展開為2I+B'A+A'B≠I，則反例：

結(jié)語

本文就高等代數(shù)中一些命題給出了運(yùn)用類比思想構(gòu)造反例.通過本文構(gòu)造反例的過程，我們可引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)高等代數(shù)時(shí)積極主動(dòng)地構(gòu)造反例，從而加深對(duì)問題的理解，并養(yǎng)成獨(dú)立思考、解決問題的習(xí)慣.

〔1〕張禾瑞.高等代數(shù)(第五版)[M].高等教育出版社，2007.

〔2〕黎伯堂，劉桂真.高等代數(shù)解題技巧與方法[M].山東科學(xué)技術(shù)出版社，2001.

〔3〕楊俠，孫自行.關(guān)于高等代數(shù)中命題的反例研究[J].阜陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010.27-4.

〔4〕徐言超.簡析高等代數(shù)有關(guān)定理的條件反例[J].萊陽農(nóng)學(xué)院學(xué)報(bào)，2004.

O15-4

A

1673-260X（2014）03-0009-02