收斂性、閉性與拓?fù)淇臻g

李云霞，劉高杰，周 琴

(成都理工大學(xué) 管理科學(xué)學(xué)院，四川 成都 610059)

1 拓?fù)淇臻g和閉集

定義1 設(shè)X 是一個(gè)集合，T 是X 的一個(gè)子集族.如果T 滿足以下條件:

①X，φ ∈T;

②若A，B ∈T，則A ∩B ∈T;

③若T1?T，則∪A∈T1A ∈T.

則稱T 是X 的一個(gè)拓?fù)?

如果T 是集合X 的一個(gè)拓?fù)洌瑒t稱偶對(duì)(X，T)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，或稱集合X 是一個(gè)相對(duì)于拓?fù)銽而言的拓?fù)淇臻g;或者當(dāng)拓?fù)銽 早已約定或在行文中已有說明而無需指出時(shí)，稱集合X 是一個(gè)拓?fù)淇臻g.此外，T 的每一個(gè)元素都稱為拓?fù)淇臻g(X，T)(或X)中的一個(gè)開集.

定義2 設(shè)E ?Rn，如果E 的每一個(gè)聚點(diǎn)都屬于E，則稱E 為閉集.

引理1 設(shè)X 是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A ?X，則A 是一個(gè)閉集當(dāng)且僅當(dāng)A 的補(bǔ)集A' 是一個(gè)開集.

證明

1)必要性.

2)充分性.

設(shè)A'是一個(gè)開集.如果x ∈A'，則A'是x 一個(gè)鄰域，它滿足條件，A' ∩A = φ.因此，xd(A).于是有d(A)?A，即A 是一個(gè)閉集.

定理1 設(shè)X 是一個(gè)拓?fù)淇臻g，記Ψ 為所有閉集構(gòu)成的族，則:

①X，φ ∈Ψ;

②如果A，B ∈Ψ，則A ∪B ∈Ψ，從而如果A1，A2，…，An∈Ψ，n ≥1，則A1∪A2∪…An∈Ψ;

③如果φ ≠Ψ1?Ψ，則∩A∈Ψ1A ∈Ψ.

證明 根據(jù)引理1 有，Ψ = {U' | U ∈T}，其中，T 是X 的拓?fù)?

1)由于X，φ ∈T，所以，

φ = X'，X = φ' ∈Ψ.

2)當(dāng)時(shí)A，B ∈Ψ，有A'，B'∈T，從而A'∩B'∈T.因此，

3)令T1= {A| A' ∈Ψ1}，于是T1?T，因此∪U∈T1U ∈T.從而，

由定理1 知，可用定義閉集的方式來確定拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).

2 收斂性、閉性與拓?fù)淇臻g

2.1 度量空間中的收斂性與閉性

設(shè)(X，d)為度量空間，d 是距離，定義，

為x0的以ε 為半徑的開球，亦稱為x0的ε-鄰域.

設(shè){xn}是(X，d)中的點(diǎn)列，如果存在x ∈X，使則稱點(diǎn)列{xn}是(X，d)中的收斂點(diǎn)列，x 是點(diǎn)列{xn}的極限.類似于Rn，可以證明度量空間中收斂點(diǎn)列的極限是唯一的.

類似于Rn，可以證明度量空間中收斂點(diǎn)列是有界點(diǎn)集.度量空間中閉集也可以用點(diǎn)列的極限來定義.

定理2 M 是閉集的充要條件是M 中任何收斂點(diǎn)列的極限都在M 中，即若xn∈M，n = 1，2，…，xn→x，則x ∈M.

證明 必要性顯然成立.由定義易知M 的每個(gè)聚點(diǎn)都屬于M，從而M 是閉集.

2.2 收斂性和閉集

定義3 設(shè)X 是一個(gè)非空集合，XS是由X 上的所有點(diǎn)列構(gòu)成的集合，若XS× X 的子集S，滿足:對(duì)任意α，β ∈XS，若(α，x)∈S，且β 是α 的子列，則(β，x)∈X，則稱S 是集合X 上的一個(gè)收斂.此時(shí)(α，x)∈S 可稱為點(diǎn)列α 在X 中收斂于x，或稱x 為點(diǎn)列α 的極限，記為

定義4 設(shè)X 是一個(gè)非空集合，S 是集合X 上的一個(gè)收斂，A ?X.若A 中的收斂點(diǎn)列的極限仍屬于A，則稱A 為X 在S 下的閉集.

定理3 設(shè)X 是一個(gè)非空集合，S 是集合X 上的一個(gè)收斂.記Ψ 為X 在S 下的全體閉集構(gòu)成的集族，則:①φ，X ∈Ψ;②若A，B ∈Ψ，則A ∪B ∈Y;③若Ψ1∈Ψ，則F ∈Y.

證明 根據(jù)定義4，得:

1)顯然成立φ ∈Ψ.對(duì)A ?X，若A 中的收斂點(diǎn)列的極限仍屬于A，收斂點(diǎn)列仍在X 中，其極限也屬于X，故有X ∈Ψ.

2)若A，B ∈Ψ，任取A ∪B 中的點(diǎn)列{xn}其收斂于x，則其在集合A 中{xn}的子列也收斂于x，由于A 是閉集，故x ∈A;在集合B 中{xn}的子列也收斂于x，由于B 是閉集，故x ∈B;從而x ∈A ∪B，于是A ∪B ∈Ψ.

3)任取F 中的點(diǎn)列{xn}，其收斂于x，由于F 是閉集有x ∈F，又因?yàn)閧xn}?F，所以{xn}F.于是由x ∈F 可得因此

定理4 記TS= {U ?X| U'∈Ψ}，則TS是X上的一個(gè)拓?fù)?

證明 Ψ 滿足定理3 的3 個(gè)條件，故TS滿足定義1 的3 個(gè)條件，因而TS是X 上的一個(gè)拓?fù)?

定理4 說明，由集合X 上的收斂S 可賦予X 一個(gè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)TS.

例1 設(shè)X 是一個(gè)平庸空間，XS是由X 上的所有點(diǎn)列構(gòu)成的集合，取S = XS× X，易知S 是X 上的一個(gè)收斂，由定義4 可知平庸空間X 也是個(gè)閉集，從而平庸空間X 上的收斂S 賦予X 一個(gè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，稱之為平庸拓?fù)?

例2 設(shè)X 是一個(gè)離散空間，XS是由X 上的所有點(diǎn)列構(gòu)成的集合，由于X 中的每個(gè)集合都是開集，即有A ?X，A'?X.根據(jù)引理1 知，A 是閉集.從而令S = {({xn}，x)}存在M ∈Z+，使得當(dāng)n ＞M 時(shí)，有xn≡x}，易知S 是X 上的一個(gè)收斂，由定義4 可知離散空間X 也是個(gè)閉集，從而離散空間X 上的收斂S賦予了X 一個(gè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，稱之為離散拓?fù)?

定義5 設(shè){xi}i∈Z+是拓?fù)淇臻g(X，T)中的一個(gè)序列，x ∈X.如果對(duì)于x 的每一個(gè)領(lǐng)域U，存在M∈Z+使得當(dāng)i ＞M 時(shí)有xi∈U，則稱點(diǎn)x 是序列{xi}i∈Z+在拓?fù)銽 下的一個(gè)極限點(diǎn)(或極限)，也稱為序列{xi}i∈Z+收斂于x，記作

如果序列至少有一個(gè)極限，則稱這個(gè)序列是一個(gè)收斂序列.

需要指出的是，(X，TS)中的S 收斂與TS收斂可能不一致.

例3 設(shè)X 是一個(gè)不可數(shù)集，T 是X 上的可數(shù)補(bǔ)拓?fù)?可以證明X 中的一個(gè)點(diǎn)列{xn}拓?fù)銽 收斂于x的充要條件是，存在M ∈Z+使得當(dāng)i ＞M 時(shí)xi= x.若X 上的拓?fù)銽 是X 上的某個(gè)收斂S 確定的拓?fù)?即，存在X 上的收斂S，使得TS= T.

可證，X 上的點(diǎn)列{xn}的T 收斂與S 收斂一定不一致.這是因?yàn)椋魞煞N收斂是一致的，則由上述定義知，{xn}S 收斂于x，當(dāng)且僅當(dāng)，存在M ∈Z+使得當(dāng)i ＞M 時(shí)xi= x.而(X，TS)(= (X，T))中的子集A 是閉集，當(dāng)且僅當(dāng)，若{xn}?A，并且{xn}S 收斂于x，則必有x ∈A.

因?yàn)門S= T，即TS是可數(shù)補(bǔ)拓?fù)洌蕦?duì)于A 真包含于X:A 是閉集，當(dāng)且僅當(dāng)，A 是可數(shù)集.取B 是X 的一個(gè)真子集且不可數(shù)，則B 不是閉集.但另一方面，對(duì)于{xn}?B 有{xn}S 收斂于x，則存在M ∈Z+使得當(dāng)i ＞M 時(shí)xi= x，于是x ∈B，故B 是(X，TS)中的閉集，矛盾.從而證明了X 上的點(diǎn)列{xn}的T 收斂與S 收斂一定不一致.

2.3 實(shí) 例

用S 收斂來確定拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，即所謂的基本函數(shù)空間R(Rn).

對(duì)于n 維Euclid 空間Rn中的點(diǎn)x = (x1，x2，…，xn)，記設(shè)p1，p2，…，pn為個(gè)非負(fù)整數(shù)，多重指標(biāo)p 是指如下的有序n-數(shù)組p = (p1，p2，…，pn)，記| p| = p1+ p2+ … + pn.對(duì)于每個(gè)多重指標(biāo)p，引進(jìn)偏微分算子，

設(shè)φ 為定義在Rn上的函數(shù)，稱集合{x:φ(x)≠0}的閉包為φ 的支集，記為suppφ.

設(shè)φ 為定義有Rn上的函數(shù)，稱Dpφ(如果存在)為φ 的p 階偏導(dǎo)數(shù).如果pj= 0，則表示不對(duì)xj求偏導(dǎo)數(shù).如果所有的pj= 0(j = 1，2，…，n)，表示不求任何偏導(dǎo)數(shù).Rn上無限次可微復(fù)值函數(shù)的全體為C∞(Rn).C∞(Rn)中具有緊支集的函數(shù)的全體記為R(Rn).容易看出，C∞(Rn)、R(Rn)按照通常函數(shù)的線性運(yùn)算都是復(fù)線性空間.

定義6 設(shè){φm}?C∞(Rn)(m = 1，2，3，…)，φ ∈C∞(Rn).如果對(duì)Rn中的任一緊子集K 以及任一多重指標(biāo)p，{Dpφm}在K 上一致收斂于Dpφ，則稱{φm}在C∞(Rn)中收斂于φ，記為

定義7 設(shè){φm}?C∞(Rn)(m = 1，2，3，…)，φ ∈R(Rn).如果滿足:

①存在Rn的緊子集K，使得對(duì)這一切m = 1，2，3，…，有suppφm?K;

②對(duì)任一多重指標(biāo)p，{Dpφm}在Rn上一致收斂于Dpφ.

則稱{φm}在R(Rn)中收斂于φ，記為，{φm}而稱R(Rn)按照所規(guī)定的線性運(yùn)算及收斂概念為一基本函數(shù)空間.

易知，(R(Rn)，TS)不僅是拓?fù)淇臻g，而且是線性空間，以及其上的線性運(yùn)算在拓?fù)銽S下是連續(xù)的，因而其是拓?fù)渚€性空間.

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