零距離對接,話說導數考點

曹迎滔

摘 要：導數是初等數學與高等數學的重要銜接點，是對函數圖像和性質的總結和拓展，是研究函數的單調性、極值、最值以及討論函數圖像變化趨勢的重要工具，利用導數可以解決現實生活中的最優化問題。由于其應用廣泛性，已成為高考命題的重點和熱點。

關鍵詞：導數；數學

一、利用導數的幾何意義解決曲線的切線問題

例1 曲線y=x3-x+3在點（1，3）處的切線方程為_____________。

分析：首先利用導數的幾何意義求出切線的斜率，然后利用點斜式寫出切線的方程。

解：因為y′=3x2-1，令x=1得切線斜率2，所以切線方程為y-3=2（x-1），即2x-y+1=0。

點評：利用導數的幾何意義求解曲線的切線問題，關鍵是正確求出已知函數的導函數。

二、利用定積分求曲邊梯形的面積

例2 設a＞0，若曲線y=與直線x=a，y=0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a=______。

分析：首先利用定積分的幾何意義求出曲邊梯形的面積，然后利用微積分基本定理求解得出a的值。

解：由已知得s= dx=xa0=a=a2，所以a=，所以a=。

點評：本題考查了由定積分求解曲線圍成封閉圖形的面積以及利用微積分基本定理進行計算的能力，考查了同學們用數形結合解決問題的能力

三、利用導數解決函數的單調性問題

例3 函數y=x2-lnx的單調遞減區間為

（）。

A.（-1，1 ］ B.（0，1］ C.［1，+∞） D.（0，+∞）

分析：對于對數函數，首先應確定函數的定義域，再求導數f′（x），通過判斷函數定義域內導數為零的點所劃分的區間內f′（x）的符號，來確定函數

f（x）在該區間上的單調性。

解：令y′=x-=≤0，解得-1＜x＜1，又因為定義域為（0，+∞），所以0＜x＜1，故選B。

點評：利用導數判斷函數在給定區間上的單調性，就是判斷導數在給定區間上的符號問題。若導數的值為正，原函數在此區間上是增函數，導數的值為負則是減函數。

四、利用導數解決函數的極值與最值問題

例4 設函數f（x）=xex，則（）。

A.x=1為f（x）的極大值點

B.x=1為f（x）的極小值點

C.x=-1為f（x）的極大值點

D.x=-1為f（x）的極小值點

分析：首先令f′（x）=0得出f（x）的極值點，然后利用極值點兩側導數的符號來判斷函數的極值。

解：令f′（x）=ex+xex=0，則x=-1，

當x＜-1時f′（x）＜0，f（x）單調遞減；

當x＞-1時f′（x）＞0，f（x）單調遞增。

所以x=-1為f（x）極小值點，故選D。

點評：本題考查了利用導數求函數的極值，考查了同學們的運算、分析和解決問題的能力。函數極值的求解，根據導函數為零解方程并列表格，分析每個實根兩側導函數的符號和原函數的單調性，可以明確地判斷函數的極值點，這是通性通法，應熟練掌握。

五、求參數的值或取值范圍

例5 已知函數f（x）=eax-x，其中a≠0。若對一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合。

分析：利用函數f（x）的單調性將不等式恒成立問題轉化為函數f（x）的最小值問題，然后通過構造函數g（t）=t-tlnt，利用其最值求a的值。

解：若a＜0，則對一切x＞0，f（x）=eax-x＜1，

這與題設矛盾，又a≠0，故a＞0。

而f′（x）=aeax-1，令f′（x）=0，得x= ln。

當x＜ln時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；當x＞ ln 時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，

故當x=ln時，f（x）取最小值f（ln）= -ln。

于是對一切x∈R，f（x）≥1恒成立，當且僅當

- ln≥1①

令g（t）=t-tlnt，則g′（t）=-lnt。

當0＜t＜1時，g′（t）＞0，g（t）單調遞增；當t＞1時，

g′（t）＜0，g（t）單調遞減。

故當t=1時，g（t）取最大值g（1）=1。因此，當且僅當=1即a=1時，①式成立。

綜上所述，a的取值集合為｛1｝。

點評：本題考查了利用導數求函數的最值、通過導數研究函數的單調性、不等式恒成立問題，考查了同學們等價轉化思想以及分析問題、綜合運用所學知識解決問題的能力。

六、考查導數知識的交匯性

例6 函數f（x）=2x+x3-2在區間（0，1）內的零點個數是（）。

A.0B.1C.2D.3

分析：首先利用f（0）·f（1）＜0來判定函數在區間（0，1）內是否存在零點，然后利用函數的單調性來判定零點的個數。

解：因為f（0）=1-2=-1＜0。f（1）=2+1-2=1＞0，所以f（0）·f（1）＜0，所以f（x）在區間（0，1）內至少存在一個零點；

又因為f′（x）=2xln2+3x2≥0，所以函數f（x）=2x+x3-2在R上單調遞增，所以函數f（x）在區間（0，1）內的零點個數為1個，選B。

點評：本題在函數的零點與函數的單調性的交匯處命題，考查了學生對函數零點與導數的靈活運用的能力。

（作者單位：河南省洛陽市第一高級中學）

endprint

摘 要：導數是初等數學與高等數學的重要銜接點，是對函數圖像和性質的總結和拓展，是研究函數的單調性、極值、最值以及討論函數圖像變化趨勢的重要工具，利用導數可以解決現實生活中的最優化問題。由于其應用廣泛性，已成為高考命題的重點和熱點。

關鍵詞：導數；數學

一、利用導數的幾何意義解決曲線的切線問題

例1 曲線y=x3-x+3在點（1，3）處的切線方程為_____________。

分析：首先利用導數的幾何意義求出切線的斜率，然后利用點斜式寫出切線的方程。

解：因為y′=3x2-1，令x=1得切線斜率2，所以切線方程為y-3=2（x-1），即2x-y+1=0。

點評：利用導數的幾何意義求解曲線的切線問題，關鍵是正確求出已知函數的導函數。

二、利用定積分求曲邊梯形的面積

例2 設a＞0，若曲線y=與直線x=a，y=0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a=______。

分析：首先利用定積分的幾何意義求出曲邊梯形的面積，然后利用微積分基本定理求解得出a的值。

解：由已知得s= dx=xa0=a=a2，所以a=，所以a=。

點評：本題考查了由定積分求解曲線圍成封閉圖形的面積以及利用微積分基本定理進行計算的能力，考查了同學們用數形結合解決問題的能力

三、利用導數解決函數的單調性問題

例3 函數y=x2-lnx的單調遞減區間為

（）。

A.（-1，1 ］ B.（0，1］ C.［1，+∞） D.（0，+∞）

分析：對于對數函數，首先應確定函數的定義域，再求導數f′（x），通過判斷函數定義域內導數為零的點所劃分的區間內f′（x）的符號，來確定函數

f（x）在該區間上的單調性。

解：令y′=x-=≤0，解得-1＜x＜1，又因為定義域為（0，+∞），所以0＜x＜1，故選B。

點評：利用導數判斷函數在給定區間上的單調性，就是判斷導數在給定區間上的符號問題。若導數的值為正，原函數在此區間上是增函數，導數的值為負則是減函數。

四、利用導數解決函數的極值與最值問題

例4 設函數f（x）=xex，則（）。

A.x=1為f（x）的極大值點

B.x=1為f（x）的極小值點

C.x=-1為f（x）的極大值點

D.x=-1為f（x）的極小值點

分析：首先令f′（x）=0得出f（x）的極值點，然后利用極值點兩側導數的符號來判斷函數的極值。

解：令f′（x）=ex+xex=0，則x=-1，

當x＜-1時f′（x）＜0，f（x）單調遞減；

當x＞-1時f′（x）＞0，f（x）單調遞增。

所以x=-1為f（x）極小值點，故選D。

點評：本題考查了利用導數求函數的極值，考查了同學們的運算、分析和解決問題的能力。函數極值的求解，根據導函數為零解方程并列表格，分析每個實根兩側導函數的符號和原函數的單調性，可以明確地判斷函數的極值點，這是通性通法，應熟練掌握。

五、求參數的值或取值范圍

例5 已知函數f（x）=eax-x，其中a≠0。若對一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合。

分析：利用函數f（x）的單調性將不等式恒成立問題轉化為函數f（x）的最小值問題，然后通過構造函數g（t）=t-tlnt，利用其最值求a的值。

解：若a＜0，則對一切x＞0，f（x）=eax-x＜1，

這與題設矛盾，又a≠0，故a＞0。

而f′（x）=aeax-1，令f′（x）=0，得x= ln。

當x＜ln時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；當x＞ ln 時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，

故當x=ln時，f（x）取最小值f（ln）= -ln。

于是對一切x∈R，f（x）≥1恒成立，當且僅當

- ln≥1①

令g（t）=t-tlnt，則g′（t）=-lnt。

當0＜t＜1時，g′（t）＞0，g（t）單調遞增；當t＞1時，

g′（t）＜0，g（t）單調遞減。

故當t=1時，g（t）取最大值g（1）=1。因此，當且僅當=1即a=1時，①式成立。

綜上所述，a的取值集合為｛1｝。

點評：本題考查了利用導數求函數的最值、通過導數研究函數的單調性、不等式恒成立問題，考查了同學們等價轉化思想以及分析問題、綜合運用所學知識解決問題的能力。

六、考查導數知識的交匯性

例6 函數f（x）=2x+x3-2在區間（0，1）內的零點個數是（）。

A.0B.1C.2D.3

分析：首先利用f（0）·f（1）＜0來判定函數在區間（0，1）內是否存在零點，然后利用函數的單調性來判定零點的個數。

解：因為f（0）=1-2=-1＜0。f（1）=2+1-2=1＞0，所以f（0）·f（1）＜0，所以f（x）在區間（0，1）內至少存在一個零點；

又因為f′（x）=2xln2+3x2≥0，所以函數f（x）=2x+x3-2在R上單調遞增，所以函數f（x）在區間（0，1）內的零點個數為1個，選B。

點評：本題在函數的零點與函數的單調性的交匯處命題，考查了學生對函數零點與導數的靈活運用的能力。

（作者單位：河南省洛陽市第一高級中學）

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摘 要：導數是初等數學與高等數學的重要銜接點，是對函數圖像和性質的總結和拓展，是研究函數的單調性、極值、最值以及討論函數圖像變化趨勢的重要工具，利用導數可以解決現實生活中的最優化問題。由于其應用廣泛性，已成為高考命題的重點和熱點。

關鍵詞：導數；數學

一、利用導數的幾何意義解決曲線的切線問題

例1 曲線y=x3-x+3在點（1，3）處的切線方程為_____________。

分析：首先利用導數的幾何意義求出切線的斜率，然后利用點斜式寫出切線的方程。

解：因為y′=3x2-1，令x=1得切線斜率2，所以切線方程為y-3=2（x-1），即2x-y+1=0。

點評：利用導數的幾何意義求解曲線的切線問題，關鍵是正確求出已知函數的導函數。

二、利用定積分求曲邊梯形的面積

例2 設a＞0，若曲線y=與直線x=a，y=0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a=______。

分析：首先利用定積分的幾何意義求出曲邊梯形的面積，然后利用微積分基本定理求解得出a的值。

解：由已知得s= dx=xa0=a=a2，所以a=，所以a=。

點評：本題考查了由定積分求解曲線圍成封閉圖形的面積以及利用微積分基本定理進行計算的能力，考查了同學們用數形結合解決問題的能力

三、利用導數解決函數的單調性問題

例3 函數y=x2-lnx的單調遞減區間為

（）。

A.（-1，1 ］ B.（0，1］ C.［1，+∞） D.（0，+∞）

分析：對于對數函數，首先應確定函數的定義域，再求導數f′（x），通過判斷函數定義域內導數為零的點所劃分的區間內f′（x）的符號，來確定函數

f（x）在該區間上的單調性。

解：令y′=x-=≤0，解得-1＜x＜1，又因為定義域為（0，+∞），所以0＜x＜1，故選B。

點評：利用導數判斷函數在給定區間上的單調性，就是判斷導數在給定區間上的符號問題。若導數的值為正，原函數在此區間上是增函數，導數的值為負則是減函數。

四、利用導數解決函數的極值與最值問題

例4 設函數f（x）=xex，則（）。

A.x=1為f（x）的極大值點

B.x=1為f（x）的極小值點

C.x=-1為f（x）的極大值點

D.x=-1為f（x）的極小值點

分析：首先令f′（x）=0得出f（x）的極值點，然后利用極值點兩側導數的符號來判斷函數的極值。

解：令f′（x）=ex+xex=0，則x=-1，

當x＜-1時f′（x）＜0，f（x）單調遞減；

當x＞-1時f′（x）＞0，f（x）單調遞增。

所以x=-1為f（x）極小值點，故選D。

點評：本題考查了利用導數求函數的極值，考查了同學們的運算、分析和解決問題的能力。函數極值的求解，根據導函數為零解方程并列表格，分析每個實根兩側導函數的符號和原函數的單調性，可以明確地判斷函數的極值點，這是通性通法，應熟練掌握。

五、求參數的值或取值范圍

例5 已知函數f（x）=eax-x，其中a≠0。若對一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合。

分析：利用函數f（x）的單調性將不等式恒成立問題轉化為函數f（x）的最小值問題，然后通過構造函數g（t）=t-tlnt，利用其最值求a的值。

解：若a＜0，則對一切x＞0，f（x）=eax-x＜1，

這與題設矛盾，又a≠0，故a＞0。

而f′（x）=aeax-1，令f′（x）=0，得x= ln。

當x＜ln時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；當x＞ ln 時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，

故當x=ln時，f（x）取最小值f（ln）= -ln。

于是對一切x∈R，f（x）≥1恒成立，當且僅當

- ln≥1①

令g（t）=t-tlnt，則g′（t）=-lnt。

當0＜t＜1時，g′（t）＞0，g（t）單調遞增；當t＞1時，

g′（t）＜0，g（t）單調遞減。

故當t=1時，g（t）取最大值g（1）=1。因此，當且僅當=1即a=1時，①式成立。

綜上所述，a的取值集合為｛1｝。

點評：本題考查了利用導數求函數的最值、通過導數研究函數的單調性、不等式恒成立問題，考查了同學們等價轉化思想以及分析問題、綜合運用所學知識解決問題的能力。

六、考查導數知識的交匯性

例6 函數f（x）=2x+x3-2在區間（0，1）內的零點個數是（）。

A.0B.1C.2D.3

分析：首先利用f（0）·f（1）＜0來判定函數在區間（0，1）內是否存在零點，然后利用函數的單調性來判定零點的個數。

解：因為f（0）=1-2=-1＜0。f（1）=2+1-2=1＞0，所以f（0）·f（1）＜0，所以f（x）在區間（0，1）內至少存在一個零點；

又因為f′（x）=2xln2+3x2≥0，所以函數f（x）=2x+x3-2在R上單調遞增，所以函數f（x）在區間（0，1）內的零點個數為1個，選B。

點評：本題在函數的零點與函數的單調性的交匯處命題，考查了學生對函數零點與導數的靈活運用的能力。

（作者單位：河南省洛陽市第一高級中學）

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