高等數學極限概念引入探究及極限求解方法

［摘要］極限概念比較抽象，不少學生理解和學習起來感到困難。在這里做一些探討，結合個人教學過程中所使用的例子進行闡明。極限求解類型比較多，多數學生在學習過程中，都會或多或少遇到困難。本文將把經常使用和遇到的極限求解問題，進行分類和歸納。

［關鍵詞］極限自變量因變量洛必達法則無窮小量

［中圖分類號］O13［文獻標識碼］A［文章編號］2095-3437（2013）08-0060-03

一、極限概念的引入

關于極限概念的引入，很多高等數學的教材采用求圓的周長的例子，這本身是一個很好的例子，但總是用同一個例子，缺乏創新性，并且，也缺乏趣味性，也非常“數學性”。教學過程中，本人發現，學生在理解極限的概念時，往往存在困難。為了讓學生更好地理解極限的概念，本人考慮了以下幾個例子，通過多次的教學實踐，收效不錯。以下將這些例子詳細陳明。

（一）超導體

一般材料在溫度接近絕對零度的時候，物體分子熱運動幾乎消失，材料的電阻趨近于0，此時稱為超導體，達到超導的溫度稱為臨界溫度。隨著各國代代科學家的不懈努力，能實現超導現象的材料陸續被發現，發生超導現象的溫度逐漸提高。超導材料的用途非常廣闊，如超導發電機、磁流體發電機、超導輸電線路、超導計算機、超導天線、超導微波器件、磁懸浮列車和熱核聚變反應堆等。這里主要涉及兩個變量，一個是溫度，用T表示，另一個是電阻，用R表示，并且溫度是自變量，電阻是因變量。通過控制材料的溫度，使它的溫度不斷降低，在這個過程中，該被測材料的電阻不斷改變，當溫度降低到臨界溫度時，材料的電阻變為零。電阻為零是一個確定的數值，不再是變量，這是控制溫度到臨界溫度時，所得的極限值。以上過程用數學符號表示為：■R（T）=0。R（T）是變量，但是加上極限符號■之后，■R（T）是一個確定的量，在這個例子中，極限等于0。

（二）配件組裝

日本本田的摩托車和汽車配件是在零下十幾度組裝的，買來后，大多數使用環境都是在零度以上，金屬熱脹冷縮的屬性使得本田汽車和摩托車非常牢固。這里主要涉及兩個量，一個是溫度T，另一個是金屬的體積V。溫度T是自變量，體積V是因變量，當環境溫度改變時，金屬的體積也跟著改變。裝配時，零部件金屬在零下十幾度時，設此時溫度為T1，受冷收縮，設此時的體積為V（T1），可以表示為■V（T）＝V（T1）；裝配好的成品在常溫下使用時，設常溫為T2，此時，金屬體積為V（T2），可以表示為■V（T）＝V（T2）。其中T1＜T2，V（T1）＜V（T2）。V（T）是變量，但是加上極限符號之后■V（T）和■V（T）就稱為一個確定的量，分別記為V（T1）和V（T2）。

（三）忍無可忍

每個人的忍受力是有限度的。再好脾氣的人，也會有忍無可忍之時。設曉明受到小寶的欺負，曉明忍氣吞聲，就這樣一天、兩天，一個月、兩個月……一年、兩年.……，再好的脾氣終有爆發的一天。這件事上，主要涉及兩個變量，一個是時間，一個心情。時間是自變量，心情是因變量。設時間為t，心情為f。當曉明處于忍受小寶的過程中，他即便沒有爆發，心情卻不能說是好的，而是不斷地在積蓄能量，這個能量當然是負能量，也就是f（t）是個變量。但是，當曉明忍無可忍而爆發的那一時刻，記這一時刻為t0，心情狀態已經發生了質的變化，原先可以看上去和氣，但是這爆發的一刻，恐怕至少怒目相視了，甚至動起手腳，把這個爆發的狀態記為F，可以表示為■f（t）＝F。即f（t）是一個變量，但是加上極限符號■之后，■f（t）就是一個極限的狀態，是一個確定的量。

（四）尺縮效應

愛因斯坦的廣義相對論解釋了物體以光速運動，在地面上的人看那以光速運動的物體的長度變短了，這就是著名的尺縮效應。當運動物體的速度不夠大時，地面上的人用肉眼是不容易察覺到尺縮效應的，但是它卻是真實存在的。這里主要討論兩個變量，一個是速度，記作v，另一個是物體的長度，記作l，速度v是自變量，物體長度l是因變量。隨著物體運動速度v不斷增加，l不斷變小，即l（v）是一個變量。物體的最大運動速度是光速c，當物體加速到光速c時，其長度也達到了極限值■l（v），這個極限值是一個確定的數，記為l0，即■l（v）=l0。

二、極限的求解

以上對極限概念的理解有所幫助，都是通過控制自變量、因變量最終達到一個極限值。但是，要特別提出的是，極限有時存在，有時是不存在的。存在時，極限值是一個確定的量；不存在的時候，又有多種情況，有時是因為極限為無窮大，有時是因為存在兩個極限值，即極限不唯一，有時是因為遇到震蕩極限。下面將通過具體的例子來說明極限的求解。下面給出的例子，盡量簡單明了，更注重的是方法的理解。遇到比較復雜的例子，只要把它們轉化成下列各類型加以處理即可。

（一）連續函數求極限

1.特別地，常值函數

■c=c。（其中x0可以是一個有限量，也可以是無窮大量）

例1.■8=8；

例2.■3=3；

2.一般的連續函數

例3.■（x2+3）=3；

例4.■（sinx+1）=2

例5.■（3x-5）=4

（二）自變量趨于無窮大時，多項式比值的極限

自變量趨于無窮大時，求多項式比值的極限，關鍵看分子和分母的最高次。當分子和分母的最高次相同時，極限值是分子和分母系數的比值；當分子的最高子高于分母的最高次時，極限值為無窮大；當分子的最高次小于分母的最高次時，極限值為0。

例6.■■=■；

例7.■■=∞

例8.■■=0

（三）通分法

兩分式之差為無窮大減無窮大時，可以考慮先通分再求極限。

例9.■（■-■）

解：原極限=■■-■

=■■=-■■=-■

（四）消去法

當自變量趨于有限值，函數是零比零時，可以考慮用消去法。這可以和前面所述“2. 自變量趨于無窮大時，多項式比值的極限”做比較。

例10.■■

解：原極限=■■=■■=■

（五）分母有理化與分子有理化

當函數含有根式，極限又不易確定時，可以考慮分子有理化或分母有理化。

例11. ■■-■（運用分子有理化）

解：原極限

=■■

＝■■＝0

例12. ■■（自變量趨于0）（運用分母有理化）

解：原極限

＝■■

=■■=1+■

（六）特殊極限

（1）■■=1型或■■=1型，x的位置可以是一串連續的函數表達式。

例13.■■=1

例14. ■■=1

（2）■（1+■）x＝e型或■（1+x）■＝e型，x的位置可以是一串連續的函數表達式。

例15.■（1+■）x＝■［（1+■）3x］■＝e■

例16.■（1-x）■=■｛［1+（-x）］■｝=e■

（七）無窮小量替換

當且僅當分子和分母都是乘積式的無窮小量時，才可以用無窮小量替換。下列給出一些常用的等價替換公式：

當x→0時，x～sinx，x～tanx，x～ln（1+x），x～（ex-1），x～arcsinx，x～arctanx，■x2～（1-cosx），2x～［（1+x）2-1］。

以上x的位置可以是一串具有連續性的函數表達式。實際上，只要能證明兩個量是同一過程（即自變量趨于相同的路徑）的等價無窮小量，就可以進行等價替換。

例17. ■■

解：因為當x→0時，x～sinx，x～arcsinx，所以■■=■■=1。

例18.■■

解：因為當x→0時，■x2～（1-cosx），x～arctanx，所以■■=■■=0。

例19.■■

解：因為當x→0時，x～ln（1+x），x～（ex-1），且當x→1時，（x-1）→0，x-1～ln［1+（x-1）］，x-1～（ex-1-1），所以■■=■■＝1。

例20.■■

解:因為x→0，所以5x→0，7x→0，3x→0，2x→0，則：sin（5x）～5x，arctan（7x）～7x，tan（3x）～3x，（e2x-1）～2x，于是原極限=■■=■■。

（八）洛必達法則

對■或■的比值型極限，可以考慮用洛必達法則。前面介紹的“2.自變量趨于無窮大時，多項式比值的極限”和“7. 無窮小量替換”都可以用洛必達法則求解，對具體的例子可以選擇相對簡單的方法。

例21. ■■（也可以使用無窮小量替換）

解：原極限■■=■=■=■

例22.■■（也可以使用“2.自變量趨于無窮大時，多項式比值的極限”所介紹的方法，直接給出答案）

解：原極限=■■＝■■＝■■＝■

例23. ■■

解: 原極限■＝■

=■＝■

=■＝6

（九）對數法

對00型，a∞型（其中a是非零常數），∞0型等冪指函數求極限，可以考慮對數法。具體如下。

例24.■（tanx）2x（00型）

解：令：y=（tanx）2x ，則lny=2x·ln（tanx）=■

■lny=■■=■■■=■■=0

于是■y=■（tanx）2x=e0=1。

例25.■x■（2∞型）

解：令：y=x■，則lny=lnx■，于是■lny=■■■■■=2。

即■y=■x■=e2。

例26.■（■）x （∞0型）

解：令：y=（■）x，則lny=-x·ln（5x），■lny＝-■■■-■■=0。

即■y＝■＝（■）x=e0=1

（十）極限不存在的情況

1.極限不唯一

例27.■＝（-1）n=1，n取正偶數-1，n取正奇數，因極限若存在，則必唯一，可見，該極限不存在。

2.極限為無窮大

如前面的例7.■■＝∞和例12.■■＝∞，都是極限為無窮大的情況。

3.震蕩極限

經常涉及正弦函數sinx、余弦函數cosx、正切函數tanx、余切函數cotx等三角函數及其連續的混合函數。

例28.■sin（11x） 和■cos■，當x→∞時，兩者的極限都是震蕩的，不確定的。因此極限也是不存在的。

［參考文獻］

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［5］侯風波.經濟數學［M］.上海：上海大學出版社，2009,（8）.

［責任編輯：左蕓］