分?jǐn)?shù)階微分方程積分邊值問題正解的存在性探究

冉營(yíng)麗，孟琳琳

（鄭州華信學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河南 鄭州 451100）

分?jǐn)?shù)階微分方程積分邊值問題正解的存在性探究

冉營(yíng)麗，孟琳琳

（鄭州華信學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河南 鄭州 451100）

本文針對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程積分邊值問題正解的存在性問題進(jìn)行了分析，希望所得結(jié)果能夠引起大家的關(guān)注和重視.

分?jǐn)?shù)階微分方程；積分邊值；問題正解存在性

0 引言

最近這些年，關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程方面的問題逐漸成為許多專家和學(xué)者研究的熱點(diǎn)話題.分?jǐn)?shù)階微分方程較多的應(yīng)用在數(shù)學(xué)領(lǐng)域、流體流變學(xué)領(lǐng)域，其涉及到的理論知識(shí)十分復(fù)雜，關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性，很多專家和學(xué)者都進(jìn)行了大量的研究和試驗(yàn).

1 分?jǐn)?shù)階微分方程積分邊值問題正解存在性研究的意義

在現(xiàn)實(shí)的問題當(dāng)中，微分方程能夠更準(zhǔn)確的將化學(xué)、物理、生物等方面的問題做出合理的描述，而且在科學(xué)研究等領(lǐng)域，分?jǐn)?shù)階微分方程也具有十分廣泛的應(yīng)用.舉個(gè)例子來說，在對(duì)擴(kuò)音器進(jìn)行反饋和分析的時(shí)候，都能夠應(yīng)用到這種理論[1].但是對(duì)于邊值問題的提出和研究，主要是從應(yīng)用物理和應(yīng)用數(shù)學(xué)等領(lǐng)域得出的，除此之外，在熱傳導(dǎo)領(lǐng)域和流體學(xué)等領(lǐng)域?qū)τ诜謹(jǐn)?shù)階方程積分邊值的研究和應(yīng)用也十分廣泛.

2 微分方程邊值問題的研究

2.1 邊值問題的提出

給出一個(gè)微分方程：f(x,y,y',…,y(n))=0

在區(qū)間I上的點(diǎn)α1，α2，…,αk及值y(αi)，y┡(αi),…,y(n-1)(αi)(i=1,2,…,k,k>1)，對(duì)該方程設(shè)定一些條件，對(duì)于這個(gè)方程在I上面滿足這些條件時(shí)候的邊值和界值進(jìn)行求解.

當(dāng)該區(qū)間I的端點(diǎn)是K=2，α1、α2時(shí)，就能夠證明，此時(shí)兩點(diǎn)的邊值問題.關(guān)于邊值問題的提出涉及到了諸多的領(lǐng)域和學(xué)科，不僅僅與物理學(xué)有著密切的關(guān)系，而且也涉及到了材料力學(xué)、流體力學(xué)和波動(dòng)力學(xué).此外，邊值問題在現(xiàn)代控制理論這一學(xué)科當(dāng)中也具有重要的研究?jī)r(jià)值.常微分方程能夠用來求解和進(jìn)行解析的類型非常少，基于這點(diǎn)原因?qū)呏祮栴}進(jìn)行求解也是具有相當(dāng)難度的，但是為了適應(yīng)實(shí)際問題的需要，采用近似求解也是一種不得已的方法.因此，我們首先需要回答這樣一些問題：邊值問題的解是否存在？是否惟一？這就是邊值問題的基本論題[2].

2.2 分?jǐn)?shù)階微分方程積分邊值問題的可解性研究

我們以射線法為例進(jìn)行研究，選擇一個(gè)微分方程的一般形式：

上述方程邊值的條件主要有三個(gè)類型，其中第一類是：

第二類是：

第三類是：

運(yùn)用數(shù)值法對(duì)邊值問題進(jìn)行計(jì)算求解，求解之前需要在理論上進(jìn)行驗(yàn)證，也就是說對(duì)邊值問題的解是否合理進(jìn)行解答.如果邊值問題的解不存在，那么采用數(shù)值方法來對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算是沒有意義的.所以，下面給出一個(gè)邊值問題存在唯一解的充分條件，如下：

則邊值問題(2.1)-(2.4)的解存在且唯一[3].

3 預(yù)備知識(shí)

假如二階線性常微分方程邊值存在解，并且是唯一正解，并定義出現(xiàn)行算子L：Ly=-y"+p(x)y'+q(x)y.

這樣我們可以進(jìn)行考慮，需要對(duì)兩個(gè)線性微分方程初值問題進(jìn)行合理的解釋：

設(shè)u(x)和v(x)分別為上述兩個(gè)問題的解，那么就不難驗(yàn)證是更上一個(gè)問題的解，其中v(b)≠0.

這樣，通過以上的驗(yàn)證和描述，我們可以采用基于疊加原理的打靶式方法進(jìn)行研究，該方法的主要步驟如下：

1.根據(jù)邊值問題構(gòu)造相應(yīng)的初值問題；

2.分別求出兩個(gè)初值問題的解，這里面為u(x)和v(x)；

3.以上述問題為例，將u(x)和v(x)進(jìn)行組合，最終所得到的函數(shù)y(x)就是上面邊值問題的解.

u(x)和v(x)都是二階常微分方程的初值問題，因此在進(jìn)行求解的時(shí)候需要將變量代換引入進(jìn)來，將這個(gè)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為與該方程相適應(yīng)的一階方程的初值問題就能夠更好地解決.如令：

則該式可以寫成

該式可以寫成

這樣就可以利用Runge-Kutta方法求解.

對(duì)于更為普遍的線性邊值問題：

用基于疊加原理的打靶法的步驟為：

1.再重新構(gòu)造一個(gè)方程，創(chuàng)造出兩個(gè)與之相適應(yīng)的處置問題：

和

其中c0和c1是滿足條件c1α1-c1α0=1的兩個(gè)任意的常量[4].

2.對(duì)初值問題進(jìn)行求解，設(shè)它們的解分別為u(x)和v(x).

由此計(jì)算得到的函數(shù)y(x)就是這個(gè)方程的解.

此外，再講一個(gè)特殊方程的邊值問題，我們將其稱之為固有值問題，也有人稱之為本證值問題.這是一個(gè)含參數(shù)λ齊次邊值的問題，也就是說在這個(gè)方程里，無論是邊界條件還是微分方程都是齊次的，所以保證齊次邊值的問題具有非零解數(shù)值λ，就是特征值，對(duì)這些非零解本身就是一個(gè)特征函數(shù)，也可以稱其為特征向量.

常型斯圖姆-劉維爾問題(簡(jiǎn)稱SL問題)是最典型的特征值問題：

在上述式子中，(α,b)是一個(gè)有限區(qū)間，1/p(x)，q(x),1/r(x)是實(shí)的有界連續(xù)函數(shù).

常型問題一般都存在數(shù)不清的特征值，以λ0<λ1<λ2<…λn表示,每一個(gè)λn,都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的非零解yn(x)，我們將其稱之為特征函數(shù).{yn(x)}組成(α，b)上的完備正交系.對(duì)任意函數(shù)f(x)，有特征展開式

式中fn是f(x)的廣義傅里葉系數(shù),等于f(x)與yn(x)的乘積沿(α,b)的積分.當(dāng)f(x)滿足邊界條件,且f┡(x)絕對(duì)連續(xù)時(shí)，展開式一致收斂.當(dāng)f(x)平方可積時(shí)，展開式平方平均收斂.

斯圖姆曾經(jīng)證明了一個(gè)一般性的比較定理：如果g(x)

當(dāng)(α,b)不是有限區(qū)間,或者1/p(x),q(x)，1/r(x)中至少有一個(gè)不是有界連續(xù)時(shí)，就稱微分方程為奇型SL方程.這樣邊界條件的體罰和展開形式相對(duì)來說就較為復(fù)雜.按照H.外爾的理論來說，對(duì)于某個(gè)復(fù)數(shù)λ，微分方程的任何解都在b點(diǎn)鄰域平方可積,這樣一來，b屬于圓款；否則稱b屬于點(diǎn)款.而前面的方程，對(duì)于b點(diǎn)來說，需要提線性邊界條件；而對(duì)于后面的方程，只提平方可積條件就可以了.若α點(diǎn)為奇點(diǎn),也有同樣的分類.當(dāng)區(qū)間僅有一端為奇點(diǎn)，特征展開式為

式中

φ(x,λ)為滿足α處邊界條件的解；ρ(λ)為不減函數(shù),稱為譜函數(shù).當(dāng)ρ(λ)為純階梯函數(shù)時(shí)，展開式成為前述的級(jí)數(shù)形式(10)，當(dāng)ρ(λ)沒有跳點(diǎn)，展開式成為廣義傅里葉積分[5].對(duì)于區(qū)間兩端都為奇點(diǎn)的情形，展開式為

式中[ρij(λ)]稱為譜矩陣；φ1，φ2則是方程的線性無關(guān)解組.

4 實(shí)際應(yīng)用

4.1 當(dāng)f(x)為pm(x)eλx與eλx[pl(x)cosωx+pn(x)sinωx]時(shí)，特解的形式及解法.

當(dāng)f(x)為pm(x)eλx與eλx[pl(x)cosωx+pn(x)sinωx]時(shí)特解的不同形式.

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一般形式為

這里我們只討論f(x)為pm(x)eλx與eλx[pl(x)cosωx+pn(x) sinωx]型.

4.1.1 f(x)=pm(x)eλx

利用待定系數(shù)法求通解.

據(jù)分析可設(shè)特解y*=Qm(x)eλx，推得y*=xkQm(x)eλx其中Qm(x)是與Pm(x)同次多項(xiàng)式.k按λ是特征方程的單根、重根，不是根可取為1、2、0.

例： 求下列方程的特解或通解.

4.1.2 f(x)=eλx[pl(x)cosωx+pn(x)sinωx]

利用上面結(jié)果及歐拉公式、性質(zhì)推得

（1）當(dāng)λ+iω是特征根時(shí)，k=1，

（2）當(dāng)λ+iω不是特征根時(shí)，k=0.

例： 求下列微分方程的特解

1.曲線上每點(diǎn)(x,y)處的切線在y軸上的截距為2xy2，且曲線過點(diǎn)(1,2)，求此曲線方程.

解：設(shè)曲線的切線方程為Y-y=y'(X-x)，

令X=0，于是切線在y軸上的截距為-xy'+y，從而

為貝努利方程，設(shè)u=y-1，上方程化為

其通解為，u=e-∫1xdx（∫2e∫1xdx

d

x+C）=x+C

x

解： 方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得

為一階線性微分方程，解得

又因?yàn)閒(x)|x-0=1，代入上式，得C=2，因此所求函數(shù)

解：方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得f"(x)=6sin2x-f(x)，即

此為二階常系數(shù)線性齊次方程，其對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為r2+1=0，特征根為r1,2=±i，所以其對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為

且非齊次方程的右端函數(shù)為3(1-cos2x)，2i不是特征根，所以非齊次方程的特解可設(shè)為y*=A+Bcos2x+Csin2x，代入原方程，比較系數(shù)得A=3，B=1，C=0，所以

于是原方程所求通解為又因f(0)=1，f'(0)=1，代入上式，求得C1=-4，C2=1，因此所求函數(shù)為f(x)=sinx-4cosx+cos2x+3.

5 結(jié)語(yǔ)

在本研究當(dāng)中，筆者主要針對(duì)微分方程邊值問題正解的存在性問題進(jìn)行了分析，同時(shí)研究了積分邊值問題的非線性方程分?jǐn)?shù)階正解的存在性，從中可以得出，積分邊值問題至少會(huì)存在一個(gè)正解，并且這是一個(gè)充分條件.通過本研究的論證可以得出，分?jǐn)?shù)階微分方程是存在正解的，但是關(guān)于正解的求法還需要更多的學(xué)者進(jìn)行討論和研究.

〔1〕高雷阜,王金希,吳洪濤.Banach空間中一類變分包含解的存在性和唯一性[J].遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012,14(02):154-155.

〔2〕夏順友,黃南京.到錐度量空間上的半連續(xù)集值映射的連續(xù)性 [J].遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版),2012,11 (02):25-26.

〔3〕Hussein A.H. Salem. FRACTIONAL ORDER BOUNDARYVALUEPROBLEMWITHINTEGRALBOUNDARYCONDITIONSINVOLVING PETTIS INTEGRAL [J].Acta Mathematica Scientia. 2011,17(02):75.

〔4〕周昌宇,劉文斌.一類分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題單調(diào)迭代解[J].黑龍江科技學(xué)院學(xué)報(bào),2010,15(04):02-04.

〔5〕朱思念,王剛.一類非線性分?jǐn)?shù)階m點(diǎn)邊值問題可數(shù)多正解的存在性[J].四川理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011,11 (03):24.

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A

1673-260X（2014）12-0008-03