高等數(shù)學(xué)極限概念引入探究及極限求解方法

［摘要］極限概念比較抽象，不少學(xué)生理解和學(xué)習(xí)起來(lái)感到困難。在這里做一些探討，結(jié)合個(gè)人教學(xué)過(guò)程中所使用的例子進(jìn)行闡明。極限求解類型比較多，多數(shù)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，都會(huì)或多或少遇到困難。本文將把經(jīng)常使用和遇到的極限求解問(wèn)題，進(jìn)行分類和歸納。

［關(guān)鍵詞］極限自變量因變量洛必達(dá)法則無(wú)窮小量

［中圖分類號(hào)］O13［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］A［文章編號(hào)］2095-3437（2013）08-0060-03

一、極限概念的引入

關(guān)于極限概念的引入，很多高等數(shù)學(xué)的教材采用求圓的周長(zhǎng)的例子，這本身是一個(gè)很好的例子，但總是用同一個(gè)例子，缺乏創(chuàng)新性，并且，也缺乏趣味性，也非常“數(shù)學(xué)性”。教學(xué)過(guò)程中，本人發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在理解極限的概念時(shí)，往往存在困難。為了讓學(xué)生更好地理解極限的概念，本人考慮了以下幾個(gè)例子，通過(guò)多次的教學(xué)實(shí)踐，收效不錯(cuò)。以下將這些例子詳細(xì)陳明。

（一）超導(dǎo)體

一般材料在溫度接近絕對(duì)零度的時(shí)候，物體分子熱運(yùn)動(dòng)幾乎消失，材料的電阻趨近于0，此時(shí)稱為超導(dǎo)體，達(dá)到超導(dǎo)的溫度稱為臨界溫度。隨著各國(guó)代代科學(xué)家的不懈努力，能實(shí)現(xiàn)超導(dǎo)現(xiàn)象的材料陸續(xù)被發(fā)現(xiàn)，發(fā)生超導(dǎo)現(xiàn)象的溫度逐漸提高。超導(dǎo)材料的用途非常廣闊，如超導(dǎo)發(fā)電機(jī)、磁流體發(fā)電機(jī)、超導(dǎo)輸電線路、超導(dǎo)計(jì)算機(jī)、超導(dǎo)天線、超導(dǎo)微波器件、磁懸浮列車和熱核聚變反應(yīng)堆等。這里主要涉及兩個(gè)變量，一個(gè)是溫度，用T表示，另一個(gè)是電阻，用R表示，并且溫度是自變量，電阻是因變量。通過(guò)控制材料的溫度，使它的溫度不斷降低，在這個(gè)過(guò)程中，該被測(cè)材料的電阻不斷改變，當(dāng)溫度降低到臨界溫度時(shí)，材料的電阻變?yōu)榱恪ｋ娮铻榱闶且粋€(gè)確定的數(shù)值，不再是變量，這是控制溫度到臨界溫度時(shí)，所得的極限值。以上過(guò)程用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為：■R（T）=0。R（T）是變量，但是加上極限符號(hào)■之后，■R（T）是一個(gè)確定的量，在這個(gè)例子中，極限等于0。

（二）配件組裝

日本本田的摩托車和汽車配件是在零下十幾度組裝的，買來(lái)后，大多數(shù)使用環(huán)境都是在零度以上，金屬熱脹冷縮的屬性使得本田汽車和摩托車非常牢固。這里主要涉及兩個(gè)量，一個(gè)是溫度T，另一個(gè)是金屬的體積V。溫度T是自變量，體積V是因變量，當(dāng)環(huán)境溫度改變時(shí)，金屬的體積也跟著改變。裝配時(shí)，零部件金屬在零下十幾度時(shí)，設(shè)此時(shí)溫度為T1，受冷收縮，設(shè)此時(shí)的體積為V（T1），可以表示為■V（T）＝V（T1）；裝配好的成品在常溫下使用時(shí)，設(shè)常溫為T2，此時(shí)，金屬體積為V（T2），可以表示為■V（T）＝V（T2）。其中T1＜T2，V（T1）＜V（T2）。V（T）是變量，但是加上極限符號(hào)之后■V（T）和■V（T）就稱為一個(gè)確定的量，分別記為V（T1）和V（T2）。

（三）忍無(wú)可忍

每個(gè)人的忍受力是有限度的。再好脾氣的人，也會(huì)有忍無(wú)可忍之時(shí)。設(shè)曉明受到小寶的欺負(fù)，曉明忍氣吞聲，就這樣一天、兩天，一個(gè)月、兩個(gè)月……一年、兩年.……，再好的脾氣終有爆發(fā)的一天。這件事上，主要涉及兩個(gè)變量，一個(gè)是時(shí)間，一個(gè)心情。時(shí)間是自變量，心情是因變量。設(shè)時(shí)間為t，心情為f。當(dāng)曉明處于忍受小寶的過(guò)程中，他即便沒(méi)有爆發(fā)，心情卻不能說(shuō)是好的，而是不斷地在積蓄能量，這個(gè)能量當(dāng)然是負(fù)能量，也就是f（t）是個(gè)變量。但是，當(dāng)曉明忍無(wú)可忍而爆發(fā)的那一時(shí)刻，記這一時(shí)刻為t0，心情狀態(tài)已經(jīng)發(fā)生了質(zhì)的變化，原先可以看上去和氣，但是這爆發(fā)的一刻，恐怕至少怒目相視了，甚至動(dòng)起手腳，把這個(gè)爆發(fā)的狀態(tài)記為F，可以表示為■f（t）＝F。即f（t）是一個(gè)變量，但是加上極限符號(hào)■之后，■f（t）就是一個(gè)極限的狀態(tài)，是一個(gè)確定的量。

（四）尺縮效應(yīng)

愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論解釋了物體以光速運(yùn)動(dòng)，在地面上的人看那以光速運(yùn)動(dòng)的物體的長(zhǎng)度變短了，這就是著名的尺縮效應(yīng)。當(dāng)運(yùn)動(dòng)物體的速度不夠大時(shí)，地面上的人用肉眼是不容易察覺(jué)到尺縮效應(yīng)的，但是它卻是真實(shí)存在的。這里主要討論兩個(gè)變量，一個(gè)是速度，記作v，另一個(gè)是物體的長(zhǎng)度，記作l，速度v是自變量，物體長(zhǎng)度l是因變量。隨著物體運(yùn)動(dòng)速度v不斷增加，l不斷變小，即l（v）是一個(gè)變量。物體的最大運(yùn)動(dòng)速度是光速c，當(dāng)物體加速到光速c時(shí)，其長(zhǎng)度也達(dá)到了極限值■l（v），這個(gè)極限值是一個(gè)確定的數(shù)，記為l0，即■l（v）=l0。

二、極限的求解

以上對(duì)極限概念的理解有所幫助，都是通過(guò)控制自變量、因變量最終達(dá)到一個(gè)極限值。但是，要特別提出的是，極限有時(shí)存在，有時(shí)是不存在的。存在時(shí)，極限值是一個(gè)確定的量；不存在的時(shí)候，又有多種情況，有時(shí)是因?yàn)闃O限為無(wú)窮大，有時(shí)是因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)極限值，即極限不唯一，有時(shí)是因?yàn)橛龅秸鹗帢O限。下面將通過(guò)具體的例子來(lái)說(shuō)明極限的求解。下面給出的例子，盡量簡(jiǎn)單明了，更注重的是方法的理解。遇到比較復(fù)雜的例子，只要把它們轉(zhuǎn)化成下列各類型加以處理即可。

（一）連續(xù)函數(shù)求極限

1.特別地，常值函數(shù)

■c=c。（其中x0可以是一個(gè)有限量，也可以是無(wú)窮大量）

例1.■8=8；

例2.■3=3；

2.一般的連續(xù)函數(shù)

例3.■（x2+3）=3；

例4.■（sinx+1）=2

例5.■（3x-5）=4

（二）自變量趨于無(wú)窮大時(shí)，多項(xiàng)式比值的極限

自變量趨于無(wú)窮大時(shí)，求多項(xiàng)式比值的極限，關(guān)鍵看分子和分母的最高次。當(dāng)分子和分母的最高次相同時(shí)，極限值是分子和分母系數(shù)的比值；當(dāng)分子的最高子高于分母的最高次時(shí)，極限值為無(wú)窮大；當(dāng)分子的最高次小于分母的最高次時(shí)，極限值為0。

例6.■■=■；

例7.■■=∞

例8.■■=0

（三）通分法

兩分式之差為無(wú)窮大減無(wú)窮大時(shí)，可以考慮先通分再求極限。

例9.■（■-■）

解：原極限=■■-■

=■■=-■■=-■

（四）消去法

當(dāng)自變量趨于有限值，函數(shù)是零比零時(shí)，可以考慮用消去法。這可以和前面所述“2. 自變量趨于無(wú)窮大時(shí)，多項(xiàng)式比值的極限”做比較。

例10.■■

解：原極限=■■=■■=■

（五）分母有理化與分子有理化

當(dāng)函數(shù)含有根式，極限又不易確定時(shí)，可以考慮分子有理化或分母有理化。

例11. ■■-■（運(yùn)用分子有理化）

解：原極限

=■■

＝■■＝0

例12. ■■（自變量趨于0）（運(yùn)用分母有理化）

解：原極限

＝■■

=■■=1+■

（六）特殊極限

（1）■■=1型或■■=1型，x的位置可以是一串連續(xù)的函數(shù)表達(dá)式。

例13.■■=1

例14. ■■=1

（2）■（1+■）x＝e型或■（1+x）■＝e型，x的位置可以是一串連續(xù)的函數(shù)表達(dá)式。

例15.■（1+■）x＝■［（1+■）3x］■＝e■

例16.■（1-x）■=■｛［1+（-x）］■｝=e■

（七）無(wú)窮小量替換

當(dāng)且僅當(dāng)分子和分母都是乘積式的無(wú)窮小量時(shí)，才可以用無(wú)窮小量替換。下列給出一些常用的等價(jià)替換公式：

當(dāng)x→0時(shí)，x～sinx，x～tanx，x～ln（1+x），x～（ex-1），x～arcsinx，x～arctanx，■x2～（1-cosx），2x～［（1+x）2-1］。

以上x(chóng)的位置可以是一串具有連續(xù)性的函數(shù)表達(dá)式。實(shí)際上，只要能證明兩個(gè)量是同一過(guò)程（即自變量趨于相同的路徑）的等價(jià)無(wú)窮小量，就可以進(jìn)行等價(jià)替換。

例17. ■■

解：因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，x～sinx，x～arcsinx，所以■■=■■=1。

例18.■■

解：因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，■x2～（1-cosx），x～arctanx，所以■■=■■=0。

例19.■■

解：因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，x～ln（1+x），x～（ex-1），且當(dāng)x→1時(shí)，（x-1）→0，x-1～ln［1+（x-1）］，x-1～（ex-1-1），所以■■=■■＝1。

例20.■■

解:因?yàn)閤→0，所以5x→0，7x→0，3x→0，2x→0，則：sin（5x）～5x，arctan（7x）～7x，tan（3x）～3x，（e2x-1）～2x，于是原極限=■■=■■。

（八）洛必達(dá)法則

對(duì)■或■的比值型極限，可以考慮用洛必達(dá)法則。前面介紹的“2.自變量趨于無(wú)窮大時(shí)，多項(xiàng)式比值的極限”和“7. 無(wú)窮小量替換”都可以用洛必達(dá)法則求解，對(duì)具體的例子可以選擇相對(duì)簡(jiǎn)單的方法。

例21. ■■（也可以使用無(wú)窮小量替換）

解：原極限■■=■=■=■

例22.■■（也可以使用“2.自變量趨于無(wú)窮大時(shí)，多項(xiàng)式比值的極限”所介紹的方法，直接給出答案）

解：原極限=■■＝■■＝■■＝■

例23. ■■

解: 原極限■＝■

=■＝■

=■＝6

（九）對(duì)數(shù)法

對(duì)00型，a∞型（其中a是非零常數(shù)），∞0型等冪指函數(shù)求極限，可以考慮對(duì)數(shù)法。具體如下。

例24.■（tanx）2x（00型）

解：令：y=（tanx）2x ，則lny=2x·ln（tanx）=■

■lny=■■=■■■=■■=0

于是■y=■（tanx）2x=e0=1。

例25.■x■（2∞型）

解：令：y=x■，則lny=lnx■，于是■lny=■■■■■=2。

即■y=■x■=e2。

例26.■（■）x （∞0型）

解：令：y=（■）x，則lny=-x·ln（5x），■lny＝-■■■-■■=0。

即■y＝■＝（■）x=e0=1

（十）極限不存在的情況

1.極限不唯一

例27.■＝（-1）n=1，n取正偶數(shù)-1，n取正奇數(shù)，因極限若存在，則必唯一，可見(jiàn)，該極限不存在。

2.極限為無(wú)窮大

如前面的例7.■■＝∞和例12.■■＝∞，都是極限為無(wú)窮大的情況。

3.震蕩極限

經(jīng)常涉及正弦函數(shù)sinx、余弦函數(shù)cosx、正切函數(shù)tanx、余切函數(shù)cotx等三角函數(shù)及其連續(xù)的混合函數(shù)。

例28.■sin（11x） 和■cos■，當(dāng)x→∞時(shí)，兩者的極限都是震蕩的，不確定的。因此極限也是不存在的。

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［責(zé)任編輯：左蕓］