高等數學在經濟管理中的簡單應用

楊潔 張玉杰 張園園

［摘要］本文通過實例介紹了高等數學在經濟管理中的幾個常見應用，使抽象的數學概念具體化，便于學生對相關專業(yè)知識的理解和掌握。

［關鍵詞］邊際函數彈性經濟函數

［中圖分類號］O13［文獻標識碼］A［文章編號］2095-3437（2013）08-0056-02

在經濟管理中，數學知識是必不可少的，本文就如何把高等數學的有關知識用于解決相關問題加以討論。這有助于相關專業(yè)學生更好地掌握專業(yè)知識。

一、連續(xù)復利——e在經濟中的應用

利息是銀行對儲蓄（或借貸）所支付（或收取）的除本金以外的貨幣。銀行支付（或收取）利息的多少，以利率的高低來表示

單位時間的利率=單位時間的利息/存入的本金

（一）單利

設本金為A0（可指投資,存款等），年利率是i，所謂單利是指僅按本金A0計算利息。例如：A0的投資時間為t年，那么七年后,可得單利:I=A0it

本利和是A=A0+I=A0（1+it）

例如：1000元投資5年，年利率6%，于是5年后共得單利

I=1000×0.06=300（元），A=1000+300=1300（元）

（二）復利

所謂復利是指經過一年時間，將所生利息加入本金再生利息。逐期滾算。

假定本金是A0元，那么一年后的利息是A0i，此時本金就成了

A0+A0i=A0（1+i）

再經過一年又得復利iA0（1+i）

本金成了A0（1+i）2,

依次類推，t年后本金A（t）就成了A（t）=A0（1+i）t

例如：將1000元投資5年，年利率6%，按年計算復利，那么5年后本金就A（5）=1000（1+0.06）5＝1338.23（元）,利息是338.23元。

設年利率為i，如果一年計算m次復利，那么t年后就計算mt次，每次的利率算作■。設本金為A0元，年利率為i，每年計算復利m次，那么t年后本金為A（t）=A0（1+■）mt。

例如：將1000元投資5年，年利率6%，每年計算復利4次，那么5年后本金就成了A（5）=1000（1+■）5×4=1346.86（元），利息是346.86元。

（三）連續(xù)復利

A（t）=■A0（1+■）mt＝A0■［（1+■）■］it=A0eit

這種計利方法稱為連續(xù)復利。

連續(xù)復利的計算方法在其他許多問題中也常有應用，如：細胞分裂、樹木的生長等。

二、邊際與彈性——導數與微分的簡單應用

（一）邊際概念

在經濟學中邊際表示的是變化率，函數的導數稱為邊際函數。

如：成本函數C（x）的導數C′（x）稱為邊際成本函數。

邊際成本具有怎樣的經濟意義？

當產量由原產量x單位增加一個單位（Δx=1）時，成本C（x）的真值為C（x+1）-C（x），但當產量的單位很小或一個單位與原產量x值相比很小時，則由近似式■=■≈C′（x）（|Δx|很小時）

取Δx=1，得C（x+1）-C（x）≈C′（x）

這表明當產量達到x時，再增加生產一個單位，成本的增加值就可以用邊際成本C′（x）近似表示。這就是邊際成本實際的經濟意義。

在經濟學中，通常略去“近似”二字，將邊際成本C′（x）解釋為：

當產量達到x時，再增加生產一個單位產品所增加的成本。或生產x+1個產品所需的成本。

例如：設生產x件某產品的成本為C（x）＝200+0.03x2

生產100件的總成本為C（100）=200+0.03×（100）2=500

每件產品的平均成本是■=■=5

邊際成本函數為C′（x）=0.06x

產量在100件時的邊際成本為C′（x）=0.06×100=6

它近似表示生產第101產品的成本。這件產品的真值是

ΔC=C（100+1）-C（100）=6.03

除邊際成本函數外，收入函數的導數稱為邊際收入函數；利潤函數的導數稱為邊際利潤函數；需求函數的導數稱為邊際需求函數等。他們的實際經濟意義都可以如邊際成本一樣理解。

（二）彈性概念

經濟學中把一個變量對另一個變量相對變化的反映程度稱為彈性。

例如：需求對價格的彈性就是商品需求量對價格相對變化的程度。設需求函數x=f（p），其中x需求量，p是價格，η=p■

由于Δp很小時，η=p■≈■■所以需求彈性近似表示在價格為p時，價格變動1％，需求量將變化|η|%，通常也略去“近似”二字．一般來說，需求函數是一個減函數，需求量隨價格的提高而減少，因此需求彈性一般是負值，它反映了商品需求量對價格變化反應的強烈程度，即靈敏度。

對任何函數都可以建立彈性，一般地，函數y=f（x）在點x處的彈性定義

為η=x■

它表示的是相對變化率。相對變化率便于比較不同市場的需求對價格變動的反應。它是無綱量。便于比較單位價格不一致的單位的靈敏度。

通常表示為：εyx=■=■■

例如：某種產品的需求量x與價格p的關系為x（p）=1600（■）p，

（1）求需求彈性η（p）;（2）當商品的價格p=10元時，再增加1％，求該商品需求量變化情況。

解:需求彈性η（p）＝p■=p×ln■=（-2ln2）≈-1.39p

需求彈性為負，說明商品價格p增加1％時，商品需求量將減少1.39p%

當商品價格p=10元時 η（10）≈-13.9

這表示價格p＝10元時，再增加1％，商品的需求量將增加13.9p%，如價格降低1％，商品的需求量將增加13.9p%。

三、積分在經濟問題中的應用

例：已知某商品每天生產x單位時，邊際成本為C′（x）=0.4x+2（元／單位），其固定成本是20元，求總成本函數C（x）。如果這種商品規(guī)定的銷售單價為18元，且產品可以全部售出，求總利潤函數L（x），并問每天生產多少單位，總利潤最大？

解可變成本就是邊際成本函數在［0，x］上的定積分，又已知固定成本為20元，所以總成本函數C（x）=■（0.4t+2）dt+20=0.2x2+2x+20

當銷售單價為18元時，總利潤函數為

L（x）＝R（x）-C（x）=-0.2x2+1.6x-20

由L′（x）=-0.4x+16=0，得x=40

又因為L″（x）=-0.4＜0，所以，每天生產40單位可獲最大利潤，最大利潤為L（40）=300（元）。

高等數學在其它各個領域中的應用不勝枚舉：如物理學中有速度、加速度、角速度、線密度、電流、功率、溫度梯度、衰變率、變速直線運動的路程、非均勻細桿的質量、變力沿直線作功、抽水作功、引力等等；化學中有擴散速度、反應速度，溶液連續(xù)稀釋問題等；生物學中有（種群）出生率、死亡率、自然生長率等等；社會學中有信息的傳播速度、時尚的推廣、人口自然增長規(guī)律等，幾何學中曲線的切線問題，曲邊圖形的面積等這類涉及微小量無窮積累的問題。這些都可以用高等數學加以討論。

［參考文獻］

［1］楊潔.高等數學［M］.北京：人民衛(wèi)生出版社，2012.

［2］劉桂茹，孫永華.經濟數學［M］.天津：南開大學出版社，2003.

［責任編輯：左蕓］