n值邏輯系統中條件隨機真度理論

黎麗

n值邏輯系統中條件隨機真度理論

黎麗

(桂林航天工業學院理學部,廣西桂林541004)

在n值命題邏輯系統中命題的隨機真度、隨機邏輯度量空間的基礎上,給出了修正的n值G¨odel命題邏輯系統中命題的條件真度、條件相似度的概念并討論了其性質,建立了條件隨機邏輯度量空間.

隨機真度;條件真度;條件相似度;條件邏輯度量空間

1 引言

在計量邏輯學中,從把邏輯概念程度化入手,給出了公式的真度概念,建立了計量邏輯學理論[1-4].由于計量邏輯學中,每個原子公式的真度都相等,這就使得如果兩個公式完全一致,那么它們的真度也一定相等.這種把每個原子公式的真度等同看待的觀點,顯然與客觀世界中各原子公式的概率不盡相同的事實相違背,所以賦予不同原子公式以不同的概率,可以使命題公式的真度更接近現實世界.基于這樣的考慮,文獻[5-7]就二值和三值邏輯系統提出了隨機真度的概念,文獻[8]在n值邏輯系統中引入了隨機真度的概念,研究相似度和偽距離,建立了隨機邏輯度量空間.把概率邏輯學[9]中條件概率部分通過恰當的途徑與真度相結合,并能使其指導生活實踐,這是一個十分有意義的課題.

繼n值命題邏輯系統中命題隨機真度的研究成果,本文在修正的n值G¨odel命題邏輯系統中引入了命題的條件隨機真度、條件隨機相似度和條件隨機偽距離的概念并研究了其性質,從而建立了條件隨機度量空間.因此可以把n值邏輯系統中計量邏輯學的程度化研究以及近似推理模式等納入到本文給出的更為寬泛的研究體系之中.

2 n值隨機邏輯度量空間

定義2.1[2]設S={q1,q2,···}是可數集,稱為原子公式集,“?”是一元運算,“∨”與“→”是二元運算,F(S)是由S生成的(?,∨,→)型自由代數,稱F(S)中的元素為公式或命題,S中的元素叫原子公式或命題變元.

在本文中,記

其中n為大于等于2的正整數.

在In={0,1/n?1,···,n?2/n?1,1}中,運算“?”,“∨”與“→”分別定義為:

則In成為(?,∨,→)型代數,稱為修正的n值G¨odel邏輯系統,記作Gn.

本文在修正的n值G¨odel邏輯系統Gn中展開討論.

定義2.2[4]設ν:F(S)→Gn是映射,若ν滿足:

則稱ν是F(S)在Gn中的一個賦值,稱作公式A的賦值.F(S)的賦值映射的全體記為Σ(Gn), Gn稱為賦值域.

設A=A(q1,···,qm)是含有m個原子公式q1,···,qm(為了與概率分布中的符號p相區別,本文用q來表示原子公式)的命題公式,設Gn是賦值域,分別用Gn中的x1,···,xm去取代q1,···,qm,并且把A中的邏輯聯結詞“?”,“∨”,“→”分別換成Gn中的運算“?”,“∨”,“→”,則得到m元函數:

定義2.3[8]設N={1,2,···},ξ=(ξ1,ξ2,···),其中

稱ξ=(ξ1,ξ2,···)為隨機概率分布序列(ξ是一個n行可數列矩陣).

注2.1(i)要求概率分布中的每一個元素pij均大于0;

(ii)概率分布ξ1,ξ2,···是各自獨立的;

(iii)隨機概率分布序列ξ構成的矩陣的每一列元素之和等于1,但不要求每行元素之和等于1.

定義2.4[8]設ξ=(ξ1,ξ2,···)為一個隨機概率分布序列,其中

令φ(α)=Q1×Q2×···×Qm.當時,則

命題2.1∑{φ(α):α=(x1,···,Xm)∈}=1,即φ()=1.

證明對m用數學歸納法,當m=1時,

用數學歸納法易證:

定義2.5[8]設

則稱τξ(A)為公式A在修正的n值G¨odel邏輯系統Gn中基于隨機概率分布序列ξ的隨機真度,簡稱為公式A的ξ-隨機真度.

定理2.1[8]設A,B∈F(S),ξ=(ξ1,ξ2,···)為一個隨機概率分布序列,則以下各結論成立:

(i)A是重言式當且僅當τξ(A)=1,A是矛盾式當且僅當τξ(A)=0;

(ii)若A≈B,則τξ(A)=τξ(B);

(ii)τξ(?A)=1?τξ(A);

(iv)τξ(A∨B)=τξ(A)+τξ(B)?τξ(A∧B).

定義2.6[8]設ξ=(ξ1,ξ2,···)為一個隨機概率分布序列,A,B∈F(S).令

稱δξ(A,B)為公式A與B的ξ-隨機相似度.顯然有δξ(A,B)=δξ(B,A).

設ξ=(ξ1,ξ2,···)為一個隨機概率分布序列,A,B∈F(S),令ρξ(A,B)=1?δξ(A,B),則ρξ為F(S)上的偽距離,稱為ξ-隨機偽距離,稱(F(S),ρξ)為ξ-隨機邏輯度量空間.

下面在修正的n值G¨odel邏輯系統Gn中引入條件隨機真度、條件隨機相似度和條件隨機偽距離的概念,研究其性質,建立條件隨機邏輯度量空間.

3 條件隨機真度

定義3.1設A=A(q1,···,qm)∈F(S),ξ=(ξ1,ξ2,···)為一個隨機概率分布序列,Λ∈F(S)且τξ(Λ)>0,令τξ(A|Λ)=,則稱τξ(A|Λ)為公式A在條件Λ下的ξ-條件隨機真度.

定義3.2設ξ=(ξ1,ξ2,···)為一個隨機概率分布序列,A,B∈F(S),Λ∈F(S),且τξ(Λ)>0.

定理3.1設ξ=(ξ1,ξ2,L)為一個隨機概率分布序列,A∈F(S),Λ∈F(S),且τξ(Λ)>0,則

(i)若A=Λ1,則τξ(A|Λ)=1;

(ii)若A=Λ0,則τξ(A|Λ)=0;

(iii)若A≈ΛB,則τξ(A|Λ)=τξ(B|Λ);

(iv)τξ(A∧B|Λ)=τξ(A|Λ)+τξ(B|Λ)?τξ(A∧B|Λ).

證明(i)不妨設A和H含有相同的原子公式q1,···,qm.

由運算的同態性,可得

由A=Λ1知,

所以由

得

由于

則可得,

于是

即至此證明了

于是得:

故得

(ii)因為

由故顯然得τξ(A∧Λ)=0,于是τξ(A|Λ)=0.

(iii)因為A≈ΛB,則由定義2.2知,當i=1,2,···,n?1時,均有

故

于是,

故得τξ(A|Λ)=τξ(B|Λ).

(iv)由定理2.1得,

上式兩邊同時除以τξ(Λ)即得結論.

4 條件隨機邏輯度量空間

定義4.1設ξ=(ξ1,ξ2,···)為一個隨機概率分布序列,A∈F(S),Λ∈F(S),且τξ(Λ)>0,令δξ(A,B|Λ)=τξ((A→B)∧(B→A|Λ)),則稱δξ(A,B|Λ)為公式A與B在條件Λ下的相似度.

定理4.1設ξ=(ξ1,ξ2,···)為一個隨機概率分布序列,Λ∈F(S),A,B,C∈F(S),且τξ(Λ)>0.則

(i)若A≈ΛB,則δξ(A,B|Λ)=1;

(ii)δ(A,B|Λ)+δ(B,C|Λ)≤1+δ(A,C|Λ).

證明(i)因為A≈ΛB,則A→B和B→A,都是基于Λ的重言式,則(A→B)∧(B→A)也是基于Λ的重言式,則由定理3.1得,

(ii)為了證明結論成立,先給出ξ-隨機真度公式的一個變形,即

事實上,

即結論成立.

另一方面,設a,b,c∈Gn,則對于修正的n值G¨odel邏輯系統Gn的蘊涵算子,可以驗證(a→b)∧(b→a)+(b→c)∧(c→b)?(a→c)∧(c→a)≤1成立.

又因為ˉA(x1,···,xm):Gmn→Gn,是Gmn到Gn的同態映射,于是有,

于是

于是就得到,δξ(A,B|Λ)+δξ(B,C|Λ)?δξ(A,C|Λ)≤1,結論成立.

設ξ=(ξ1,ξ2,···)為一個隨機概率分布序列,Λ∈F(S),A,B,C∈F(S),且τξ(Λ)>0.令ρξ(A,B|Λ)=1?ξξ(A,B|Λ),則由定理3.1容易證明,對于賦值域為Gn的n值G¨odel命題邏輯系統,有ρξ(A,B|Λ)=ρξ(B,C|Λ)≥ρξ(A,C|Λ).

又因為ρξ(A,A|Λ)=0和ρξ(A,B|Λ)=ρξ(B,A|Λ)顯然成立,所以ρξ為F(S)上的條件偽距離.稱為在條件Λ下的條件隨機偽距離.

定義4.2設ξ=(ξ1,ξ2,···)為一個隨機概率分布序列,Λ∈F(S),A,B,C∈F(S),且τξ(Λ)>0,則ρξ為F(S)上的條件偽距離,稱(F(S),ρξ)為條件隨機邏輯度量空間.

由此定義3.2和定理3.1顯然得:

定理4.2設ξ=(ξ1,ξ2,···)為隨機概率分布序列,Λ∈F(S),且τξ(Λ)>0,A,B∈F(S),若A≈ΛB,則ρξ(A,B|Λ)=0.

5 結束語

本文在修正的n值G¨odel命題邏輯系統中引入了命題的條件隨機真度、條件隨機相似度和條件隨機偽距離的概念,研究了其性質,從而建立了條件隨機度量空間.如何進一步在n值命題邏輯系統的條件隨機度量空間中展開近似推理以及拓撲性質的研究,將另文討論.

[1]Wang G J,Leung Y.Integrated semantics and logic metric spaces[J].Fuzzy Sets and Systems,2003,136(1):71-91.

[2]王國俊,李璧鏡.Ukasiewicz值命題邏輯中公式的真度理論和極限定理[J].中國科學:E輯,2005,35(6):561-569.

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[6]惠小靜,王國俊．經典推理模式的隨機化研究及其應用(II)[J]．模糊系統與數學,2008,22(3):21-26.

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[9]Adams E W.A Primer of Probability Logic[M].Stanford:CSLI Publications,1998.

Theory of conditional randomized truth degree in valued logical system

Li li
(Faculty of Science,Guilin University of Aerospace Technology,Guilin541004,China)

Based on randomized truth degrees and randomized logic metric space of n-valued logical system, the concept of conditional truth degree and conditional similarity degree in G¨odel n-valued logical system and their properties are given.The concept of conditional randomized logic metric space is also introduced.

randomized truth degree,conditional truth degree,conditional similarity degree, conditional logic metric space

O159

A

1008-5513(2014)06-0573-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.06.005

2014-03-21.

廣西壯族自治區教育廳科研項目(桂教科研[2011]14號);桂林航天工業學院基金(YJ1301).

黎麗(1974-),講師,研究方向:模糊數學與動力系統.

2010 MSC:03E72