基于數理統計的高精度CO2傳感器校正方法

侯 明 張天儀 王 潔 張 健

(北京信息科技大學 a.自動化學院；b.理學院；c.經管學院，北京 100192)

CO2排放監測對于控制和改善全球溫室氣體效應有重要意義。在研究一種火電廠CO2排放計量系統時，需要檢測一個內徑較大氣道內的CO2濃度，以計算其排放量。在氣道內安置了多個采樣吸嘴構成陣列以提高計量精度。單個傳感器的濃度測量值是基本測量數據，其精度直接影響計量準確度。本項目中應用了一種新型超低功耗CO2傳感器，需要對傳感器進行實證測試，驗證其精度，并進行校準。在大量的傳感器校準過程中，希望能夠根據較少的采樣點得出理想的曲線[1]，以節省時間、提高效率。筆者就插值節點的選取進行了研究，為了獲得更高的精度，嘗試使用Kalman濾波與統計分布相結合的方法，并通過實驗驗證了該方法的有效性。

1 CO2濃度采樣裝置和數據采集方法①

在氣體混合檢測系統(圖1)中通入不同流速比的空氣與CO2，可得出不同的CO2體積百分比，用標準儀測量氣缸中的百分比濃度。將數字傳感器節點置于氣缸中，通過串口將數據傳至PC機的Matlab監控端，并把讀取的數據進行存儲與分析。在檢測范圍內(0%～100%)按增量方式調節流量計為15種開度，其精確濃度由校準儀表測得。氣缸內CO2濃度穩定后，傳感器節點采樣2 000個點進行后續分析。

采樣濃度因手動流量計的精度所限，不能保證等間隔，每次設定都存在一定的隨機性，表1列出一次實驗中的濃度值，并以此做校正。

圖1 氣體混合檢測系統

表1 一次實驗采集的CO2濃度 %

當標準儀表穩定在50.3%時以Z作為一組數據，通過對Z進行卡爾曼濾波處理得到另外一組數據[2]。在后續的曲線擬合中會對兩種方式取得的采樣值分別進行擬合，以對比擬合效果，同時說明期望值作為插值節點更能逼近理想曲線。

當氣體濃度穩定時，把氣缸看成一個系統，構建Kalman濾波方程：

X(k|k-1)=AX(k-1|k-1)+BU(k)

(1)

P(k|k-1)=AP(k-1|k-1)A′+Q

(2)

X(k|k)=X(k|k-1)+Kg(k)[Z(k)-HX(k|k-

1)]

(3)

Kg(k)=P(k|k-1)H′/[HP(k|k-1)H′+R]

(4)

P(k|k)=[I-Kg(k)H]P(k|k-1)

(5)

由于穩態過程中V%|k1=V%|k2，狀態變量只有一個，所以選取狀態系數A=1。由于氣缸內沒有氣體交換，所以U(k)=0。由于協方差的初始值會影響系統的收斂性，這里P(0|0)=5。由于傳感器的輸出即濃度，所以狀態方程的參數H=1。Q與R矩陣要依據具體的實驗環境來測量獲得。由于在數據采集時為氣體的穩態值，環境相對穩定，沒有諸如突然增加或減少氣體濃度的情況，這里用方差較小的隨機數替代。通過對采集的數據進行處理，得到的數據融合結果如圖2所示。通過分析兩組數據的概率分布特征和平滑效果可以看出，經過卡爾曼濾波后的數據效果更好。

圖2 卡爾曼濾波前、后穩態數據曲線

2 求取插值節點

采樣過程中的各種干擾、誤差是不可避免的。如何從含有隨機誤差的實驗數據中確定出最可靠的測量結果，并用概率分布描述測量和誤差，在近代物理實驗中顯得非常重要。工程上常用的方法是多次采樣求取平均值。平均值是統計學中最常用的統計量，為集中趨勢最常用的測度值，目的是確定一組數據的均衡點。但是平均數也有不足之處，正是因為它利用了所有數據的信息，平均數容易受極端數據的影響，所以有時這種方式是不盡科學的，給數據的可靠性帶來問題[3]。

在概率論和統計學中，期望值是隨機變量的數字特征之一。一個離散性隨機變量的期望值是實驗中每次可能結果的概率乘以其結果的總和，定義如下：

f(υk)=P(X=υk)，k=0,1,2,…
E(X)≡∑kυkf(υk)

(6)

期望值是隨機實驗在同樣的機會下重復多次的結果計算出的等同“期望”的平均值。可見，用期望值去近似采樣時刻的真實值更為科學[4]。

鑒于數學期望更優的統計特性，在本實驗中，以30.7%、50.3%濃度下采集的數據為例進行統計分析，樣本記為X1、X2，其分布如圖3所示。

圖3 兩個樣本的穩態值分布

p(B)=1.43e-4

對于樣本X1,數學期望和均值分別為：

E(X1)=n·p=28.59%

對于樣本X2,同理求得數學期望和均值：

E(X2)=52.21%

現分別以數學期望和均值進行插值處理與精度驗證。

3 插值擬合

插值擬合是數值分析領域的重要環節。工程中常用的擬合方法有理論直線法、端點直線法、最佳直線法和最小二乘法。而近代擬合曲線的方法常用的有模擬退火算法、遺傳算法及蟻群優化算法等[6]。綜合考慮算法的復雜度與操作的方便性，3次樣條插值具有良好的收斂性與穩定性，實際應用中選用該方法進行插值[7]。由于傳感器的分辨率為0.01，筆者選擇插值步長為0.005。共對傳感器采集了15個穩態值，由于傳感器數據幀的特點，濃度值為100%的數據參考價值不大。但是根據算法要求，擬合時仍用了15個數據。分別對14個穩態值進行概率分布與求解期望值的處理，得出各個穩態值的期望。進行3次樣條插值后的結果如圖4所示。

圖4 3次樣條擬合結果

4 驗證分析

由于氣體濃度受氣溫及氣壓等因素的影響，為了排除這些因素的影響，在分析驗證時采用了這樣一種方法：如果條件A={A1,A2,A3,A4,A5}是構成事件S的充分必要條件，條件A又受條件B(t)={B1(t),B2(t),B3(t),B4(t)}影響。現在構造一種條件A到S的映射關系f(x)，為了檢驗f(x)的可靠性，在較短時間內得到條件A，利用條件A與其中任一個條件Ak的差集通過f(x)構造出新的事件S′，利用f(x)求出類Ak的條件Ak′；通過比較S與S′的相似度或者條件Ak′與Ak的相似度來判定f(x)的可靠性。

本項目采取后者，具體來說就是把15個點的一個值xk抽掉，剩下的14個點進行插值擬合，選用Δxk=|xk-xsplinek|值的大小作為相似度的評判依據。通過分析Δx的特點，判定該方法的可行性，即求期望值作為插值節點的方法能否更好地計算出插值節點進而得到逼近實際的曲線。分別抽取了xk1=22.7和xk2=70.2，擬合效果如圖5、6所示。

圖5 濃度為22.7%時擬合結果對比

圖6 濃度為70.2%時擬合結果對比

Δxk|k1經過濾波前、后的值分別為x1k1=0.78、x2k1=0.78。Δxk|k2經過濾波前、后的值分別為x1k2=0.66、x2k2=0.56。另外，為了研究采樣間距對擬合效果的影響，選擇D=|xk+1-xk-1|分別對14個值逐個抽取，得到的結果匯總于表2。

表2 誤差分析

圖7給出了均值擬合和期望擬合的誤差。

圖7 兩種方式擬合誤差結果

比較分析表2和圖7得到以下結論：通過求采樣點的數學期望可以更精確地得出傳感器的插值結果。同比情況下經過卡爾曼濾波的采樣數據能更好地得出擬合曲線；實踐中獲得的誤差平均減小了13%。

5 結束語

在高精度校準曲線繪制要求的情況下，以概率分析穩態采樣點的數據規律，能更好地估計出傳感器的可信輸出，進而計算出可靠的插值節點，從而獲得更接近真實值的傳感器特性曲線。筆者結合Kalman濾波和概率論統計的方法，對工程應用中的新型傳感器進行校正，實踐結果表明：使用該方法可較大幅度提高傳感器獲得真值的能力，提高CO2排放計量的準確度。