基于tikhonov正則化的圖像恢復(fù)

張睿，靳彥培，裴巧

（河南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南信陽(yáng)464000）

基于tikhonov正則化的圖像恢復(fù)

張睿，靳彥培，裴巧

（河南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南信陽(yáng)464000）

圖像恢復(fù)問(wèn)題一直伴隨著數(shù)字圖像技術(shù)的不斷發(fā)展而發(fā)展.近年來(lái)圖像復(fù)原的應(yīng)用范圍已經(jīng)擴(kuò)展到眾多的科學(xué)和技術(shù)領(lǐng)域，如天文觀(guān)測(cè)，物質(zhì)研究，遙感圖像，醫(yī)學(xué)影像等.解反問(wèn)題的正則化方法與最優(yōu)化理論相結(jié)合可以在數(shù)字圖像恢復(fù)中有很大的應(yīng)用.本文首先介紹成像系統(tǒng)基本概念和理論，通過(guò)圖像退化模型退化，然后采用基于tikhonov正則化方法，通過(guò)用CG最優(yōu)化方法以及直接解正則方程組進(jìn)行對(duì)圖像進(jìn)行恢復(fù)，最后通過(guò)數(shù)值試驗(yàn)進(jìn)行圖像恢復(fù)并簡(jiǎn)單比較兩種方法圖像處理的差異.

狄拉克δ；函數(shù)圖像退化模型；BTTB矩陣構(gòu)造；退化算子；tikhonov正則化；CG最優(yōu)化方法

1 引言

數(shù)字圖像恢復(fù)是圖像處理的一個(gè)重要分支，它屬于反問(wèn)題的研究領(lǐng)域.其處理過(guò)程有許多方法，例如小波變換、傅里葉變換、Cosine變換等.而解反問(wèn)題的正則化方法與最優(yōu)化理論相結(jié)合可以在數(shù)字圖像恢復(fù)中有很大的應(yīng)用.本文采用基于tikhonov正則化方法，通過(guò)用CG最優(yōu)化方法，以及直接解正則方程組進(jìn)行對(duì)圖像進(jìn)行恢復(fù)，然后再進(jìn)行比較，數(shù)值顯示正則化方法是一種可靠有效的方法.

2 預(yù)備知識(shí)

2.0 成像系統(tǒng)

點(diǎn)源的概念：一幅圖像可以看成由無(wú)窮多個(gè)極小的像素組成，每個(gè)像素可以看作為一個(gè)電源成像，因此，一幅圖像也可以看成由無(wú)窮多點(diǎn)源形成的，在數(shù)學(xué)上，點(diǎn)源可以用狄拉克δ函數(shù)表示.二維δ函數(shù)可定義為

且滿(mǎn)足

它的一個(gè)重要特性為采樣特性即：

另一個(gè)特性為位移性：

2.1 圖像退化模型

假定成像系統(tǒng)H是線(xiàn)性位移不變系統(tǒng)，則f(x,y)表示理想的、沒(méi)有退化的圖像，獲取的圖像g(x,y)表示為退化的圖像.則有以下關(guān)系：

若受加性噪聲n(x,y)的干擾，則退化圖像可以表示為這就是線(xiàn)性位移不變系統(tǒng)的退化模型（如圖1所示）.

圖1

2.2 連續(xù)圖像退化的數(shù)學(xué)模型

在不考慮噪聲情況下，連續(xù)圖像經(jīng)過(guò)退化系統(tǒng)H后輸出：

由于H為線(xiàn)性系統(tǒng)且為空間不變系統(tǒng)所以有：

令

則

這里h(x-α,y-β)為退化系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，或叫系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)函數(shù).只要知道退化系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，就可以計(jì)算出降質(zhì)的圖像輸出.

2.3 離散圖像退化模型

為便于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，需將退化模型離散化.

2.3.1 先看一維卷積

對(duì)f(x)及h(x)均勻采樣，樣本M-1，即

f(x)x=0,1,...,M-1

其卷積為

把f(x)、g(x)表示成向量形式：

卷積寫(xiě)成矩陣的形式：

其中H是M*M的矩陣.

H為toeplitz矩陣.

2.3.2 推廣到二維空間

設(shè)f(x,y)、h(x,y)均勻采樣，樣本數(shù)為M*N，M*N.

則循環(huán)卷積為

矩陣形式：g=Hf

f、g是MN維向量，H是MN×MN矩陣.

H是BTTB矩陣.

其中

2.3.3 n是MN維噪聲向量，則退化模型

3 BTTB矩陣的構(gòu)造

3.1 kronecker積的定義

顯然，A?B是一個(gè)m12×n12的矩陣.

3.2 kronecker積的性質(zhì)

若A、B分別為toeplitz矩陣則kronecker積為BTTB矩陣.

3.3 構(gòu)造高斯退化算子

由于高斯分布函數(shù)為

且

算子k的有限維近似可由對(duì)k1，k2的有限維近似并且作kronecker積得到.

4 正則化方法

4.1 目標(biāo)

我們要做的事在知道退化算子H，知道圖像g以及噪聲類(lèi)型的情況下，來(lái)反解出f，其近似解為.

其模型為：

4.2 用到的技術(shù)

4.2.1 tikhonov正則化

等價(jià)于

⑵轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問(wèn)題.

4.2.2 共軛梯度求最小化

①給定初始點(diǎn)x0，計(jì)算p0=-▽f(x0)；置k=0；

②作直線(xiàn)搜索f(xk+tkpk)=minf(xk+tpk)；

④計(jì)算

⑤置k=k+1；若k=n，停止，輸出xk-1,否則轉(zhuǎn)②

4.3數(shù)值實(shí)驗(yàn)

下面對(duì)一張像素分別為70*70，40*40,30*30（70*70為最大極限尺寸）的圖片分別用兩種方法做實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了比較，第一種方法用的是CG對(duì)（2）進(jìn)行求極小值（每個(gè)共軛方向只搜索了一次結(jié)束），第二種是對(duì)正則化得方程（1）進(jìn)行直接求解，并且分別對(duì)α取不同的值進(jìn)行誤差比較，及觀(guān)察其誤差趨勢(shì).如下圖所示：

像素為70*70的結(jié)果

圖像為40*40的結(jié)果

像素為30*30的結(jié)果

其中，圖第一子圖為原圖片，第二子圖為退化后的圖像（這里我們?nèi)ˇ?=1.7），第三子圖為用共軛梯度法求出的結(jié)果，第四子圖為是對(duì)正則化得方程進(jìn)行直接求解得到的圖像.

5 恢復(fù)誤差的評(píng)估

首先定義誤差公式為：

其中f為真解，f?是求得的近似解.則有下表知

70*70圖像40*40圖像30*30圖像cond值5.0545e+011 3.3254e+011 2.0448e+011 CG法誤差值0.0710 0.1280 0.1494直接法誤差值0.1162 0.1003 0.0940

有表格分析知，在問(wèn)題不是很病態(tài)時(shí)直接法誤差小些（α取最優(yōu)值），當(dāng)圖像像素多、問(wèn)題更病態(tài)時(shí)CG法好一些. 6參數(shù)選取與誤差的關(guān)系

由下圖分析可知，對(duì)于α的取值不同他們分別的誤差也不同，CG方法做出來(lái)的基本上是隨α值減小而減小，而直接解正則后的方程組（1）得到的誤差是隨著α值增加過(guò)程，誤差先減小后增加，有一個(gè)最優(yōu)解（70*70時(shí)間太長(zhǎng)就不分析了）.

像素為40*40的圖像

像素為30*30的結(jié)果

7 結(jié)論

對(duì)于tikhonov正則化方法，求解不適定問(wèn)題比只要對(duì)α選取好參數(shù)，就可以反演出較好的解.

〔1〕姚敏，等.數(shù)字圖像處理[M].機(jī)械工業(yè)出版社，2006.1.

〔2〕（美）Rafael C.Gonzalez,Richard E.W oods.數(shù)字圖像處理（第二版）[M].北京：電子工業(yè)出版社，2005.

〔3〕肖庭延，于慎根，王彥飛.反問(wèn)題的數(shù)值解法（計(jì)算方向叢書(shū)）[M].北京：科學(xué)出版社，2003.

〔4〕張平文，李鐵軍.數(shù)值分析[M].北京大學(xué)出版社，2007.

〔5〕曹靜杰.反問(wèn)題的最優(yōu)化方法研究及其在圖像恢復(fù)中的應(yīng)用[D].北京交通大學(xué)，2008.

TP391

A

1673-260X（2014）05-0013-03