Feigenbaum吸引子的動力性質(zhì)

汪 威，朱曉剛，李俊杰，李 健，廖夢蘭

(1.吉林農(nóng)業(yè)大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院，吉林 長春 130118；2.長春工程技術(shù)學(xué)院，吉林 長春130117；3.吉林大學(xué)數(shù)學(xué)研究所，吉林 長春 130012)

Feigenbaum吸引子的動力性質(zhì)

汪 威1，朱曉剛2，李俊杰1，李 健1，廖夢蘭3

(1.吉林農(nóng)業(yè)大學(xué)信息技術(shù)學(xué)院，吉林 長春 130118；2.長春工程技術(shù)學(xué)院，吉林 長春130117；3.吉林大學(xué)數(shù)學(xué)研究所，吉林 長春 130012)

闡述了一類非單谷的Feigenbaum映射的一些主要性質(zhì)，通過與進位系統(tǒng)建立拓撲共軛關(guān)系，證明了該映射限制在其吸引子上具有簡單的動力性質(zhì)，即極小的、唯一遍歷的、拓撲熵為零.

Feigenbaum映射；拓撲共軛；進位系統(tǒng)

1 預(yù)備知識

Feiganbaum現(xiàn)象的研究涉及很多農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的實際問題，如物種之間的時滯影響，玉米病蟲害的分析，神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的研究等等.動力系統(tǒng)中關(guān)于Feigenbaum現(xiàn)象的研究主要是針對其解進行的探討.近些年來，國內(nèi)外很多學(xué)者都以不同方式對該方程的解的存在性及性態(tài)進行了研究[1-4].

1984年，J.P.Eckmann等人在文獻[5]中引入了p-階Feigenbaum函數(shù)方程

(1)

其中f(x)是閉區(qū)間[0，1]上的連續(xù)自映射，fp(x)是f(x)的p次迭代.

本文所涉及的Feigenbaum函數(shù)方程如下：

(2)

文獻[6]給出了該方程的解與方程(1)的解之間有著非常直接的聯(lián)系，并構(gòu)造了該方程的可微偶單峰解.

定義1.1[6]設(shè)g為閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)自映射.如果存在α∈(a，b)，使得g在區(qū)間[a，α]上嚴格單調(diào)遞減，在區(qū)間[α，b]上嚴格單調(diào)遞增，則稱g(x)是單谷的.

以下敘述中，我們用符號I表示區(qū)間[0，1].

定義1.2[6]設(shè)g為閉區(qū)間I上的連續(xù)自映射.如果g是方程(1.2)的解，并且滿足g(0)=1，以及限制映射g|[λ，1]是單谷的，則稱g為p-階Feigenbaum映射.

如果g本身不是單谷的，則稱Feigenbaum映射g是非單谷的.

引理1.1[7]令g0為區(qū)間[λ，1]上的連續(xù)自映射，其中λ∈(0，1)，令p≥2為整數(shù).如果：

(1) 存在α∈(λ，1)，使得g0(α)=0，并且g0|[λ，α]嚴格遞減，g0|[α，1]嚴格遞增.

(3) 存在α0∈[α，1)使得：

(b) 記J1=[α0，1]以及Ji=gi-1(J1)對任意i∈[1，p-1]，J1，J2，…，Jp-1?(λ，1]是兩兩不交的；

則存在唯一的p-階非單谷的Feigenbaum映射，使得限制映射g|[λ，1]=g0.

反之，如果g0是p-階非單谷的Feigenbaum映射在區(qū)間[λ，1]上的限制，則g0必滿足條件(1)—(4).

2 進位映射

設(shè)S={0，1，2，…，p-1}是由p個不同符號組成的狀態(tài)空間，并且具有離散拓撲使其成為一個緊致拓撲空間.

令

Σp={x=x0x1x2…|xi∈S，i=0，1，2，…，p-1}.

定義2.1 設(shè)ρ:Σp×Σp→R，為對任意(x，y)∈Σp×Σp，如果x=x0x1…，y=y0y1…，那么

則ρ是Σp上的度量.

于是(Σp，ρ)構(gòu)成了緊致度量空間[7]，我們把它稱作p-單邊符號空間.

在(Σp，ρ)上引進加法運算

取Σp中任意兩點x=x0x1…，y=y0y1…，將x+y=(z0，z1，z2，…)定義為：

如果x0+y0

如果x0+y0≥p，則z0=x0+y0-p，在下一位上加1.

3 Feigenbaum吸引子的存在性

有關(guān)吸引子的定義有很多，本文使用的是J.Milnor在文獻[8]中針對緊致流形的連續(xù)映射所給出的定義.

設(shè)M為緊致流形(可能帶邊)，f:M→M連續(xù).

定義3.1[8]如果A的不變閉子集Λ(f)吸引A中幾乎所有的點(Lebesgue測度下)，則稱Λ(f)是f的一個吸引子.也就是說，A中去掉一個Lebesgue測度為零的子集外，余下的任意x∈M，都有ω(x，f)?Λ(f).

令f為p-階非空谷的Feigenbaum映射，并且存在α∈(λ，1)，使得f(α)=0.

令g=f|[α，1]，如果f在區(qū)間[λ，α]和[α，1]上一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并且滿足在區(qū)間[λ，α]上f′(x)<-(p-1)，在區(qū)間[α，1]上f′(x)≥1(這里f′(x)表示f對x的導(dǎo)數(shù)，如果x是閉區(qū)間的某個端點，則f′(x)表示f(x)在該點的左導(dǎo)數(shù)或右導(dǎo)數(shù)).

令

Jp=[0，λ]，Ji=fi(Jp).

因為f為p-階非空谷的Feigenbaum映射，所以由引理1.1可推出Ji?[α，1]對任意1≤i≤p-1都成立.

定義

φi:I→I，

φp(x)=λx，

φi(x)=g-(p-i)(φp(x))，i=1，…，p-1，

那么對任意i=1，2，…，p-1，上述定義φi均為壓縮映射.

設(shè)

由引理1.1可知，對所有i，φi(I)=Ji，并且J1，J2，…，JP是兩兩不交的.因此，φ滿足開集條件[9].由文獻[9]中引理2.1和引理2.2可知，存在非空緊子集E，使得

φ(E)=E，

并且

s≤dimE≤t，

其中

以下我們將φi1°φi2°…°φik簡記為φi1i2…ik.

引理3.1[9]對任意的x∈I，都有下列等式成立：

f°φp(x)=φ1°f(x)，

f°φi(x)=φi+1(x)，i=1，…，p-1.

引理3.2[9]記φi1，…，ik(I)和φj1，…，jk(I)為I的任意子集，則存在n>0，使得

fn°φi1，…，ik=φj1，…，jk(I).

引理3.3[9]E是f的吸引子.

4 Feigenbaum吸引子的性質(zhì)

定理4.1 f|E拓撲共軛于p-進位系統(tǒng)τ.

證明 根據(jù)φ的定義

φi(I)兩兩相交，對任意k>0，用φi1i2…ik作用等式兩端，可得

是一無交并.于是，集合{φi1…ik(I)}中的任意兩個元素不相交，或其中一個包含另外一個.因此，由引理3.1及

可知，對于任意

若令

另一方面，如果令δk>0表示pk個區(qū)間φb1…bk(I)中任意的兩個集合間的最小距離，那么，當x∈φα(I)，y∈φβ(I)以及|x-y|<δ時，便有ρ(α，β)

由于拓撲共軛的系統(tǒng)具有相同的動力性質(zhì)，并且已知進位映射是極小的、唯一遍歷的，并且拓撲熵為零，所以可以直接得出f在其吸引子E上的動力性質(zhì).

推論4.1f|E是極小的、唯一遍歷的，并且拓撲熵為零.

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(責任編輯：陶 理)

Dynamical properties for Feigenbaum’s attractors

WANG Wei1，ZHU Xiao-gang2，LI Jun-jie1，LI Jian1，LIAO Meng-lan3

(1.Information Technology College，Jilin Agricultural University，Changchun 130118，China；2.The Institute of Changchun Engineering Technology，Changchun 130117，China；3.Institute of Mathematics，Jilin University，Changchun 130012，China)

In this paper，we introduce some important properties of a kind of non-univallecular Feigenbaum’s map. By proving that Feigenbaum’map is topologically conjugate to adic map，we have concluded that Feigenbaum’map is minimal，strictly ergodic and has 0 topological entropy.

Feigenbaum’map；topological conjugate；adic system

1000-1832(2014)04-0048-04

10.11672/dbsdzk2014-04-008

2014-07-02

吉林省科技發(fā)展計劃項目(20140204045NY，20130522110JH);吉林農(nóng)業(yè)大學(xué)科研啟動基金資助項目(201310)；吉林省教育廳“十二五”科學(xué)技術(shù)研究項目(2014第468號)；2014年度吉林農(nóng)業(yè)大學(xué)本科生科技創(chuàng)新基金資助項目.

汪威(1981—)，女，博士，講師，主要從事拓撲動力系統(tǒng)研究.

O 189 [學(xué)科代碼] 110·31

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