加權平均集成神經(jīng)網(wǎng)絡模型在城市需水預測中的應用

崔東文

(云南省文山州水務局，云南文山 663000)

1 研究背景

城市需水量預測是給水系統(tǒng)規(guī)劃與管理的重要內容之一，也是制定水資源發(fā)展戰(zhàn)略的重要環(huán)節(jié)［1］，準確有效地預測需水量對社會經(jīng)濟和環(huán)境的協(xié)調發(fā)展具有重要的意義。傳統(tǒng)需水預測一般采用定額法、時間序列法、回歸分析法以及灰色預測法等方法，這些傳統(tǒng)方法忽視了需水諸影響因素間動態(tài)相互制約的關系，存在預測精度不高等問題和不足［2-3］。城市需水預測是以經(jīng)濟發(fā)展特征和用水現(xiàn)狀為基礎，受到城市規(guī)模、社會經(jīng)濟發(fā)展水平和政府政策等諸多相關因素的影響，是一個典型的多層次復雜非線性系統(tǒng)，適宜借助人工神經(jīng)網(wǎng)絡(artifical neural network，ANN)等智能算法來解決其高維、非線性預測問題。ANN中的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(backpropagation network，BP)和 Elman神經(jīng)網(wǎng)絡在城市需水預測中得到了廣泛應用［4-5］。然而在實際應用中，BP神經(jīng)網(wǎng)絡存在著學習收斂速度慢、易陷入局部極值等不足。為克服BP算法中的不足，基于附加動量法、自適應速率調整法、彈性算法、擬牛頓法、共軛梯度法、Levenberg-Marquardt法以及遺傳算法(genetic algorithm，GA)等智能算法優(yōu)化BP網(wǎng)絡權值閾值等的改進算法被提出［6-8］，并在改進的BP神經(jīng)網(wǎng)絡算法中得到了應用［5，9］。Elman神經(jīng)網(wǎng)絡是一種典型的動態(tài)神經(jīng)元網(wǎng)絡，其網(wǎng)絡結構及算法較BP神經(jīng)網(wǎng)絡有較大改善，但由于Elman神經(jīng)網(wǎng)絡是在BP神經(jīng)網(wǎng)絡的基礎上改進而來，也采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡算法進行權值修正，因此同樣存在著學習速度較慢，易陷入局部極值等缺點。支持向量機(support vector machine，SVM)是一種通用的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡，用于解決模式分類和非線性映射問題。SVM具有嚴謹?shù)臄?shù)學基礎，通過統(tǒng)計學習中的VC維(vapnikchervonenkis dimension)理論和尋求結構風險最小化原理來提高泛化能力，已成為繼ANN之后機器學習領域新的研究熱點，其最小結構風險二次規(guī)劃尋優(yōu)理論、支持向量決定SVM拓撲結構、支持向量數(shù)目決定計算復雜程度的三大優(yōu)勢決定了它在機器學習領域有著舉足輕重的地位［8，10-11］。集成預測是Bates等［12］在1969年提出的組合預測思想，其目的是為了有效地利用各種模型的優(yōu)點，將不同的預測方法進行適當組合，綜合利用各種方法所提供的信息，從而盡可能提高預測精度。實踐表明，不同的預測方法往往有不同的預測結果，不同的預測方法能挖掘不同的有用信息，不同模型的預測結果通常具有互補性，其預測精度也各有懸殊。沒有一種適用于所有預測的通用方法，任何一種預測方法都有其適用性和局限性，因此應依據(jù)實際問題選擇適當?shù)哪Ｐ团c方法［13］。

在實際應用中，決定預測模型精度的關鍵因素是問題本身的復雜程度，針對不同問題選擇恰當?shù)念A測方法是決定預測效果優(yōu)劣的關鍵。基于此，筆者針對上海市需水預測的小樣本容量問題，經(jīng)過調試和篩選，選用SVM、BP和Elman神經(jīng)網(wǎng)絡作為基本預測模型，并利用下述方法提高 SVM、BP和Elman單一模型的預測精度和泛化能力:一是采用交叉驗證法(cross validation，CV)確定SVM模型中的懲罰因子c和核函數(shù)參數(shù)g;二是針對BP、Elman神經(jīng)網(wǎng)絡標準算法收斂速度慢、易陷入局部極值的不足，采用自適應動量算法改進BP、Elman神經(jīng)網(wǎng)絡標準算法;最后，基于集成預測的思想，采用加權平均方法構建綜合集成預測模型，并以上海市2002—2011年需水量預測為例，以驗證加權平均集成模型的預測精度。

2 預測模型簡介

2.1 支持向量機(SVM)

SVM是20世紀90年代中后期發(fā)展起來的基于統(tǒng)計學習理論而構建的典型神經(jīng)網(wǎng)絡。SVM用于回歸時，其基本思想不再是尋找最優(yōu)分類面將樣本分開，而是尋找一個最優(yōu)超平面，使得所有訓練樣本離該最優(yōu)超平面距離最短，這個超平面可看作擬合好的曲線。SVM類似于一個3層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡，其隱層節(jié)點數(shù)對應于輸入樣本與一個支持向量機的內積核函數(shù)，輸出節(jié)點數(shù)對應于隱層輸出的線性組合。SVM神經(jīng)網(wǎng)絡拓撲結構及算法步驟可參閱筆者論文［8，14］及相關文獻［10-11］。

2.2 BP與Elman神經(jīng)網(wǎng)絡

BP神經(jīng)網(wǎng)絡是一種單向傳播的多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡，主要特點是信號前向傳播，誤差反向傳播，其算法的精髓是將網(wǎng)絡的輸出與期望輸出間的誤差通過反向傳播分攤到各神經(jīng)元的權值和閾值，通過多次迭代使BP神經(jīng)網(wǎng)絡的預測輸出不斷逼近期望輸出。由非線性變換單元組成的BP神經(jīng)網(wǎng)絡，不僅結構簡單(僅含輸入、輸出和隱節(jié)點3層)，而且具有良好的非線性映射能力，主要應用于函數(shù)逼近、模式識別、分類和數(shù)據(jù)壓縮等領域。限于篇幅，其網(wǎng)絡拓撲結構及算法步驟可參閱筆者的研究［9，15-17］及相關文獻［6-7，11，18］。

Elman神經(jīng)網(wǎng)絡是Elman于1990年提出的，該模型是在前饋式網(wǎng)絡的隱含層中增加了一個承接層，作為一步延時算子，以達到記憶的目的，從而使系統(tǒng)具有適應時變特性的能力，能夠更生動、更直接地反映系統(tǒng)的動態(tài)特性。與BP神經(jīng)網(wǎng)絡本質上的區(qū)別是，Elman網(wǎng)絡既有前饋連接，又有反饋連接，能有效克服BP神經(jīng)網(wǎng)絡不具備動態(tài)特性的缺點。Elman神經(jīng)網(wǎng)絡同樣可以以任意精度逼近任意非線性映射，工程中主要用于動態(tài)預測，在函數(shù)逼近、模式識別等方面也均有應用，其網(wǎng)絡拓撲結構及算法步驟可參閱筆者論文［9，16，19］及相關文獻［6-7，11，18］。

2.3 BP與Elman神經(jīng)網(wǎng)絡算法的改進

由于BP和Elman神經(jīng)網(wǎng)絡均是采用梯度下降算法，其權值和閾值的調整是沿著誤差函數(shù)下降最快的方向——負梯度方向進行的。梯度下降算法在最初幾步下降較快，但隨著接近最優(yōu)值，梯度趨于零，誤差函數(shù)開始下降緩慢，陷入局部極值。針對BP和Elman神經(jīng)網(wǎng)絡算法中的不足，筆者采用自適應動量算法改進標準梯度下降算法。自適應動量算法是將附加動量法和自適應學習速率調整法結合起來，利用二者的優(yōu)點，大大提高BP和Elman神經(jīng)網(wǎng)絡的收斂速度和預測精度。自適應動量算法的原理及步驟［6-7，9，18］簡述如下:

步驟一:附加動量法。附加動量法是在反向算法的基礎上，在每一個權值變化基礎上增加一項正比于前次權值變化量的值，并根據(jù)反向算法來產(chǎn)生新的權值變化。附加動量法權值、閾值的調節(jié)公式為

式中:k為訓練次數(shù);η為學習速率;mc為動量因子，一般取0.95左右;?f(w(k))為誤差函數(shù)的梯度;Δw為權值變化量;Δb為閾值變化量。

附加動量法實質是將最后一次權閾值的變化通過一個動量因子來傳遞，當增加動量項后，使得權閾值調節(jié)向著誤差曲面底部的平均方向變化，當網(wǎng)絡權值、閾值進入誤差曲面底部的平坦區(qū)時，?f(w(k))變得很小，此時 Δw(k+1)≈Δw(k)，從而避免了Δw=0情況的出現(xiàn)，有助于使網(wǎng)絡從誤差曲面的局部極小值中跳出。合理使用權值修正公式的判斷條件為

式中:SSE為網(wǎng)絡誤差。

步驟二:自適應學習速率調整法。上述式(1)和式(2)中學習速率η的選擇對于網(wǎng)絡訓練及預測效果的影響較大，η選擇太大，將導致誤差值SSE來回振蕩;η選擇太小，則導致太小的動量能量，從而使網(wǎng)絡只能跳出很小的“坑”，而對于較大的“坑”或“谷”則無能為力，這必然對學習速率η的選擇帶來困難。為了解決學習速率η的選擇問題，提出了自適應學習速率調整法。自適應學習速率調整公式為

式中，學習速率η可根據(jù)誤差值SSE的大小自動調整。當新SSE超過舊SSE一定的倍數(shù)時，學習速率將減小;否則其學習速率保持不變;當新SSE小于舊SSE時，學習速率將增加。該方法可以保證網(wǎng)絡總是以最大可接受的學習速率進行訓練。

自適應動量算法綜合了附加動量法和自適應學習速率調整法的優(yōu)點，具有收斂速度快、預測精度高、不易陷入局部極值等優(yōu)點，在BP和Elman神經(jīng)網(wǎng)絡算法中得到了廣泛應用。

2.4 集成預測方法

加權平均預測法是依據(jù)各單一模型預測效果的優(yōu)劣給出不同的權重，然后求加權平均值，以加權平均值作為集成模型預測值［20-21］。加權平均值ˉx的計算公式為

2.5 集成預測步驟

基于上述SVM、BP和Elman神經(jīng)網(wǎng)絡基本原理和集成預測方法，加權平均集成神經(jīng)網(wǎng)絡模型實現(xiàn)需水預測的步驟可歸納如下:

a.確定輸入向量。利用相關分析和多重線性回歸P值檢驗的方法遴選出與需(用)水密切相關的影響因子，利用ADF進行單位根檢驗，對所選取的影響因子原始序列進行平穩(wěn)性檢驗，對不平穩(wěn)的序列進行差分，確定影響因子原始序列的平穩(wěn)性和模型的輸入向量。

b.引入虛擬維。由于需水預測序列時間較短，經(jīng)調試，各單一模型預測的精度達不到基本精度要求。為保證各單一模型的預測精度和泛化能力，避免模型過度擬合，引入噪聲變量，即虛擬維。

c.構建模型。依次構建SVM、BP和Elman單一需水預測模型，利用訓練樣本對模型各相關參數(shù)及結構進行調試和率定，在各單一模型處于最佳預測效果時確定相關參數(shù)及結構，并計算各模型的預測值和預測誤差絕對值。

d.確定權重。利用公式(6)計算各單一模型的權重。

e.利用集成模型進行需水預測。利用集成預測模型公式(5)對需水量進行預測和分析。若集成模型預測值達不到期望精度和泛化能力的要求，則反向對各單一模型進行調試和預測，直至集成模型預測值滿足期望精度的要求。

3 應用實例

3.1 數(shù)據(jù)來源與數(shù)據(jù)分析

以上海市為例，收集上海市1980—2011年的年用水量及相關數(shù)據(jù)。進行相關分析可知，上海市1980—2011年用水序列與戶籍人口、輕工業(yè)產(chǎn)值、重工業(yè)產(chǎn)值、建筑業(yè)總產(chǎn)值、農業(yè)總產(chǎn)值和服務業(yè)產(chǎn)值的相關系數(shù)均大于0.8，需水序列與社會、經(jīng)濟相關序列之間存在著較強的相關性。鑒于輸入變量間高度相關易導致多重共線性問題的發(fā)生，進而影響模型的泛化能力和預測精度，因此，本文利用多重線性回歸P值檢驗的方法從戶籍人口等6個指標中遴選出戶籍人口、輕工業(yè)產(chǎn)值和服務業(yè)產(chǎn)值3個因子作為輸入變量，并利用E-views軟件對需水量、戶籍人口、輕工業(yè)產(chǎn)值和服務業(yè)產(chǎn)值序列進行ADF單位根檢驗，得知需水量、服務業(yè)產(chǎn)值序列為一階平穩(wěn)，戶籍人口和輕工業(yè)產(chǎn)值序列為二階平穩(wěn)，表明需水量、戶籍人口、輕工業(yè)產(chǎn)值和服務業(yè)產(chǎn)值為平穩(wěn)序列，可用于預測。上海市1980—2011年各需水預測指標序列見表1。

從表1可以看出，1982年、1988年、1999年和2009年用水量較前一年有所下降，這與一定時期內用水量變化趨勢不相吻合。為避免模型過度擬合，有效提高模型的預測精度和泛化能力，筆者引入噪聲變量，即虛擬維。引入原則是:1982年、1988年、1999年和2009年的噪聲變量設置為0，其余各年噪聲變量按用水量年度增幅大小設置為0.05～0.3不等(各序列歸一化范圍為0～0.5)，若年度用水量增幅小于0.5億m3，則噪聲變量設置為0.05;小于1億m3，設置為0.1;小于1.5億m3，設置為0.2;大于1.5億m3，設置為0.3;對于“未知”樣本，可按年度用水量增幅小于0.5億m3計，即噪聲變量設置為0.05。

3.2 需水預測的實現(xiàn)

3.2.1 數(shù)據(jù)歸一化處理

由于需水預測影響因子具有不同的物理意義和不同的量綱及數(shù)量級，因此，在網(wǎng)絡訓練前需對原始數(shù)據(jù)進行歸一化處理，公式為

表1 上海市1980—2011年用水量及其影響因子情況

3.2.2 網(wǎng)絡訓練

本研究以1980—2011年影響上海市需水量的相關因子建模，以戶籍人口、輕工業(yè)產(chǎn)值、服務業(yè)產(chǎn)值以及虛擬維作為網(wǎng)絡輸入，需水量作為輸出，構建4輸入1輸出的神經(jīng)網(wǎng)絡模型;以1980—2001年的22組數(shù)據(jù)作為網(wǎng)絡訓練樣本;2002—2011年10組數(shù)據(jù)作為網(wǎng)絡預測檢驗樣本。基于MATLAB環(huán)境，創(chuàng)建及訓練SVM、BP和Elman神經(jīng)網(wǎng)絡模型，進行需水量預測。經(jīng)反復調試，在下述參數(shù)設置條件下，SVM、BP和Elman神經(jīng)網(wǎng)絡模型具有較好的預測效果。

SVM模型:基于libsvm工具箱，選擇徑向基核函數(shù)為SVM的核函數(shù)。設置懲罰因子c和核函數(shù)參數(shù)g的搜索空間，均設置為2－2～26，k取值 2，g和c的步進大小均取0.5，參考文獻［8］和［14］，利用交叉驗證法(cross validation，CV)確定模型中的懲罰因子c和核函數(shù)參數(shù)g分別為2.44528和0.25時(其他參數(shù)采用默認值)，SVM模型性能達到最優(yōu)。

BP模型:對BP神經(jīng)網(wǎng)絡各隱層神經(jīng)元數(shù)的選取，目前并沒有統(tǒng)一的計算方法，主要做法是:先依據(jù)Kolmogorv定理得出一個初始神經(jīng)元數(shù)，然后利用逐步增長或逐步修剪法確定最終神經(jīng)元數(shù)。本文參考文獻［13］、［17］和［21］，最終確定 BP神經(jīng)網(wǎng)絡模型的模型結構為4-4-1，隱含層和輸出層傳遞函數(shù)均采用logsig，訓練函數(shù)采用traingdx，設定期望誤差為0.0001，最大訓練輪回為5000次(其他參數(shù)采用默認值)，此時該模型性能達到最優(yōu)。

Elman模型:做法同BP神經(jīng)網(wǎng)絡模型，最終確定Elman神經(jīng)網(wǎng)絡模型的模型結構為4-3-1，隱含層和輸出層傳遞函數(shù)均采用logsig，訓練函數(shù)采用traingdx，設定期望誤差為0.000 1，最大訓練輪回為2000次(其他參數(shù)采用默認值)，這時，Elman模型性能達到最優(yōu)。

3.3 集成預測模型權重的確定

按照上述集成預測方法和步驟，利用SVM、BP和Elman神經(jīng)網(wǎng)絡模型需水量預測值的平均相對誤差絕對值來確定其各自權重。通過計算，SVM、BP和Elman 3種模型的集成預測權重依次為0.386 8、0.4025和0.2106。

3.4 需水預測結果及分析

利用上述訓練好的SVM、BP和Elman神經(jīng)網(wǎng)絡模型以及加權平均集成模型對上海市2002—2011年需水量進行預測，預測結果見表2。

分析表2和表3，可以看出:①利用加權平均集成模型對上海市2002—2011年進行需水預測的平均相對誤差為1.8004%，最大相對誤差為3.6995%，精度和泛化能力均大幅優(yōu)于各單一模型，表明該模型用于需水預測是合理可行而有效的。加權平均集成模型綜合了各單一模型的優(yōu)點，有效避免了單一模型預測誤差過大和不穩(wěn)定的缺點，具有預測精度高、泛化能力強、誤差變化平穩(wěn)的等特點。②就各單一模型進行比較，SVM模型的精度和泛化能力要優(yōu)于BP模型和Elman模型，且SVM模型具有較大的權重，這在很大程度上克服了簡單平均集成方法的不足，保證了集成模型的預測精度和泛化能力。③整體而言，各單一模型預測的平均相對誤差絕對值均小于5%，最大相對誤差絕對值均在8%以內，在一定程度上均能滿足需水預測精度的要求。但從實際預測結果來看，BP模型預測結果偏大，Elman模型預測結果偏小，SVM模型預測結果略偏大，但各單一模型都具有較好的互補性，從而保證了加權平均集成模型具有較高的預測精度和泛化能力。

表2 幾種模型對上海市2002—2011年需水量預測的結果及其比較

4 結語

本研究建立了基于SVM、BP和Elman神經(jīng)網(wǎng)絡的加權平均集成需水預測模型，該模型很好地綜合了各種單一模型的優(yōu)點，克服了單一模型預測誤差過大和不穩(wěn)定的缺點，在預測精度、泛化能力和誤差穩(wěn)定性方面較單一模型均有較大提高，使得驗證實例的預測結果達到理想狀態(tài)。在利用加權平均集成模型進行需水預測中，有兩個關鍵之處值得借鑒:①集成模型預測精度取決于各單一模型的預測精度和模型間的互補性。互補性是指各單一模型預測平均相對誤差與各自權重之積的和趨近于0，越趨近于0，表明模型間的互補性越強，互補性越強也就意味著集成模型的預測精度越高。②引入噪聲向量，即虛擬維，避免模型過度擬合，可有效提高模型的預測精度和泛化能力。

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