生活中的小概率事件

于海杰

生活中的小概率事件

于海杰

（赤峰學院 初等教育學院，內蒙古 赤峰 024000）

小概率事件原理是概率論中一個簡單、基本但卻很有實用價值的原理，本文通過幾道例題簡單介紹了這一原理在現實生活中的應用，體現了概率就在我們身邊，突出了數學的實用性.

小概率事件；小概率原理；應用

1 小概率定義

在概率論中，我們把概率很接近于0，即在大量的重復試驗中出現的頻率非常低的事件稱為小概率事件.在統計學理論中對于小概率事件的概率值沒有具體的規定，這要根據具體情況而確定，一般多采用0.01、0.005這兩個值：即事件發生的概率在0.01或0.005以下的事件稱為小概率事件.

2 小概率原理

小概率事件是事件發生的概率很小，在一次試驗中不會發生，當試驗次數無限增多時，小概率事件將會發生，下面的定理將說明這一事實.

貝努利大數定律：在n次獨立重復試驗中，記事件A發生的次數為nA.P是事件A發生的概率.則對于任意正數ε<0，有成立.

證明 利用切比雪夫不等式.因nA~b(n,p)，故：

用更簡單的語言解釋：在隨機試驗中，設事件A出現的概率為p，設Ak表示“A在第k次試驗中出現”，則P(Ak)=p，，在前n次相互獨立的試驗中A一次都不出現的概率為，則在前n次相互獨立的試驗中A至少出現一次的概率為，無論p多么小（只要不為零），只要這個實驗一直做下去，即當n→∞時，Pn→1，這說明事件A遲早會出現，即小概率事件遲早會發生.

我們常說“只要功夫深，鐵杵磨成針”，“寶劍鋒從磨礪出，梅花香自苦寒來”，這些富有哲理的話都蘊涵著深刻的概率道理.

3 小概率事件原理應用

如果一個事件發生的概率很小，那么在一次試驗中，實際上可把它看成不可能事件.小概率事件原理的推斷方法是概率性質的反證法，小概率事件在一次試驗中實際上是不可能發生的，如果在一次試驗中，某個小概率事件竟然發生了，那么就認為這是一種反常現象.

例1 某接待站在某一周曾接待12次來訪，（1）若所有這12次接待都是在周二和周四進行的，問是否可以推斷接待時間是有規定的？（2）若這12次訪問沒有一次是在星期日,是否可以斷言周日接待站根本不會接待來訪？

解 （1）假設接待站的接待時間沒有規定，而各來訪者在一周的任意一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待來訪者都在周二、周四的概率為

概率很小的事件在一次試驗中竟然發生了，因此有理由懷疑假設的正確性，從而推斷出接待站不是每天都接待來訪者的，即認為其接待時間是規定的.

這并非是小概率事件，因此不能斷言接待站周日不接待來訪.

例2 一位音樂專家聲稱，他可以由海頓或莫扎特的一頁樂譜看出作者是海頓還是莫扎特.做了10次試驗，他每次都正確.問該音樂專家的聲稱是否可信？

解 假設該音樂專家的聲稱不可信，即純粹是靠運氣猜對的，那么每次成功(猜對)的概率為.于是，10重伯努利試驗中全部成功的概率為

發生的可能性不到千分之一的事件居然在一次試驗中發生了，由小概率事件原理知，人們有理由懷疑“該音樂專家的聲稱不可信”這一假設的正確性，因而可斷言音樂專家的聲稱是可信的.

例3把C、C、E、E、I、N、S七個字母分別寫在七張同樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒中，現從盒中任意一張一張地將卡片取出，并將其按取到的順序排成一列，假設排列結果恰好拼成一個英文單詞：SCIENCE.問：在多大程度上認為這樣的結果是奇怪的，甚至懷疑是一種魔術？

解 七個字母的排列總數為7!，拼成英文單詞SCIENCE的情況為2×2=4，故該結果出現的概率為

這個概率很小，是小概率事件.這樣的小概率事件在一次抽卡的試驗中發生了，人們有比較大的把握懷疑這是魔術.具體地說，可以99.9%的把握懷疑這是魔術.

例4 在10萬張彩券中有10張一等獎，某人隨機抽出3張，問這3張全中獎的可能性.

解 設A表示“3張全中獎”，Ak表示“第K次中獎”，K=1,2,3，則

不用計算即可知，這是一個概率接近于零的事件即小概率事件，所以3張不可能同時中獎，若3張全中獎，則是不正常現象.

由上可得，每個人買一張彩票中頭等獎的概率很小，是小概率事件，但當買的人數增多時，一定會有人中大獎的，故買彩票需要一顆平常的心.同時這也解釋了為什么有那么多人在購買彩票.

例6 某人壽保險公司有3000個同意年齡階層的人參加保險，在每一年內每個人死亡的概率為0.1%，參加保險的人在1月1日交10元保險費，而在他在這一年內死亡時家屬可從保險公司領取2000元.求保險公司虧本的概率.

解 設一年中死亡人數為X，則保險公司每年收入為300×10=30000（元），付出為2000X元，“把參加保險公司的每個人在該年是否死亡”看作一個隨機試驗，3000個人參加試驗就相當于3000重貝努力試驗，即X~b(3000,0.001)，λ=3000×0.001=3，設事假A表示“保險公司虧本”，則

根據棣莫佛---拉普拉斯定理有：

所以P(A)=1-0.9582=4.18%，即保險公司虧本的概率是4.18%.

由本例題可以看出，保險公司實際上是應用了小概率事件原理，其虧本的概率其實是極低的.但這并不意味著勸大家不要買保險，我們要根據自己的實際情況和意愿決定自己是否需要買保險.

例7 每袋味精的凈重為隨機變量，平均重量為100克，標準差為10克.一箱內裝200袋味精，求一箱味精的凈重量大于20500克的概率？

解 設箱中第i袋味精的凈重為Xi，則Xi為獨立同分布，且E(Xi)=100，Var(Xi)=100，由中心極限定理得，所求概率為：

一箱味精的凈重量大于20500克的概率為0.0002.

注意：這是小概率事件，也就是說一箱味精在出廠時，基本都是20000克左右，不會多500克的，這也就意味著商家是不會多給買家鹽的.

例8 某十字路口有大量汽車通過，假設每輛汽車在這里發生交通事故的概率為0.001，若每天有1000輛汽車通過這個十字路口，求發生交通事故的次數不少于1的概率？

解設X為發生交通事故的次數，則X~b(1000,0.001)，由泊松定理知，它可近似于參數為λ=1000×0.001=10的泊松分布，查泊松分布表得

P(X≥1)=1-P(X=0)≈1-0.000045=0.999955≈1.

每輛汽車發生交通事故雖是小概率事件,但若每天有1000輛汽車通過這個十字路口時,發生交通事故幾乎是不可避免的(概率接近于1)，這必須引起人們的注意！所以人們在過十字路口時最好遵守交通法則！

這里僅列舉了幾個小概率事件原理在現實生活中的應用，這體現了概率就在我們身邊，數學就在我們身邊.事實上，盡管小概率原理在概率中并不占有多么重要的地位，但小概率事件應用廣泛，不僅是我們統計學中假設檢驗的理論依據，還是我們解決概率論中很多生活問題的理論依據.小概率事件原理常常不經意間指導著人們的實際生活，如在彩票中獎問題中明知中獎的概率不大，但人們還是經常去買彩票.所以說小概率事件原理是概率論的精髓，是統計學存在和發展的理論基礎.

在概率論的教學中，作為教師的我們要結合生活實際，積累素材，用概率論中的相關知識解決、解釋生活中的問題，使學生體會到概率不僅僅是運算，它還能解決、解釋生活中的很多問題，使學生體會到數學是有用的，以此激起學生們的學習興趣，探知欲望！

〔1〕張朝霞，吳杰．日常生活中的小概率事件[J]．太原師范學院學報，2006(4)．

〔2〕代恩華．小概率事件原理及其應用[J]．高等函授學報，2010（2）．

〔3〕華東師范大學數學系．概率論與數理統計習題集[M]．北京：高等教育出版社，2005．

〔4〕王松桂，等．概率論與數理統計[M]．北京：科學出版社，2002.

〔5〕盛驟，等．概率論與數理統計[M]．北京：高等教育出版社，2010.

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1673-260X（2014）10-0009-02