對簡易方程典型錯例的思考與實踐

陳關(guān)雄

簡易方程與學生初次會面是在五年級上學期，是學生第一次較為系統(tǒng)地學習有關(guān)代數(shù)的初步知識。方程概念的引進讓學生的思考方式從算術(shù)思想轉(zhuǎn)變到代數(shù)思想，并出現(xiàn)了諸多的不適應(yīng)，出現(xiàn)的錯誤也比較多。本文試圖借助《簡易方程》教學中學生出現(xiàn)的典型錯例，談?wù)剬W生相關(guān)數(shù)學錯誤診治的一些探索與實踐。

一、 發(fā)現(xiàn)錯誤：引起關(guān)注

為了便于敘述，筆者將從知識學習的三個分類（層次）作闡述。

1.陳述性知識錯誤

陳述性知識也叫說明性知識，在簡易方程單元中含有不少陳述性質(zhì)的數(shù)學知識，比如方程的概念、等式的性質(zhì)等。

典型錯題1：按要求將下面式子的編號填入對應(yīng)的集合圈里。

① 2x+8=20 ②2x+8 ③2x+8<20

④2×6-8=4 ⑤20>2x+8 ⑥ 2（x+8）=20

⑦5x-6=4 ⑧6÷x=12 ⑨x+x+x=12

方程 等式 既不是方程也不是等式

錯解：

第一種：①②⑥⑦⑧⑨ ①②④⑥⑦⑧⑨ ②⑤

第二種：①⑥⑦⑧⑨ ④ ②③⑤ （此種錯誤人數(shù)最多）

第三種：①⑥⑦⑧⑨ ①④ ②③⑤

第四種：①⑥⑦⑧⑨ ①⑥⑦⑧⑨ ②③④⑤

第一次教學方程概念時呈現(xiàn)的習題，在課堂中已經(jīng)討論、對比過方程與等式的關(guān)系：方程一定是等式，等式不一定是方程。

2.程序性知識錯誤

程序性知識是指怎樣進行認知活動的知識，在簡易方程中解設(shè)未知數(shù)、按題意列方程、解方程、答結(jié)果這一系列的操作行為就是屬于上述范疇。

典型錯題2：3年前父親的歲數(shù)是兒子的7倍，今年父親38歲。兒子今年幾歲？（用方程解答）

錯 解：

本題是學生學習了簡易方程這一單元后作業(yè)本上出現(xiàn)的星號題。內(nèi)容涉及年齡的問題，屬于與生活密切相關(guān)的實際問題。

3.策略性知識錯誤

策略性知識是關(guān)于如何學習和如何思維的知識，它往往與問題解決融合在一起。

典型錯題3：一個長為12厘米的長方形面積比邊長是12厘米的正方形面積少36平方厘米，這個長方形的寬是多少厘米？

錯 解：

解：設(shè)長方形的寬是x厘米。

學生已經(jīng)學會了解簡易方程的基本方法，此題是憑借方程算法，根據(jù)問題情境，運用順向思維利用圖形面積以及大小關(guān)系，求長方形的寬。

二、 錯因探究：追蹤溯源

錯誤是師生交流信息的一個“窗口”，是教學的一面“鏡子”。成功運用學生的錯誤，需要教師善于觀察、善于診斷，關(guān)注學生錯誤背后的故事，積聚智慧做學生典型錯誤的剖析者。

1.“思維定勢”惹的禍

思維定勢有時是一種熟練的表現(xiàn)，當學生的習慣思路和眼前要解決的具體問題不一致時，習慣性思維“戰(zhàn)勝”了理性思考，結(jié)果就帶來了錯誤。例如典型錯題1中，認為等式只有④這項的同學最多，占了62.4%。學生接觸了4年多的純數(shù)字等式，受到之前學習中司空見慣的數(shù)字化等式的影響，思考時總偏向于這類式子的判斷，而忽視新學的含有字母的等式。這種習慣思維導致學生漏掉方程是等式也就不足為奇了。

2.“形式假設(shè)”惹的禍

在教材編排中，用方程解決問題，都是先假設(shè)，然后再列出等量關(guān)系式進行解答。這樣的安排無論從學生的現(xiàn)實起點還是從教材的邏輯起點來說都是合理的。但是這一呈現(xiàn)形式帶來的負面影響也是不容忽視的：容易導致學生不論碰到什么問題，直接把問題中的未知數(shù)設(shè)為x，不進行深入的思考。如典型錯題2中，學生都不約而同地設(shè)兒子今年為x歲，當列出方程7x=38-3后再計算5+3=8。這樣的解題思路完全和解設(shè)不統(tǒng)一。學生解題時往往看到問就下筆抄寫，然后把“多少”等疑問詞換成x后就萬事大吉，把未知數(shù)x表達的意義拋諸腦后。解設(shè)成為擺設(shè)，這種張冠李戴的現(xiàn)象比比皆是，不得不引起一線教師的關(guān)注。

3.“尷尬編排”惹的禍

新教材較好地解決了關(guān)于方程教學的中小學銜接問題，促進了學生由算術(shù)思維向代數(shù)思維方式的轉(zhuǎn)變。等式的性質(zhì)更有利于學生的可持續(xù)發(fā)展。為了便于說明等式的基本性質(zhì)，又兼顧學生的思維水平，教材回避了a-x=b和a÷x=b二種方程。作為教材的編寫者在編寫解方程題目時可以有意避開這幾種特殊情況，但是在列方程解決實際問題時，學生列出的方程卻不可避免地會出現(xiàn)這幾種特殊情況。如典型錯題3中，學生找到最基本的等量關(guān)系——正方形面積-長方形面積=相差面積，根據(jù)相等關(guān)系，得到12×12-12x=36這樣較復(fù)雜的方程。學生不明白在減數(shù)或除數(shù)中出現(xiàn)未知數(shù)時如何解答，只好生搬硬套地運用已學解法，結(jié)果當然是錯誤的。

三、 跟蹤糾錯：柳暗花明

面對學生形形色色的錯誤，教師是望“錯”興嘆，袖手旁觀？還是乘風破浪直面出擊？教師可以有何作為？筆者以為可以從以下幾個方面入手：

1.加強概念的建構(gòu)性理解

學生在獲取概念時容易出現(xiàn)“眉毛胡子一把抓”或孤立認識的現(xiàn)象。因此，教師在教學時既要重視學生有意義地獲取概念，又要引導學生去偽存真抓本質(zhì)。如典型錯題1中多數(shù)學生還是以經(jīng)驗為思考方法，“慣性”使然導致錯誤。如何改變這樣的現(xiàn)狀？教師可在課堂中采取一些針對性的教學策略。例如教師通過設(shè)問——你知道為什么取名等式嗎？什么是等式？從而引起學生注意。最后在提煉方程的意義時讓學生橫向比較等式20+X=50、20+X=100與等式20+30=50有什么不同，在對比中讓學生深入透徹理解方程和等式的概念，避免數(shù)學概念的理解只停留在表象上。當然為了加深印象，在課末小結(jié)中，教師也可以對數(shù)學概念提取核心詞。比如對于方程概念可以提取兩個關(guān)鍵詞：未知數(shù)、等式。對于等式可以提出判斷性標志：等號。endprint

2.重視數(shù)量關(guān)系的分析

列方程解決問題的關(guān)鍵是尋找數(shù)量關(guān)系，這是方程教學的重點，亦是學生學習的難點。如典型錯題2中很多種錯解都是無法把握正確的等量關(guān)系：3年前父親的年齡=3年前兒子的年齡×7。再如典型錯題3，當學生列含有字母的式子時，因缺少參照系（數(shù)據(jù)直觀的大小），往往忽略正確意義列出錯誤的方程。而這些錯誤的方程也能求解讓學生誤以為獲得正解。在遇到圖形問題時，教師要積極倡導學生動手操作。此題可以讓學生畫一畫長方形和正方形。畫的時候可以追問誰該畫得大一些，目的是讓學生在動手操作時必須考慮大小問題，從而把關(guān)注的目光聚焦到題目的理解上。用筆涂一涂它們的面積，目的是避免學生混用各自的面積和周長計算公式。在教學中，教師要善于運用多種策略，加強學生對數(shù)量關(guān)系的分析，讓數(shù)量關(guān)系成為運算意義和解決問題的橋梁。

3.跨越未知數(shù)設(shè)置的障礙

如何防止未知數(shù)的假設(shè)與列出的方程出現(xiàn)“張冠李戴”的現(xiàn)象？筆者認為在教學時不妨多試問方程中未知數(shù)x的意義，是否與解設(shè)中x的意義相同。通過師生問答潛移默化地領(lǐng)悟x意義的一致性，接著在之后的學習過程中出現(xiàn)一些變式練習（設(shè)間接未知數(shù)后輕松快速解決問題的練習），出現(xiàn)時機建議在復(fù)習整理階段。如四、五年級共植樹80棵，五年級植樹比四年級的2倍少4棵，五年級植樹多少棵？學生會采用直接設(shè)法（設(shè)五年級植樹x棵），接著列方程和解方程都會出現(xiàn)困難，教師引導學生采用間接設(shè)法，通過體驗、對比讓學生體會到適當?shù)奈粗獢?shù)設(shè)置不僅能降低列方程和解方程的難度，還能融合算術(shù)方法共同解決數(shù)學問題。

4.尋找新舊教法的融合點

針對簡易方程新舊教法的差異，教師應(yīng)采取擷長補短的策略，有機揉和傳統(tǒng)教學和現(xiàn)代教學的精華，從而達到最佳的教學效果。首先按照新教材的教學思路學習等式基本性質(zhì)并能熟練地解答方程。在練習課中引導學生解答練習十一（1）的問題時，學生列出了2個方程：x+835=6299和6299-x=835。對于第一個方程學生輕松解決，第二個方程就出現(xiàn)了困難。組織學生討論：當減數(shù)位置出現(xiàn)未知數(shù)時該怎么辦？先引導學生回憶減法模型：被減數(shù)-減數(shù)=差。再引導學生利用等式性質(zhì)將其變形。除法也是同樣的道理。由于在這個關(guān)系式的變化過程中不出現(xiàn)任何未知數(shù)，且結(jié)合了等式的基本性質(zhì)，學生容易理解。

【責任編輯：陳國慶】endprint

2.重視數(shù)量關(guān)系的分析

列方程解決問題的關(guān)鍵是尋找數(shù)量關(guān)系，這是方程教學的重點，亦是學生學習的難點。如典型錯題2中很多種錯解都是無法把握正確的等量關(guān)系：3年前父親的年齡=3年前兒子的年齡×7。再如典型錯題3，當學生列含有字母的式子時，因缺少參照系（數(shù)據(jù)直觀的大小），往往忽略正確意義列出錯誤的方程。而這些錯誤的方程也能求解讓學生誤以為獲得正解。在遇到圖形問題時，教師要積極倡導學生動手操作。此題可以讓學生畫一畫長方形和正方形。畫的時候可以追問誰該畫得大一些，目的是讓學生在動手操作時必須考慮大小問題，從而把關(guān)注的目光聚焦到題目的理解上。用筆涂一涂它們的面積，目的是避免學生混用各自的面積和周長計算公式。在教學中，教師要善于運用多種策略，加強學生對數(shù)量關(guān)系的分析，讓數(shù)量關(guān)系成為運算意義和解決問題的橋梁。

3.跨越未知數(shù)設(shè)置的障礙

如何防止未知數(shù)的假設(shè)與列出的方程出現(xiàn)“張冠李戴”的現(xiàn)象？筆者認為在教學時不妨多試問方程中未知數(shù)x的意義，是否與解設(shè)中x的意義相同。通過師生問答潛移默化地領(lǐng)悟x意義的一致性，接著在之后的學習過程中出現(xiàn)一些變式練習（設(shè)間接未知數(shù)后輕松快速解決問題的練習），出現(xiàn)時機建議在復(fù)習整理階段。如四、五年級共植樹80棵，五年級植樹比四年級的2倍少4棵，五年級植樹多少棵？學生會采用直接設(shè)法（設(shè)五年級植樹x棵），接著列方程和解方程都會出現(xiàn)困難，教師引導學生采用間接設(shè)法，通過體驗、對比讓學生體會到適當?shù)奈粗獢?shù)設(shè)置不僅能降低列方程和解方程的難度，還能融合算術(shù)方法共同解決數(shù)學問題。

4.尋找新舊教法的融合點

針對簡易方程新舊教法的差異，教師應(yīng)采取擷長補短的策略，有機揉和傳統(tǒng)教學和現(xiàn)代教學的精華，從而達到最佳的教學效果。首先按照新教材的教學思路學習等式基本性質(zhì)并能熟練地解答方程。在練習課中引導學生解答練習十一（1）的問題時，學生列出了2個方程：x+835=6299和6299-x=835。對于第一個方程學生輕松解決，第二個方程就出現(xiàn)了困難。組織學生討論：當減數(shù)位置出現(xiàn)未知數(shù)時該怎么辦？先引導學生回憶減法模型：被減數(shù)-減數(shù)=差。再引導學生利用等式性質(zhì)將其變形。除法也是同樣的道理。由于在這個關(guān)系式的變化過程中不出現(xiàn)任何未知數(shù)，且結(jié)合了等式的基本性質(zhì)，學生容易理解。

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2.重視數(shù)量關(guān)系的分析

列方程解決問題的關(guān)鍵是尋找數(shù)量關(guān)系，這是方程教學的重點，亦是學生學習的難點。如典型錯題2中很多種錯解都是無法把握正確的等量關(guān)系：3年前父親的年齡=3年前兒子的年齡×7。再如典型錯題3，當學生列含有字母的式子時，因缺少參照系（數(shù)據(jù)直觀的大小），往往忽略正確意義列出錯誤的方程。而這些錯誤的方程也能求解讓學生誤以為獲得正解。在遇到圖形問題時，教師要積極倡導學生動手操作。此題可以讓學生畫一畫長方形和正方形。畫的時候可以追問誰該畫得大一些，目的是讓學生在動手操作時必須考慮大小問題，從而把關(guān)注的目光聚焦到題目的理解上。用筆涂一涂它們的面積，目的是避免學生混用各自的面積和周長計算公式。在教學中，教師要善于運用多種策略，加強學生對數(shù)量關(guān)系的分析，讓數(shù)量關(guān)系成為運算意義和解決問題的橋梁。

3.跨越未知數(shù)設(shè)置的障礙

如何防止未知數(shù)的假設(shè)與列出的方程出現(xiàn)“張冠李戴”的現(xiàn)象？筆者認為在教學時不妨多試問方程中未知數(shù)x的意義，是否與解設(shè)中x的意義相同。通過師生問答潛移默化地領(lǐng)悟x意義的一致性，接著在之后的學習過程中出現(xiàn)一些變式練習（設(shè)間接未知數(shù)后輕松快速解決問題的練習），出現(xiàn)時機建議在復(fù)習整理階段。如四、五年級共植樹80棵，五年級植樹比四年級的2倍少4棵，五年級植樹多少棵？學生會采用直接設(shè)法（設(shè)五年級植樹x棵），接著列方程和解方程都會出現(xiàn)困難，教師引導學生采用間接設(shè)法，通過體驗、對比讓學生體會到適當?shù)奈粗獢?shù)設(shè)置不僅能降低列方程和解方程的難度，還能融合算術(shù)方法共同解決數(shù)學問題。

4.尋找新舊教法的融合點

針對簡易方程新舊教法的差異，教師應(yīng)采取擷長補短的策略，有機揉和傳統(tǒng)教學和現(xiàn)代教學的精華，從而達到最佳的教學效果。首先按照新教材的教學思路學習等式基本性質(zhì)并能熟練地解答方程。在練習課中引導學生解答練習十一（1）的問題時，學生列出了2個方程：x+835=6299和6299-x=835。對于第一個方程學生輕松解決，第二個方程就出現(xiàn)了困難。組織學生討論：當減數(shù)位置出現(xiàn)未知數(shù)時該怎么辦？先引導學生回憶減法模型：被減數(shù)-減數(shù)=差。再引導學生利用等式性質(zhì)將其變形。除法也是同樣的道理。由于在這個關(guān)系式的變化過程中不出現(xiàn)任何未知數(shù)，且結(jié)合了等式的基本性質(zhì)，學生容易理解。

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