非線性強陀螺效應磁懸浮轉子的解耦控制

魏彤，沈繁呈

(1. 北京航空航天大學 慣性技術重點實驗室，北京 100191；2. 新型慣性儀表與導航系統技術國防重點學科實驗室，北京 100191)

控制力矩陀螺(Control Moment Gyro，CMG)是航天器進行姿態控制的關鍵執行機構[1]。與機械軸承相比，磁軸承具有無機械磨損、無需潤滑、電磁力可控等優點，基于磁軸承支承高速轉子的磁懸浮控制力矩陀螺(Magnetically Suspended Control Moment Gyro, MSCMG)具有高精度、高穩定性和長壽命的突出優點。然而該轉子系統是一個多變量、非線性且強耦合的復雜系統，在電流和位移大幅變化的條件下，徑向電磁力的非線性和陀螺效應耦合特性很強，影響系統的穩定性[2]，因此實現磁懸浮轉子系統的解耦控制非常重要。

目前常用的解耦控制方法主要分為智能解耦算法與線性化解耦算法，前者主要包括神經網絡解耦算法[3]、模糊解耦算法[4]、滑模解耦算法[5]等，但其需要較大的計算機資源配置，控制器設計復雜。線性化解耦方法主要包括微分幾何方法[6]和逆系統方法[7]。微分幾何方法雖然可以實現系統的動態解耦，但需將問題變換到幾何域中討論，且使用的數學工具復雜、抽象，系統模型受放射非線性形式的限制[8]。逆系統方法是近年來針對復雜非線性系統提出的一種常用的大范圍線性化方法, 具有物理概念清晰、直觀,數學分析簡單明了、易于理解等優點，在線性化的過程中包含了原模型的所有項，因此克服了小范圍線性化方法的缺點[9]。

文中針對MSCMG徑向磁懸浮轉子系統的強非線性、強陀螺效應耦合對系統穩定性的影響，提出了考慮功放環節的α逆系統結合滑模控制器的解耦控制方法，并對其進行仿真分析，從而驗證該方法的解耦效果和魯棒性。

1 非線性動力學建模

MSCMG徑向磁懸浮轉子提供2個平動和2個轉動自由度。磁懸浮轉子系統由位移傳感器、控制器、功放、電磁鐵和轉子構成，模型如圖1所示。圖中只標出y方向的磁軸承，x方向與之類似，lm和ls分別為電磁鐵中心和位移傳感器到轉子中心的水平距離；I0為Ay與Ax通道的偏置電流；usay和ucay分別為Ay通道傳感器和控制器的輸出電壓；iay為Ay通道的控制電流；usax和ucax分別為Ax通道傳感器和控制器的輸出電壓；iax為Ax通道的控制電流。

圖1 MSCMG磁懸浮轉子徑向控制通道模型

磁懸浮轉子系統的動力學模型可描述為[1]

(1)

式中：fx和fy為作用于轉子質心上的外力在x和y方向上的分力；α和β為轉子徑向轉動角位移；fax，fay，fbx和fby為轉子Ax通道、Ay通道、Bx通道和By通道的電磁力；Ω為轉子角速度；m為轉子質量；Jx，Jy和Jz為轉子在x，y和z軸方向的轉動慣量，且Jx=Jy；x和y為轉子質心平動位移;px為x方向的力矩；py為y方向的力矩。

電磁軸承各徑向通道的電磁力為[1]

(2)

K=μ0A0N2/4，

對于磁懸浮轉子系統的功放環節，有

(3)

式中：u為線圈兩端電壓；R為線圈電阻；L為線圈電感,設a=-R/L，b=1/L，則(3)式可以表示為

(4)

根據(1)式與(3)式可以定義狀態變量X，輸入變量U和輸出變量Y分別為

X=[x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12]T=

(5)

(6)

(7)

式中：u1，u2，u3，u4分別為磁懸浮轉子系統4個通道的輸入量。

則(1)式可表示為

(8)

2 耦合性分析

從磁軸承坐標系到轉子位置的廣義坐標系的坐標變換可表示為[1]

(9)

將(9)式代入(1)式可得

(10)

式中：H=JzΩ為轉子角動量，也是系統的陀螺效應耦合項。由(10)式可得徑向各通道位移的二階表達式為

(11)

由(11)式可知，當H≠0時，各通道的位移不僅取決于本通道電磁力，還受其他通道位移的影響，系統4個通道之間存在耦合，其中陀螺耦合項H隨轉速升高而增大，高速時成為主要耦合項。由于陀螺效應耦合項H的存在，高速磁懸浮轉子在大范圍偏離平衡點時，非線性強陀螺效應顯著加強，一個通道的擾動會加劇其他通道的擾動，嚴重影響系統的穩定性。

3 α逆系統解耦模型

使用考慮功放環節的α逆系統進行解耦控制。根據(8)式可求出考慮系統功放環節的4輸入4輸出的狀態方程，據此再建立α逆系統的解耦模型。使用α逆系統的先決條件是判斷被控對象的可逆性。

首先要對輸出變量Y=[xam,xbm,yam,ybm]T關于時間求導，直至輸出變量顯含輸入變量U=[u1,u2,u3,u4]T為止。

(12)

(13)

將(2)式和(12)式代入(13)式可得矩陣V的行列式為

(14)

顯然(14)式的第1項不為零，而且在實際的系統中有x0>|x1+lmx2|和I0≠0，并且徑向磁軸承繞組電流最大、最小值均小于I0。由此可以證明det(V)≠0始終成立。從而可以得到系統的相對階之和為

q1+q2+q3+q4=12≤n，

式中：n為(8)式對應的系統中定義的狀態變量的個數。根據逆系統理論，可判斷(8)式對應的非線性系統是可逆的，即可以使用逆系統方法解耦。將該逆系統串聯在原系統之前，就構成了偽線性系統。

以Ax通道為例，結合(12)式和(13)式可得系統的解析解為

， (15)

同理可求Bx，Ay和By通道的解析解u2，u3和u4。則1個具有陀螺效應耦合的非線性系統就解耦為4個簡單的獨立線性子系統。

4 滑模控制器設計

由于在系統建模時并沒有考慮延遲和系統噪聲等非線性因素，該因素形成的非線性殘余耦合會影響系統的解耦效果與穩定性。滑模變結構控制適用于非線性對象，可以有效消除系統解耦后的殘余耦合對系統穩定性的影響。

以Ax通道為例，假設系統輸出為xam，輸入為rax，考慮系統的殘余耦合部分ηax，其偽線性子系統可以表示為

xam=rax+ηax。

(16)

Ax通道的滑模控制器結構示意圖如圖2所示，圖中uax為逆系統的輸入；iax為功放模型輸出電流；eax為系統的誤差量，且eax=rax-xam。

圖2 系統控制框圖

為了消除系統解耦后產生的殘余耦合，對滑模控制器引入積分環節,設計含二階誤差導數的滑模流形面為

(17)

式中：c1，c2，c3，c4為切換函數參數，均取正數，c1一般取1[10]。當系統狀態在滑模平面上滑動時，應有s=0。

對(17)式求導，并代入(16)式可得

(18)

當磁懸浮轉子大范圍偏離平衡點時，為使系統在短時間內可以無抖振地到達滑模態，設計指數趨近律為

(19)

式中：ε指數為趨近律的第1個參數，取正數，決定抑制擾動及未建模動態的能力；k為趨近律的第2個參數，決定指數趨近時的速度。這2個參數保證轉子受到各類非線性殘余擾動而偏離滑模面時可快速返回，使系統保持良好的魯棒穩定性。

結合(18)式和(19)式可得最終控制律為

ηax]。

(20)

由此可知，非線性滑模控制器可以消除系統解耦后的殘余耦合對系統穩定性的影響，從而大幅度提高系統的解耦精確性。使用同樣的方法可以設計出通道Bx，Ay和By的滑模控制器，控制系統如圖3所示。

5 仿真驗證

采用北京航空航天大學自主研制的單框架MSCMG的設計參數驗證考慮功放環節的α逆系統結合滑模控制方法的解耦效果。為充分模擬實際磁懸浮轉子的工況，在(2)式的各通道非線性動力學模型中加入模型非對稱性誤差ΔK，ΔI0和Δx0，使4個通道的模型不完全對稱，其不對稱度不超過5%，系統仿真參數見表1。

表1 磁軸承系統仿真參數

針對磁懸浮轉子的強陀螺效應耦合對系統穩定性的影響，分別對基于小范圍線性化的PID加交叉控制器及基于大范圍線性化的考慮功放環節的α逆系統結合滑模控制器進行仿真試驗。通過仿真整定，得到2種控制器的參數見表2。

表2 控制器參數

為了驗證解耦效果，分別對2種控制器進行徑向磁懸浮轉子的解耦仿真試驗，對比結果如圖4所示。

圖4 PID加交叉控制與α逆系統結合滑模控制仿真結果對比

首先采用傳統PID加交叉控制方法進行仿真，當t=0.5 s時，在Ax通道中加入40 μm的階躍輸入，此時Ax通道的階躍位移對其他3個徑向通道都產生了明顯的擾動，Ay，Bx和By通道的偏移量分別約為20，18和22 μm，而且Ax通道有約17 μm的位移超調。這表明，陀螺效應耦合使得高速磁懸浮轉子系統的動力學耦合非常強烈，當一個通道大范圍偏離平衡點時，PID加交叉控制沒有實現磁懸浮轉子系統的解耦控制，而且系統的魯棒性明顯下降。

當采用考慮功放環節的α逆系統結合滑模控制的方法時，Ay，Bx和By通道的偏移量分別減小到了5，4和8 μm，而且Ax通道的超調量也減小到約3 μm。由于該控制方法針對完全對稱系統設計，當在仿真系統中加入了模型非對稱誤差時，系統解耦后仍有小幅度的耦合誤差。但是對比PID加交叉控制方法可知，考慮功放環節的α逆系統解耦方法具有良好的解耦效果，而且滑模控制器明顯改善了系統殘余耦合對穩定性的影響，從而大幅提高了系統解耦的精確性。

6 結束語

針對非線性強陀螺效應的磁懸浮控制力矩陀螺徑向磁懸浮轉子耦合性對系統穩定性的影響，提出了考慮功放環節的α逆系統結合滑模控制的方法，使多變量、非線性且強耦合的磁懸浮轉子系統解耦為單輸入單輸出的偽線性子系統；進行了磁懸浮轉子系統的解耦仿真試驗，當系統存在5%的模型非對稱性并且在Ax通道加入階躍輸入時，對比PID加交叉控制方法可知，Ax通道的位移超調量以及其他3個通道的位移跳動量均大幅減小，證明采用考慮功放環節的α逆系統結合滑模控制的方法能夠實現磁懸浮轉子系統良好的解耦控制。