關于歐拉函數方程?(?(x))=2t的可解性

多布杰

關于歐拉函數方程?(?(x))=2t的可解性

多布杰

(西藏大學理學院,西藏拉薩850000)

對任意的正整數n,函數?(n)為著名的Euler函數,即在序列1,2,···,n中與n互質的整數的個數.本文利用初等方法研究了方程?(?(x))的可解性,并給出了該方程的全部正整數解.

Euler函數;方程;正整數解

1 引言及結論

對任意的正整數n,函數?(n)為著名的Euler函數,即在序列1,2,···,n或0,1,2,···,n?1中與n互質的整數的個數[1-2].關于Euler函數的研究是數論中十分重要和有意義的課題.許多學者研究了歐拉函數的性質及含有歐拉函數的方程的可解性[3-5].1922年,Carmichael曾經猜測:對于給定的偶數2t,如果方程

有解,則它至少有2個解.文獻[3]證實了Carmichael猜測在t是奇數時是正確的,即獲得了方程(1)的所有正整數解,具體如下:

定理1.1當t是奇數時,如果t=1,則方程(1)有3個解x=3,4,6;如果t>1,則方程(1)有解的充分必要條件是存在奇素數p和正整數α,使得

當此條件成立時,如果2t+1不是素數,則方程(1)有2個解n=pα,2pα;如果2t+1是素數,則方程(1)有4個解n=pα,2pα,2t+1,2(2t+1)[3].

本文利用初等方法討論方程

的可解性,并給出了該方程的全部正整數解,即證明了:

定理1.2當t是奇數時,如果t=1,則方程(3)有8個解x=5,7,8,9,10,12,14,18;如果t>1,則方程(3)有解的充分必要條件是:存在奇素數q和正整數α,使得

當此條件成立時,如果2t+1不是素數,則方程(3)有2個解x=2qα+1,2(2qα+1);如果2t+1是素數,則方程(3)有4個解

其中2qα+1,2(2t+1)+1均為素數.

2 定理的證明

首先,證明t=1時的情況.

設x=n為方程

的解.不妨設

其中pi(1≤i≤k)為滿足p1

因為當k≥2時,由歐拉函數的定義可知,

即方程不成立,故必有k≤1.

1 若k=0,那么n=2α0.

此時,

即原方程與方程2α0?2=2同解,那么可得α0=3,即n=23=8是方程的解.

2 若k=1,那么n=2α0pα,其中p為奇素數.

此時必有α0≤2且α≤2.因為,當α0≥3時,

同樣,當α≥3時,

現在分以下幾種情況討論.

(a)如果α0=0,則n=pα.

當α=0時,?(?(n))=?(?(1))=1,方程顯然不成立,即方程無解.

當α=1時,?(?(n))=?(p?1),方程(5)等價于?(p?1)=2,此時方程只有兩個解p=5,7,即n=5,7.

當α=2時,?(?(n))=(p?1)?(p?1),方程(5)等價于(p?1)?(p?1)=2,那么可得p=3,即n=32=9是方程(5)的解.

(b)如果α0=1,則n=2pα.

由于?(2pα)=?(pα),從而由(a)的結果,有:

當α=0時,?(?(n))=?(?(2))=1,方程顯然不成立,即方程(5)無解.

當α=1時,p=5,7,即n=10,14是方程(5)的解.

當α=2時,p=3,即n=18是方程(5)的解.

(c)如果α0=2,則n=4pα.

當α=0時,?(?(n))=?(?(4))=1,方程顯然不成立,即方程(5)無解.

當α=1時,?(?(n))=?(2(p?1)),方程(5)等價于?(2(p?1))=2,此時方程只有一個解p=3,即n=12.

當α=2時,由于

方程無解.

由以上結果得,當t=1時,方程(5)有8個解x=5,7,8,9,10,12,14,18.

其次,證明t>1時的情況.

設x=n為方程(3)的解.若設n=2α0·m,?(m)=2β·t,α0≥0,β0≥0,m,t均為奇數.

那么,當α0≥3時,由歐拉函數的計算公式,有

故?(?(n))必為4的倍數,故方程不能成立.因此必有α0≤2.

而如果α0=2,那么n=22·m,所以?(?(n))=2?(?(m)),要想使方程?(?(n))=2t成立,必有?(?(m))為奇數,即?(m)≤2.從而,m=1或m=3,也就是n=4或n=12.但?(?(4))=1,?(?(12))=2,方程均不成立.因此必有α0=0或α0=1.同時,因為?(2)=1,所以原方程有解x=2m的充分必要條件是它有解x=m,其中m為奇數.

若方程(3)有解x=m,則必有m>1,從而可設

其中pi(1≤i≤k)為滿足p1

由于k>1時,

因此,?(?(m))必為4的倍數,方程不可能成立,所以必有k=1,從而m=pα.

又因為?(?(pα))=?(pα?1?(p?1)),因此當α>1,p>3時,?(?(m))必為4的倍數,而?(?(3))=1,所以必有α=1.

從而原方程與方程

等價,也即與方程

等價.

由文獻[3]知,當t>1時,方程?(p?1)=2t有解的充分必要條件是:存在奇素數q和正整數α,使得

當此條件成立時,如果2t+1不是素數,則方程(10)有2個解p?1=qα,2qα;如果2t+1是素數,則方程(10)有4個解p?1=qα,2qα,2t+1,2(2t+1).但由于p是奇素數,因此p?1=qα,2t+1應舍去.

即當條件(11)成立時,如果2t+1不是素數,則方程(9)有1個解p=2qα+1;如果2t+1是素數,則方程(9)有2個解p=2qα+1,2(2t+1)+1.

即當t>1時,方程(3)有解的充分必要條件是:存在奇素數q和正整數α,使得

當此條件成立時,如果2t+1不是素數,則方程(3)有2個解x=2qα+1,2(2qα+1);如果2t+1是素數,則方程(3)有4個解,分別為:

其中2qα+1,2(2t+1)+1均為素數.

[1]閔嗣鶴,嚴士健.初等數論[M].北京:高等教育出版社,2003.

[2]潘承洞,潘承彪.初等數論[M].北京:北京大學出版社,2003.

[3]樂茂華.關于方程?(x)=2t[J].周口師范學院學報,2005,22(5):18-82.

[4]田呈亮,付靜,白維祖.一個包含歐拉函數的方程[J].純粹數學與應用數學,2010,26(1):96-98.

[5]多布杰.關于數論函數方程?(?(n))=2ω(n)的可解性問題研究[J].西藏大學學報,2012,27(1):102-106.

Solvability of Euler′s functional equation ?(?(x))=2t

Duo Bujie
(School of Science,Tibet University,Lhasa850000,China)

The function ?(n)is the famous Euler’s totient function for arbitrary positive integer n,i.e.it is the integral individual number of coprime with in the sequence 1,2,···,n?1,n.In the present paper,the solvability of equation ?(?(x))=2t was studied and all the positive integer solutions of the equation were given by using the elementary methods.

Euler′s totient function,equation,positive integer solutions

O156

A

1008-5513(2014)06-0564-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.06.003

2012-12-06.

西藏大學2014年“高等數學系列課程教學團隊”階段性成果.

多布杰(1972-),副教授,研究方向:數論.

2010 MSC:11A99