概率計算中易混淆問題研究

劉佳美

（吉林師范大學博達學院 數學系，吉林 四平136000）

在某一組物品當中，隨機抽取其中一部分，并計算符合各項檢驗要求的隨機事件概率，其計算是有著實用背景的問題，同時在彩票獎率估算、產品抽樣檢驗等問題當中有廣泛運用。但在進行實際概率計算時，因所涉及各種事件具有的樣本點的相關計數未有一個固定的解題方式，需要通過充分利用想象力、技巧以及洞察力進行解決。因此，怎樣培養學生解決問題的思路，并對比分析概率計算中易混淆的問題，是概率教學首要解決的問題。

一、概率計算中存在的易混淆問題

1.“互斥”與“對立”的問題

在計算概率的過程中，通常情況下，容易將“對立”和“互斥”進行混淆。例如：將手中的四個不同顏色的氣球，即紅、黃、藍、紫，隨機分給4個小朋友，即a、b、c、d，每一個小朋友都獲得一個氣球，則事件“b得到的紅氣球”與“a獲得的紅氣球”屬于什么關系？其中有四個答案，一是對立事件，二是不可能事件，三是互斥但不對立事件，四是一、二、三答案均不正確。對于這類問題的回答，往往會錯誤的認為它們是屬于對立事件，即第一個答案。這正是由于將“互斥”與“對立”相混淆，從而導致錯誤。如果想要將這類問題進行更加準確的解決，必須掌握好互斥事件和對立事件之間的不同之處及聯系。[1]

2.“有放回”與“無放回”的問題

3.“互斥”與“獨立”的問題

除了上述容易混淆的問題之外，此“互斥”與“獨立”也是其中一個經常混淆的問題。例如：某兩人，即a和b進行踢足球，其a有0.7的進球率，b有0.8的進球率，a與b每次進行提三次，求解兩人剛好進球兩次的概率？一般均是這樣求解：以事件A進行表示“a剛好2次進球”，以事件B進行表示“b剛好2次進球”，于是關于兩人剛好進球兩次的事件就是A 加上B ， 其概率就是P(A+B)=P(A)+P（B）=0. 72× 0.2+0.82×0.3=0.825，其實，利用這種方法求解是屬于錯誤的解法，其也是由于將“互斥”與“獨立”相互混淆而導致的。[2]也就是將兩個獨立的事件當作互斥事件進行分析，把題目中的兩人剛好兩次進球看成a剛好進球2次+b剛好2次進球。

二、概率計算中易混淆問題的分析

在概率計算中存在互斥事件與對立事件混淆問題的教法分析。所謂互斥事件就是指在同一時間內不能出現的兩個事件。若事件a與事件b之間是互斥關系，則P(A+B)=P(A)+P(B)，而其中必定有一個存在互斥事件，就稱為對立事件，一般情況下，采用a1表示事件a，則就有p(a)+p(a1)=p(a+a)=1。如何更好掌握“對立”與“互斥”事件之間的不同和聯系，主要有從這幾項內容進行分析：首先是理解若兩個事件存在對立關系，則一定具有互斥關系，相反之，兩個事件存在互斥關系，就不一定存在對立關系；其次是“對立”只能應用于兩個事件當中，而“互斥”卻可以應用在若干個事件中；最后是如果兩個事件是對立，在它們當中只能有一個發生，但是如果該兩個事件是互斥，其中的事件不可以同時出現，只允許發生一個或者是兩個都不發生。例如上述“互斥”與“對立”的例子，事件a獲得的紅色氣球和b獲得的紅色氣球，兩者事件是不可能一起發生的，也許兩者均沒有發生，也許只有一個發生。因此正確的答案是第三個。

針對概率計算中的“互斥”與“獨立”混淆問題。所謂互斥事件就是指兩個事件不能同一發生。若事件b和事件a存在互斥關系，則具有P(a+b)-P(a)+P(b),而事件b或a發生或不發生，不會直接影響a或b的相關發生概率，像這類的事件就是所謂的獨立事件。若事件a和b存在獨立關系，則P(a·b)=P(a)·P(b)。對于上述例子中的正確解法是將事件A表示為a剛好進球2次，以事件B表示b剛好進球2次，同時這兩個事件是屬于相互獨立關系，于是a與b均剛好進球2次為A·B,則按照P(A·B)=P(A)×P(B)=0.82×0.2×0.72×0.3=0.169

對于這兩個公式，當學生剛開始接觸的時候，常常覺得十分疑惑同時不理解，由于這均是干涉著依次抽取的相關問題。觀察第一個公式與第二個公式，從形式方面上得知這兩項公式存在相對較大的區別。然而第二個公式剛好是關于一次性抽取的概率公式，貌似沒有符合逐次抽取的實際意義。所以我們帶著這些疑問進行作以下分析：一般情況下，針對這兩個公式，可以進行思考分次方面的問題，以分次作為解題的突破點。無論是建立在無需放回的前提下還是需要放回的前提下，均可以通過采用逐次法進行分析，同時將事件“n件產品的檢驗，剛好具有k件產品”以A進行表示。

在需要放回的條件下分析，因為每一次均是以X作為抽取的產品總體數量，因此在每次抽取過程中，X占有的比率相對比較高，進而進行抽取n次的樣本點數就是 Xn。然而關于求解事件A中樣本點數，首先把在抽取n次時k件次品的可能次序的組合數進行計算，并設為；其次是進行思考在n次抽取中，k件次品的次序位置的固定，以及思考正品n-k件的次序位置穩定。在它們均固定的時候，并進行考慮全部均有可能發生的抽取數，而X是每一次抽取時抽到的次品的可能性，則X-h就是抽到正品的可能性；最后根據相關的乘法原理，每次抽取數的總乘積就是抽取n次的可能出現的數目，也就是X×k×(n-k)×(X-h)所得的結果，在這個式子中，因乘積能夠相互交換，所以正品及次品的位置有無變化不會直接影響該乘積。[3]

通過結合上述中的第一個公式與第二個公式，同時建立在需要放回的前提下，則·hk·(X-h)k就是事件A中所具有的樣本點數，因為樣本點的總數是Xn,所以在進行計算事件A的概率時，就出現上訴中的第一種方法。而相反之，在無需放回的前提下，可獲得第二種方法。由此可知，關于在無需放回的條件下而進行逐次抽取產品的問題，第二種方法只能適用于詳細化形式的事件，也就是說主要關聯著事件的次品或正品的數目，與抽取的次數沒有任何關系。不然，就不可以采取一次性抽取多樣的手段進行分析，只有采用符合該類問題的逐次分析方法分析。

總之，針對計算概率過程中存在的易混淆問題，只有充分發揮我們的想象力以及洞察力，才能夠更好的分析其存在的主要問題，從而有效解決概率計算中的易混淆的相關難題，并幫助學生提高學習質量。

[1]鄒海雷,王成.關于概率統計教學改革的幾點思考[J].新課程(下)，2012(7).

[2]傅文德.事件與概率學習中的幾個問題[J].高等數學研究,2012(2).

[3]趙森烽,趙克勤.概率聯系數化的原理及其在概率推理中的應用[J].智能系統學報,2012(3).