解析幾何中的對稱問題面面觀

文/李風(fēng)

摘 要：解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，在高考數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位，是高考的重點、熱點和難點，而解析幾何中的對稱問題又是近幾年高考考查的熱點題型。這就要求教師對對稱問題進行適當(dāng)?shù)臍w納、總結(jié)，使學(xué)生對這部分知識有一個較完整、系統(tǒng)的認(rèn)識。介紹解析幾何中常見的三類對稱問題：點關(guān)于點的對稱問題、直線方程中的對稱問題、曲線方程中的對稱問題。

關(guān)鍵詞：解析幾何；對稱問題；高考數(shù)學(xué)

一、點關(guān)于點的對稱問題

點A（x1，y1）與點C（x3，y3）關(guān)于點B（x2，y2）對稱，即點B為點A和點C的中點，且坐標(biāo)滿足x2=■，y2=■.

二、直線方程中的對稱問題

1.求點關(guān)于直線對稱的點的坐標(biāo)

問題：求已知點A（xA，yA）關(guān)于直線l：Ax+By+C=0對稱的點的坐標(biāo)為B（xB，yB）。

求已知點A（xA，yA）關(guān)于直線l：Ax+By+C=0對稱的點的坐標(biāo)為B（xB，yB），其基本思想是根據(jù)直線l是直線AB的垂直平分線，求點B的坐標(biāo)。

解法一：步驟一，根據(jù)AB⊥l，且點A在直線AB上，利用點斜式即可求出直線AB的方程；步驟二，求點A與點B的中點即直線l和直線AB的交點Q；步驟三，根據(jù)點A與點Q即可求出點B的坐標(biāo)。

解法二：步驟一，設(shè)點A與點B的中點為Q（■，■），根據(jù)直線AQ⊥l，且點Q在直線l上，聯(lián)立二元一次方程組即可求出點Q的坐標(biāo)；步驟二，根據(jù)點A與點Q即可求出點B的坐標(biāo)。

備注：上述兩種方法是求點關(guān)于直線對稱點的一般解法，方法一運用了直線的有關(guān)知識，方法二則突出了方程的思想。

2.直線關(guān)于點對稱的直線方程

問題：已知直線l1：A1x+B1y+C1=0，求關(guān)于點A（xA，yA）對稱的直線方程為l2。

解法一：步驟一，設(shè)點P（x，y）為所求直線l2上的任意一點，點P關(guān)于點A對稱的點P′在已知直線l1上，且點P′的坐標(biāo)為（2xA-x，2yA-y）；步驟二，將P′（2xA-x，2yA-y）帶入直線方程l1，即l1：A1（2xA-x）+B1（2yA-y）+C1=0，整理得

A1x+B1y-2A1xA-2B1yA-C1=0

即所求直線方程為A1x+B1y-2A1xA-2B1yA-C1=0。

解法二：因為直線l1、l2關(guān)于點A對稱，所以這兩條直線平行，設(shè)所求直線為l2：A1x+B1y+C2=0。

在已知直線l1上取一點（0，-■），則點（0，-■）關(guān)于A（xA，yA）對稱的點2（xA，2yA+■）在直線l2上，將點2（xA，2yA+■）代入 l2：A1x+B1y+C2=0可求得C2，從而求得l2的直線方程。

注：上述兩種方法是解本題型的常用方法，方法一更具普遍性，此法也可解決其他圖形關(guān)于點對稱的問題；方法二為待定系數(shù)法，它利用了圖形的幾何性質(zhì)，解答本題型較為簡便。

3.直線關(guān)于直線對稱的直線方程

問題：求直線l1：A1x+B1y+C1=0關(guān)于直線l2：A2x+B2y+C2=0對稱的直線方程l3。

解法一：步驟一：聯(lián)立l1、l2的直線方程，求得l1、l2的交點坐標(biāo)點N；步驟二：在l1上取點M（0，-■），則可求得點M（0，-■）關(guān)于l2對稱的點M′；步驟三：因為點N、M都在直線l3，所以由兩點式方程即可求得l3的直線方程。

解法二：設(shè)點P（x，y）為所求直線l3上的任意一點，點P關(guān)于直線l2：A2x+B2y+C2=0對稱的點為P0（x0，y0）在直線l1上，所以A1x0+B1y0+C1=0，kPP0=■，線段PP0的中點M（■，■）。因為點P與P0關(guān)于直線l2對稱，所以■×（-■）=-1A2×■+B2×■+C2=0解得x0、y0分別關(guān)于x、y的表達式，代入直線方程l1中，即可求得l3的直線方程。

備注：解法一和解法二的思想都是將問題轉(zhuǎn)化為求一個點P關(guān)于直線l對稱點P0的問題。

三、曲線中的對稱問題

1.圓關(guān)于直線對稱的圓的方程

因為圓的方程由圓心和半徑即可確定，兩個圓關(guān)于直線對稱，

大小相同，半徑一定相等，所以求圓關(guān)于直線對稱的圓，只需求已知圓的圓心坐標(biāo)關(guān)于直線對稱的點的坐標(biāo)，就是所求圓的圓心，

從而求得所求圓的方程。

2.利用圓的對稱性求圓的方程

若圓上任意一點關(guān)于已知直線的對稱點都在圓上，則此直線一定是圓的直徑，再根據(jù)其他條件即可確定圓的方程。

3.曲線關(guān)于點對稱的曲線方程

問題：已知曲線C1:f（x，y）=0，求關(guān)于點A（xA，yA）對稱的曲線方程為C2。

解題思路：步驟一，設(shè)點P（x，y）為所求曲線C2上的任意一點，點P關(guān)于點A對稱的點P′在已知曲線C1上，且點P′的坐標(biāo)為（2xA-x，2yA-y）；步驟二，將P′（2xA-x，2yA-y）帶入曲線方程C1，即所求的曲線方程為f（2xA-x，2yA-y）=0。

4.曲線關(guān)于直線對稱的曲線方程

問題：已知曲線C1：f（x，y）=0，求關(guān)于已知直線l對稱的曲線方程為C2。

解題思路：步驟一：設(shè)點P（x，y）為所求曲線C2上的任意一點，則點P關(guān)于直線l對稱點P′（x′，y′）在已知曲線C1上；步驟二，將P′（x′，y′）帶入曲線方程C1，即所求的曲線方程為f（x′，y′）=0。

解析幾何中的對稱問題即分為點對稱和直線對稱（軸對稱），

點對稱問題用中點坐標(biāo)公式即可解決，直線對稱（軸對稱）問題可以借助于中垂線，即根據(jù)中點坐標(biāo)公式和斜率關(guān)系可解決。

參考文獻：

［1］胡雄偉.高等職業(yè)院校對口招生考試考前輔導(dǎo)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教材［M］.遠(yuǎn)方出版社，2011.

［2］任志鴻.十年高考分類解析與應(yīng)試策略［M］.南方出版社，2012.

［3］吳偉.解析幾何中關(guān)于對稱問題的一點探討［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 與研究，2008（08）.

［4］王粉霞.與解析幾何中的對稱相關(guān)的問題［J］.教育革新，2008（03）.

［5］張銀歧.解析幾何中“對稱”問題的解法探析［J］.魅力中國，2011（03）.

編輯 郭曉云

endprint

摘 要：解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，在高考數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位，是高考的重點、熱點和難點，而解析幾何中的對稱問題又是近幾年高考考查的熱點題型。這就要求教師對對稱問題進行適當(dāng)?shù)臍w納、總結(jié)，使學(xué)生對這部分知識有一個較完整、系統(tǒng)的認(rèn)識。介紹解析幾何中常見的三類對稱問題：點關(guān)于點的對稱問題、直線方程中的對稱問題、曲線方程中的對稱問題。

關(guān)鍵詞：解析幾何；對稱問題；高考數(shù)學(xué)

一、點關(guān)于點的對稱問題

點A（x1，y1）與點C（x3，y3）關(guān)于點B（x2，y2）對稱，即點B為點A和點C的中點，且坐標(biāo)滿足x2=■，y2=■.

二、直線方程中的對稱問題

1.求點關(guān)于直線對稱的點的坐標(biāo)

問題：求已知點A（xA，yA）關(guān)于直線l：Ax+By+C=0對稱的點的坐標(biāo)為B（xB，yB）。

求已知點A（xA，yA）關(guān)于直線l：Ax+By+C=0對稱的點的坐標(biāo)為B（xB，yB），其基本思想是根據(jù)直線l是直線AB的垂直平分線，求點B的坐標(biāo)。

解法一：步驟一，根據(jù)AB⊥l，且點A在直線AB上，利用點斜式即可求出直線AB的方程；步驟二，求點A與點B的中點即直線l和直線AB的交點Q；步驟三，根據(jù)點A與點Q即可求出點B的坐標(biāo)。

解法二：步驟一，設(shè)點A與點B的中點為Q（■，■），根據(jù)直線AQ⊥l，且點Q在直線l上，聯(lián)立二元一次方程組即可求出點Q的坐標(biāo)；步驟二，根據(jù)點A與點Q即可求出點B的坐標(biāo)。

備注：上述兩種方法是求點關(guān)于直線對稱點的一般解法，方法一運用了直線的有關(guān)知識，方法二則突出了方程的思想。

2.直線關(guān)于點對稱的直線方程

問題：已知直線l1：A1x+B1y+C1=0，求關(guān)于點A（xA，yA）對稱的直線方程為l2。

解法一：步驟一，設(shè)點P（x，y）為所求直線l2上的任意一點，點P關(guān)于點A對稱的點P′在已知直線l1上，且點P′的坐標(biāo)為（2xA-x，2yA-y）；步驟二，將P′（2xA-x，2yA-y）帶入直線方程l1，即l1：A1（2xA-x）+B1（2yA-y）+C1=0，整理得

A1x+B1y-2A1xA-2B1yA-C1=0

即所求直線方程為A1x+B1y-2A1xA-2B1yA-C1=0。

解法二：因為直線l1、l2關(guān)于點A對稱，所以這兩條直線平行，設(shè)所求直線為l2：A1x+B1y+C2=0。

在已知直線l1上取一點（0，-■），則點（0，-■）關(guān)于A（xA，yA）對稱的點2（xA，2yA+■）在直線l2上，將點2（xA，2yA+■）代入 l2：A1x+B1y+C2=0可求得C2，從而求得l2的直線方程。

注：上述兩種方法是解本題型的常用方法，方法一更具普遍性，此法也可解決其他圖形關(guān)于點對稱的問題；方法二為待定系數(shù)法，它利用了圖形的幾何性質(zhì)，解答本題型較為簡便。

3.直線關(guān)于直線對稱的直線方程

問題：求直線l1：A1x+B1y+C1=0關(guān)于直線l2：A2x+B2y+C2=0對稱的直線方程l3。

解法一：步驟一：聯(lián)立l1、l2的直線方程，求得l1、l2的交點坐標(biāo)點N；步驟二：在l1上取點M（0，-■），則可求得點M（0，-■）關(guān)于l2對稱的點M′；步驟三：因為點N、M都在直線l3，所以由兩點式方程即可求得l3的直線方程。

解法二：設(shè)點P（x，y）為所求直線l3上的任意一點，點P關(guān)于直線l2：A2x+B2y+C2=0對稱的點為P0（x0，y0）在直線l1上，所以A1x0+B1y0+C1=0，kPP0=■，線段PP0的中點M（■，■）。因為點P與P0關(guān)于直線l2對稱，所以■×（-■）=-1A2×■+B2×■+C2=0解得x0、y0分別關(guān)于x、y的表達式，代入直線方程l1中，即可求得l3的直線方程。

備注：解法一和解法二的思想都是將問題轉(zhuǎn)化為求一個點P關(guān)于直線l對稱點P0的問題。

三、曲線中的對稱問題

1.圓關(guān)于直線對稱的圓的方程

因為圓的方程由圓心和半徑即可確定，兩個圓關(guān)于直線對稱，

大小相同，半徑一定相等，所以求圓關(guān)于直線對稱的圓，只需求已知圓的圓心坐標(biāo)關(guān)于直線對稱的點的坐標(biāo)，就是所求圓的圓心，

從而求得所求圓的方程。

2.利用圓的對稱性求圓的方程

若圓上任意一點關(guān)于已知直線的對稱點都在圓上，則此直線一定是圓的直徑，再根據(jù)其他條件即可確定圓的方程。

3.曲線關(guān)于點對稱的曲線方程

問題：已知曲線C1:f（x，y）=0，求關(guān)于點A（xA，yA）對稱的曲線方程為C2。

解題思路：步驟一，設(shè)點P（x，y）為所求曲線C2上的任意一點，點P關(guān)于點A對稱的點P′在已知曲線C1上，且點P′的坐標(biāo)為（2xA-x，2yA-y）；步驟二，將P′（2xA-x，2yA-y）帶入曲線方程C1，即所求的曲線方程為f（2xA-x，2yA-y）=0。

4.曲線關(guān)于直線對稱的曲線方程

問題：已知曲線C1：f（x，y）=0，求關(guān)于已知直線l對稱的曲線方程為C2。

解題思路：步驟一：設(shè)點P（x，y）為所求曲線C2上的任意一點，則點P關(guān)于直線l對稱點P′（x′，y′）在已知曲線C1上；步驟二，將P′（x′，y′）帶入曲線方程C1，即所求的曲線方程為f（x′，y′）=0。

解析幾何中的對稱問題即分為點對稱和直線對稱（軸對稱），

點對稱問題用中點坐標(biāo)公式即可解決，直線對稱（軸對稱）問題可以借助于中垂線，即根據(jù)中點坐標(biāo)公式和斜率關(guān)系可解決。

參考文獻：

［1］胡雄偉.高等職業(yè)院校對口招生考試考前輔導(dǎo)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教材［M］.遠(yuǎn)方出版社，2011.

［2］任志鴻.十年高考分類解析與應(yīng)試策略［M］.南方出版社，2012.

［3］吳偉.解析幾何中關(guān)于對稱問題的一點探討［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 與研究，2008（08）.

［4］王粉霞.與解析幾何中的對稱相關(guān)的問題［J］.教育革新，2008（03）.

［5］張銀歧.解析幾何中“對稱”問題的解法探析［J］.魅力中國，2011（03）.

編輯 郭曉云

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摘 要：解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，在高考數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位，是高考的重點、熱點和難點，而解析幾何中的對稱問題又是近幾年高考考查的熱點題型。這就要求教師對對稱問題進行適當(dāng)?shù)臍w納、總結(jié)，使學(xué)生對這部分知識有一個較完整、系統(tǒng)的認(rèn)識。介紹解析幾何中常見的三類對稱問題：點關(guān)于點的對稱問題、直線方程中的對稱問題、曲線方程中的對稱問題。

關(guān)鍵詞：解析幾何；對稱問題；高考數(shù)學(xué)

一、點關(guān)于點的對稱問題

點A（x1，y1）與點C（x3，y3）關(guān)于點B（x2，y2）對稱，即點B為點A和點C的中點，且坐標(biāo)滿足x2=■，y2=■.

二、直線方程中的對稱問題

1.求點關(guān)于直線對稱的點的坐標(biāo)

問題：求已知點A（xA，yA）關(guān)于直線l：Ax+By+C=0對稱的點的坐標(biāo)為B（xB，yB）。

求已知點A（xA，yA）關(guān)于直線l：Ax+By+C=0對稱的點的坐標(biāo)為B（xB，yB），其基本思想是根據(jù)直線l是直線AB的垂直平分線，求點B的坐標(biāo)。

解法一：步驟一，根據(jù)AB⊥l，且點A在直線AB上，利用點斜式即可求出直線AB的方程；步驟二，求點A與點B的中點即直線l和直線AB的交點Q；步驟三，根據(jù)點A與點Q即可求出點B的坐標(biāo)。

解法二：步驟一，設(shè)點A與點B的中點為Q（■，■），根據(jù)直線AQ⊥l，且點Q在直線l上，聯(lián)立二元一次方程組即可求出點Q的坐標(biāo)；步驟二，根據(jù)點A與點Q即可求出點B的坐標(biāo)。

備注：上述兩種方法是求點關(guān)于直線對稱點的一般解法，方法一運用了直線的有關(guān)知識，方法二則突出了方程的思想。

2.直線關(guān)于點對稱的直線方程

問題：已知直線l1：A1x+B1y+C1=0，求關(guān)于點A（xA，yA）對稱的直線方程為l2。

解法一：步驟一，設(shè)點P（x，y）為所求直線l2上的任意一點，點P關(guān)于點A對稱的點P′在已知直線l1上，且點P′的坐標(biāo)為（2xA-x，2yA-y）；步驟二，將P′（2xA-x，2yA-y）帶入直線方程l1，即l1：A1（2xA-x）+B1（2yA-y）+C1=0，整理得

A1x+B1y-2A1xA-2B1yA-C1=0

即所求直線方程為A1x+B1y-2A1xA-2B1yA-C1=0。

解法二：因為直線l1、l2關(guān)于點A對稱，所以這兩條直線平行，設(shè)所求直線為l2：A1x+B1y+C2=0。

在已知直線l1上取一點（0，-■），則點（0，-■）關(guān)于A（xA，yA）對稱的點2（xA，2yA+■）在直線l2上，將點2（xA，2yA+■）代入 l2：A1x+B1y+C2=0可求得C2，從而求得l2的直線方程。

注：上述兩種方法是解本題型的常用方法，方法一更具普遍性，此法也可解決其他圖形關(guān)于點對稱的問題；方法二為待定系數(shù)法，它利用了圖形的幾何性質(zhì)，解答本題型較為簡便。

3.直線關(guān)于直線對稱的直線方程

問題：求直線l1：A1x+B1y+C1=0關(guān)于直線l2：A2x+B2y+C2=0對稱的直線方程l3。

解法一：步驟一：聯(lián)立l1、l2的直線方程，求得l1、l2的交點坐標(biāo)點N；步驟二：在l1上取點M（0，-■），則可求得點M（0，-■）關(guān)于l2對稱的點M′；步驟三：因為點N、M都在直線l3，所以由兩點式方程即可求得l3的直線方程。

解法二：設(shè)點P（x，y）為所求直線l3上的任意一點，點P關(guān)于直線l2：A2x+B2y+C2=0對稱的點為P0（x0，y0）在直線l1上，所以A1x0+B1y0+C1=0，kPP0=■，線段PP0的中點M（■，■）。因為點P與P0關(guān)于直線l2對稱，所以■×（-■）=-1A2×■+B2×■+C2=0解得x0、y0分別關(guān)于x、y的表達式，代入直線方程l1中，即可求得l3的直線方程。

備注：解法一和解法二的思想都是將問題轉(zhuǎn)化為求一個點P關(guān)于直線l對稱點P0的問題。

三、曲線中的對稱問題

1.圓關(guān)于直線對稱的圓的方程

因為圓的方程由圓心和半徑即可確定，兩個圓關(guān)于直線對稱，

大小相同，半徑一定相等，所以求圓關(guān)于直線對稱的圓，只需求已知圓的圓心坐標(biāo)關(guān)于直線對稱的點的坐標(biāo)，就是所求圓的圓心，

從而求得所求圓的方程。

2.利用圓的對稱性求圓的方程

若圓上任意一點關(guān)于已知直線的對稱點都在圓上，則此直線一定是圓的直徑，再根據(jù)其他條件即可確定圓的方程。

3.曲線關(guān)于點對稱的曲線方程

問題：已知曲線C1:f（x，y）=0，求關(guān)于點A（xA，yA）對稱的曲線方程為C2。

解題思路：步驟一，設(shè)點P（x，y）為所求曲線C2上的任意一點，點P關(guān)于點A對稱的點P′在已知曲線C1上，且點P′的坐標(biāo)為（2xA-x，2yA-y）；步驟二，將P′（2xA-x，2yA-y）帶入曲線方程C1，即所求的曲線方程為f（2xA-x，2yA-y）=0。

4.曲線關(guān)于直線對稱的曲線方程

問題：已知曲線C1：f（x，y）=0，求關(guān)于已知直線l對稱的曲線方程為C2。

解題思路：步驟一：設(shè)點P（x，y）為所求曲線C2上的任意一點，則點P關(guān)于直線l對稱點P′（x′，y′）在已知曲線C1上；步驟二，將P′（x′，y′）帶入曲線方程C1，即所求的曲線方程為f（x′，y′）=0。

解析幾何中的對稱問題即分為點對稱和直線對稱（軸對稱），

點對稱問題用中點坐標(biāo)公式即可解決，直線對稱（軸對稱）問題可以借助于中垂線，即根據(jù)中點坐標(biāo)公式和斜率關(guān)系可解決。

參考文獻：

［1］胡雄偉.高等職業(yè)院校對口招生考試考前輔導(dǎo)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教材［M］.遠(yuǎn)方出版社，2011.

［2］任志鴻.十年高考分類解析與應(yīng)試策略［M］.南方出版社，2012.

［3］吳偉.解析幾何中關(guān)于對稱問題的一點探討［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 與研究，2008（08）.

［4］王粉霞.與解析幾何中的對稱相關(guān)的問題［J］.教育革新，2008（03）.

［5］張銀歧.解析幾何中“對稱”問題的解法探析［J］.魅力中國，2011（03）.

編輯 郭曉云

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