基于陰影變換的動態灰值形態算子的研究

段 汕，馮光瓊，趙淑珍，謝英華

(中南民族大學 數學與統計學學院， 武漢 430074)

1964 年G.Matheron 和J.Serra 在法國巴黎礦業學院共同創立了數學形態學，它是一門建立在嚴格數學理論基礎之上的學科，其基本思想和方法對圖像處理的理論和技術產生了重大影響[1].數學形態學具有完備的數學理論，為形態學方法用于圖像分析和處理等各項工程技術領域奠定了堅實的基礎，同時這也使得數學形態學中數學理論的研究顯得尤為重要[2，3].

最初的數學形態學理論主要集中于固定結構元下的二值形態算子的研究，隨后Serra、Heijmans等學者將二值形態算子理論的研究擴展到了灰值圖像形態算子理論的研究，如文獻[4-6]中作者通過陰影變換和表面算子的理論將函數與集合進行相互轉化，實現了數學形態學理論從二值形態學到灰值形態學的擴展.然而隨著形態學應用領域的不斷發展，基于固定不變的結構元進行圖像處理有時達不到理想效果，因此Beucher 、Debayle等很多學者基于空間變化(Spatially-Variant)的思想對自適應的形態學的理論及應用方面進行了研究，如文獻[7-9]中作者研究了自適應算子的理論及廣泛應用.同時，Bouaynaya、Schonfeld 等學者在文獻[10,11]中以固定結構元下的二值形態學理論為基礎，研究了動態結構元下的二值形態算子，在文獻[12]中以固定結構元下的灰值形態學理論為基礎，探討了動態結構元下的灰值形態算子(即給出了SV灰值形態學的腐蝕、膨脹以及開閉算子的代數形式)，實現了從固定結構元下的形態學理論向SV的形態學理論的擴展.文獻[13]則為歐式空間中SV(二值和灰值)的數學形態學理論提供了統一框架，并用陰影變換和表面算子表示了SV灰值形態學的腐蝕和膨脹算子，本文在此基礎之上，基于陰影變換和表面算子的理論系統地研究了在SV的二值形態學理論的基礎上建立SV灰值形態算子的方法.首先，從陰影集的概念出發，證明了陰影集的相關結論，其次，運用陰影變換和表面算子表示了SV灰值形態學的開閉算子，并以文獻[11]中的SV二值形態學理論為基礎， 證明了文獻[13]中的腐蝕、膨脹以及本文的開這3種算子的表示形式具有文獻[12]中所給出的對應算子的代數形式，最后，研究了腐蝕、膨脹以及開閉這4種算子的相關性質，從而實現了從SV的二值形態算子的研究到SV的灰值形態算子的研究的擴展.

1 預備知識

為了方便下文的研究，通過文獻[4]和[13]，我們引入相關概念.

考慮非空集合E=Rn或Zn(n>0)，定義SV二值結構元素θ是從E到P(E)的映射，并將θ′(y)={z∈E：y∈θ(z)}(y∈E)稱為θ的轉置結構元素. 在歐式空間中， SV二值腐蝕、膨脹、開、閉算子分別表示為：

(1)

(2)

Γθ(X)=δθ(εθ(X))=∪{θ(y):θ(y)?X;

y∈E},

(3)

Φθ(X)=εθ(δθ(X))=∪{z∈E:θ(y)∩X≠?,

?θ(y):z∈θ(y)},

(4)

其中X∈P(E).在下文中，我們用大寫字母X，Y，Z表示P(E)中的元素，小寫字母x，y，z表示E中的元素.

通過陰影變換的方法，我們可實現從SV二值形態算子到SV灰值形態算子的擴展.本文僅考慮從E=Rn或Zn(n>0)到T=R或Z的上半連續函數的集合，記作USC(E,T).A∈Rn×R稱為陰影集當且僅當對任意的(x,t)∈A，必有(x,t′)∈A對一切t′≤t成立.對任意的f∈USC(E,T)，將函數f的陰影集定義為U[f]={(x,y)∈E×T:y≤f(x)}.對任意的陰影集V，定義其表面為從E到T的函數S[V]，即S[V](x)=∨{y∈T:(x,y)∈V}.很容易得到，對任意的f∈USC(E,T)，均有S(U[f])=f. SV結構函數Θ定義為從E到USC(E,T)的映射，若對任意的x,u∈E，均有[Θ′(x)](u)=[Θ(u)](x)，則將Θ′稱為Θ的轉置映射.為了實現函數集合化，我們定義陰影集結構元ΘU：ΘU(x,y)=U[Θ(x)+y]=U[Θ(x)]+y((x,y)∈E×T).本文假定Θ是連續的，且對E中的每一點x，Spt(Θ′(x))都是緊集.

為了進行下文的研究，我們首先給出以下幾個引理.

引理1 對任意的f1，f2∈USC(E,T) ，均有f1≤f2?U[f1]?U[f2]成立.

證明必要性.若f1≤f2，即對任意的x∈E，都有f1(x)≤f2(x)，則對任意的(x,y)∈U[f1]，有y≤f1(x)≤f2(x)，從而可得(x,y)∈U[f2]. 因此U[f1]?U[f2].

充分性.若U[f1]?U[f2]，即{(x,y)|y≤f1(x)}?{(x,y)|y≤f2(x)}，則對任意(x,y)∈E×T，有y≤f1(x)?y≤f2(x).從而有∨{y|y≤f1(x)}≤∨{y|y≤f2(x)}，也即∨{y|(x,y)∈U[f1]}≤∨{y|(x,y)≤U[f2]}.又由表面函數的定義，可知對任意的x∈E， 都有S(U[f1])(x)≤S(U[f2])(x)，即f1(x)≤f2(x).

引理2 若A∈Rn×R是陰影集，則有U(S(A))=A成立.

證明一方面，由于(S(A))(x)=∨{y|(x,y)∈A}， 則對任意的(x,y)∈A，有y≤(S(A))(x)，又因為U(S(A))={(x,y)|y≤(S(A))(x)}，于是有(x,y)∈U(S(A)). 從而可得A?U(S(A)).另一方面， 對任意的(x,y)∈U(S(A))，都有y≤(S(A))(x)=∨{y′|(x,y′)∈A}，則對任意的y′≥y，均有(x,y′)∈A.故由陰影集的定義可知，(x,y)∈A.也即U(S(A))?A.綜上所述，可得U(S(A))=A成立.

引理3 對任意的f∈USC(E,T)，εΘU(U[f])和δΘU(U[f])均是陰影集.

證明1) 由(1)式可知，我們有εΘU(U[f])={(x,y)|ΘU(x,y)?U[f]}，則對任意的(x,y)∈εΘU(U[f])，有ΘU(x,y)?U[f]，也即U[Θ(x)+y]?U[f]，根據引理1可得，Θ(x)+y≤f.則對任意的y′≤y，有Θ(x)+y′≤Θ(x)+y≤f，于是有U[Θ(x)+y′]?U[f]，即ΘU(x,y′)?U[f]，從而可得(x,y′)∈εΘU(U[f]).故由陰影集的定義知εΘU(U[f])是陰影集.

由于對任意的f∈USC(E,T)， 有ΓΘU(U[f])=δΘU(εΘU(U[f]))，ΦΘU(U[f])=εΘU(δΘU(U[f])).由引理3知，ΓΘU(U[f])和ΦΘU(U[f])也都是陰影集.

根據引理2及引理3，容易得到性質1.

性質1 對任意的f∈USC(E,T)，以下4個等式成立:

U(S(εΘU(U[f])))=εΘU(U[f]),U(S(δΘU(U[f])))=δΘU(U[f]),U(S(ΓΘU(U[f])))=ΓΘU(U[f]),U(S(ΦΘU(U[f])))=ΦΘU(U[f]).

2 SV灰值形態算子的表示形式的研究

為了將SV的二值形態算子擴展到SV的灰值形態算子，陰影變換便成了重要的方法與途徑.N .Bouaynaya和 D .Schonfeld在SV二值形態學的腐蝕和膨脹算子的表示形式的基礎之上，運用陰影變換和表面算子表示了SV灰值形態學的腐蝕和膨脹算子，具體形式如下[13]：

[εΘ(f)](x)=S[εΘU(U[f])](x)

(?x∈E,f∈USC(E,T))，

(5)

[δΘ(f)](x)=S[δΘU(U[f])](x)

(?x∈E,f∈USC(E,T)).

(6)

我們按照二值形態學開閉算子的定義方式(即腐蝕和膨脹的復合)，利用陰影變換和表面算子得到SV灰值形態學的開閉算子的表示形式.

性質2 SV灰值形態學的開和閉算子可以分別表示為:

[ΓΘ(f)](x)=δΘ(εΘ(f))(x)=

S[ΓΘU(U[f])](x)(?x∈E,f∈USC(E,T)).

[ΦΘ(f)](x)=εΘ(δΘ(f))(x)=

S[ΦΘU(U[f])](x)(?x∈E,f∈USC(E,T)).

證明1)由(5)、(6)式，可得對任意的x∈E，有:

[ΓΘ(f)](x)=δΘ(εΘ(f))(x)=

S(δΘU(U(S(εΘU(U[f])))))(x).

又由性質1，有:

[ΓΘ(f)](x)=S(δΘU(εΘU(U[f])))(x)=

S(ΓΘU(U[f]))(x).

2) 由(5)、(6)式，可得對任意的x∈E，都有:

[ΦΘ(f)](x)=εΘ(δΘ(f))(x)=

S(εΘU(U(S(δΘU(U[f])))))(x).

又由性質1，有:

[ΦΘ(f)](x)=S(εΘU(δΘU(U[f])))(x)=

S(ΦΘU(U[f]))(x).

以SV的二值形態學理論為基礎，通過陰影變換和表面算子的理論建立了SV灰值形態算子的表示形式.根據SV灰值形態腐蝕、膨脹以及開算子的表示形式，我們可以推證這3種算子具有其對應的代數形式.

證明由(5)式和表面函數的定義，可得對任意的x∈E，均有[εΘ(f)](x)=∨{v∈T:(x,v)∈εΘU(U[f])}.又由(1)式和ΘU(x,y)=U[Θ(x)+y]，從而可得:

[εΘ(f)](x)=∨{v∈T:ΘU(u,v)?U[f]}=

∨{v∈T:U[Θ(x)+v]?U[f]} .

由引理1可知，[εΘ(f)](x)=∨{v∈T:Θ(x)+v≤f}=∨{v∈T:v≤f-Θ(x)} .

性質4 SV灰值形態學膨脹也可表示為：?x∈E，?f∈USC(E,T)，[δΘ(f)](x)=

證明由(6)式和表面函數的定義，可得對任意的x∈E，都有[δΘ(f)](x)=∨{v∈T:(x,v)∈δΘU(U[f])} .又由(2)式，可得對任意的f∈USC(E,T)，均有δΘU(U[f])={(x,v)∈E×T:(ΘU)′(x,v)∩U[f]≠?}.從而可得，[δΘ(f)](x)=∨{v∈T:(x,v)∈E×T,(ΘU)′(x,v)∩U[f]≠?}.

也即[δΘ(f)](x)=∨{v∈T:(x,v)∈E×T,?(u,w)∈(ΘU)′(x,v)∩U[f]}.

又因為(ΘU)′(x,v)={(u,w)∈E×T:(x,v)∈ΘU(u,w)}，于是有：

[δΘ(f)](x)=∨{v∈T:(x,v)∈E×T,?(u,w),(x,v)∈ΘU(u,w)且(u,w)∈U[f]}=∨{v∈T:(x,v)∈E×T,?(u,w),v≤[Θ(u)](x)+w且w≤f(u)}.

又[Θ′(x)](u)=[Θ(u)](x)，因此有：

[δΘ(f)](x)=∨{v∈T:(x,v)∈E×T,?(u,w),v≤[Θ′(x)](u)+w且w≤f(u)}=∨{v∈T:(x,v)∈E×T,?(u,w),v≤[Θ′(x)](u)+f(u)}.

[Θ′(x)](u)}.

根據上確界的定義，有[δΘ(f)](x)=∧{v:v≥f(u)+[Θ′(x)](u)}.即：

[δΘ(f)](x)=∧{v:-Θ′(x)+v≥f}.

性質5 SV灰值形態學開也可表示為：?f∈USC(E,T) ，?x∈E，

[ΓΘ(f)](x)=∨{Θ(u)+v≤f:(u,v)∈E×T}.

證明由性質2和表面函數的定義，可得對任意的x∈E，均有[ΓΘ(f)](x)=∨{b|(a,b)∈ΓΘU(U[f])}.又由(3)式，可得對任意的f∈USC(E,T)，都有[ΓΘ(f)](x)=∨{b|(a,b)∈∪{ΘU(x,y):ΘU(x,y)?U[f];(x,y)∈E×T},(a,b)∈E×T}.也即[ΓΘ(f)](x)=∨{b|?(u,v)∈E×T,(a,b)∈ΘU(u,v)且ΘU(u,v)?U[f]}.又由于ΘU(x,y)=U[Θ(x)+y]和引理1，從而可得[ΓΘ(f)](x)=∨{b|b≤[Θ(u)](a)+v且Θ(u)+v≤f}.即[ΓΘ(f)](x)=∨{Θ(u)+v≤f,(u,v)∈E×T}.

3 SV灰值形態算子的性質

以上的研究利用陰影變換和表面算子，在SV二值形態算子的表示形式的基礎上建立了SV灰值形態算子.SV灰值形態學腐蝕、膨脹以及開閉算子具有與SV二值形態學腐蝕、膨脹以及開閉算子相似的性質.下面我們將以SV二值形態算子的性質為基礎來證明SV灰值形態算子的對應性質.

3.1 腐蝕和膨脹的性質

性質6(附益性) 對任意的結構函數映射Θ，δΘ(f)≤g?f≤εΘ(g)(f,g∈USC(E,T)).

證明由(6)式和δΘ(f)≤g可得S(δΘU(U[f]))≤g.根據引理1，我們有U(S(δΘU(U[f])))?U[g].從而由性質1可知δΘU(U[f])?U[g].故由SV二值形態學腐蝕和膨脹的附益性可得U[f]?εΘU(U[g]).又由表面函數的定義，可得S(U[f])≤S(εΘU(U[g])).即f≤εΘ(g) .

該性質表明SV的灰值腐蝕與膨脹具有附益性.

性質7(增性) 若f1，f2∈USC(E,T)，f1≤f2，那么對任意的結構函數映射Θ，有εΘ(f1)≤εΘ(f2)，δΘ(f1)≤δΘ(f2).

證明若f1，f2∈USC(E,T)且f1≤f2，則根據引理1和SV二值腐蝕和膨脹的增性， 有εΘU(U[f1])?εΘU(U[f2])，δΘU(U[f1])?δΘU(U[f2]).又由表面函數的定義，我們可得對任意的x∈E，均有S(εΘU(U[f1]))(x)≤S(εΘU(U[f2]))(x)，S(δΘU(U[f1]))(x)≤S(δΘU(U[f2]))(x).由(5)和(6)式 ，可得εΘ(f1)≤εΘ(f2),δΘ(f1)≤δΘ(f2).

此性質說明對于目標信號，SV灰值腐蝕和膨脹都滿足遞增性.

性質8 (擴展性、非擴展性) 如果對任意的x∈E，[Θ(x)](x)≥0，那么εΘ(f)≤f，δΘ(f)≥f(f∈USC(E,T)).

證明由于對任意的x∈E，[Θ(x)](x)≥0，則對任意的(x,y)∈Ε×T，都有[Θ(x)+y](x)≥y.也即(x,y)∈U[Θ(x)+y]=ΘU(x,y).故根據SV二值腐蝕的非擴展性和膨脹的擴展性，知對任意的f∈USC(E,T)，我們有εΘU(U[f])?U[f]，U[f]?δΘU(U[f]).又由(5)、(6)式，得εΘ(f)(x)=S(εΘU(U[f]))(x)≤S(U[f])(x)=f(x)，δΘ(f)(x)=S(δΘU(U[f]))(x)≥S(U[f])(x)=f(x).從而有εΘ(f)≤f，δΘ(f)≥f.

由此性質可見SV灰值腐蝕是非擴展的，而膨脹是擴展的.

性質9 (結構元素的增性) 如果結構函數映射Θ1≤Θ2，那么有εΘ2(f)≤εΘ1(f)，δΘ1(f)≤δΘ2(f)(f∈USC(E,T)).

這個性質表明對于結構元素， SV灰值腐蝕與膨脹也滿足增性.

為了說明SV灰值腐蝕和膨脹滿足結合律，我們首先給出以下兩個引理.

引理4 若θ1，θ2是E到P(E)上的映射， 那么δθ2(δθ1)=δδθ2(θ1)，其中δθ1(θ2) 表示E到P(E)上的映射，對任意的z∈E滿足(δθ1(θ2))(z)=δθ1(θ2(z)).

性質10 (結構元素的復合性) 若Θ1、Θ2是從E到USC(E,T)的映射， 那么εΘ2(εΘ1(f))=εδΘ1(Θ2)(f),δΘ2(δΘ1(f))=δδΘ2(Θ1)(f),f∈USC(E,T)， 其中εΘ1(Θ2)和δΘ1(Θ2)均表示從E到USC(E,T)上的映射， 對任意的x∈E滿足εΘ1(Θ2)(x)=εΘ1(Θ2(x))，δΘ1(Θ2)(x)=δΘ1(Θ2(x)).

證明(1) 根據SV灰值腐蝕的定義，可得對任意的x∈E，有:

εΘ2(εΘ1(f))(x)=

(2) 根據SV灰值膨脹的定義，我們可得到對任意的x∈E，有:

δΘ2(δΘ1(f))(x)=

δΘ2(δΘ1(f))(x)=

S(δ[δΘ2(Θ1)]U(U[f]))(x)=δδΘ2(Θ1)(f).

3.2 開和閉的性質

性質11(等冪性) 對任意的結構函數映射Θ，

ΦΘ(f)(f∈USC(E,T)).

證明由性質2和性質1，我們可得：

S(ΓΘU(U(S(ΓΘU(U[f])))))=

S(ΓΘU(ΓΘU(U[f]))),

S(ΦΘU(U(S(ΦΘU(U[f])))))=

這個性質說明SV灰值開、閉運算滿足冪等性.用同一個結構元素對輸入信號作兩次(或者兩次以上)的開運算(或閉運算)得到的結果和用此結構元素作用一次的結果相同.

性質12(擴展性、非擴展性) 對任意的結構函數映射Θ，ΓΘ(f)≤f，ΦΘ(f)≥f(f∈USC(E,T)).

證明由SV二值形態學開閉算子的擴展與非擴展性，可得對任意的f∈USC(E,T)，有ΓΘU(U[f])?U[f]，ΦΘU(U[f])?U[f].又由表面函數的定義，我們可得對任意的x∈E，均有

S(ΓΘU(U[f]))(x)≤S(U[f])(x),

S(ΦΘU(U[f]))(x)≥S(U[f])(x).

也即ΓΘ(f)≤f,ΦΘ(f)≥f.

此性質表明SV灰值開是非擴展的，而閉是擴展的.

性質13 (增性) 若f1，f2∈USC(E,T)且f1≤f2，那么對任意的結構函數映射Θ，都有ΓΘ(f1)≤ΓΘ(f2),ΦΘ(f1)≤ΦΘ(f2).

證明若f1,f2∈USC(E,T)且f1≤f2，則由引理1和SV二值開閉算子的增性， 可得ΓΘU(U[f1])?ΓΘU(U[f2]),ΦΘU(U[f1])?ΦΘU(U[f2])，故由表面函數的定義，我們可得對任意的x∈E，均有S(ΓΘU(U[f1]))(x)≤S(ΓΘU(U[f2]))(x),S(ΦΘU(U[f1]))(x)≤S(ΦΘU(U[f2]))(x)，從而可得ΓΘ(f1)≤ΓΘ(f2)，ΦΘ(f1)≤ΦΘ(f2).

此性質表明對于目標信號，SV灰值開和閉也都滿足遞增性.

由上述證明可以看出，基于陰影變換和表面算子的理論所給出的SV灰值形態腐蝕、膨脹以及開閉算子，與基于固定結構元下的灰值形態學理論而定義的這4種對應算子的性質基本保持一致.

4 結束語

本文在文獻[13]所表示的SV灰值形態學腐蝕、膨脹算子的基礎之上，利用陰影變換和表面算子表示了SV灰值形態學的開閉算子，并根據文獻[11]中的SV二值形態學理論，證明得到腐蝕、膨脹和開這3種算子的表現形式具有文獻[12]中所給出的對應算子定義形式，并進一步探討了腐蝕、膨脹以及開閉這4種算子的相關性質.通過以上研究，我們可以清晰地看到，SV灰值形態學腐蝕、膨脹以及開閉算子可以基于固定結構元下的灰值形態學理論直接定義而得，也可以運用陰影變換和表面算子來進行建立，這兩種途徑得到的SV灰值形態算子的表示形式和相關性質基本達成一致，但閉算子的表現形式與其代數形式的一致性以及腐蝕膨脹的對偶性、開閉的對偶性的證明還有待進一步研究.本工作實現了從SV的二值形態算子的研究到SV的灰值形態算子研究的擴展，有助于我們深入地理解SV形態算子，以及整個數學形態學的基本理論，也為今后的腐蝕膨脹的對偶性、開閉的對偶性的研究奠定了基礎.

參 考 文 獻

[1] 崔 屹. 圖像處理與分析——數學形態學方法及應用[M]. 北京：科學出版社，2000.

[2] Serra J. Image analysis and mathematical morphology[M].New York: Academic Press，1982.

[3] Serra J. Image analysis and mathematical morphology II: theoretical advances[M]. New York: Academic Press, 1988.

[4] 龔 煒，石青云，程民德. 數字空間中的數學形態學——理論及應用[M].北京：科學出版社，1997.

[5] Heijmans H. A note on the umbra transform in gray-level morphology[J].Pattern Recognition Letters，1993，14:877-881.

[6] Heijmans H. Morphological image operator[M]. Boston: Academic Press，1994.

[7] Verly J G，Delanoy R L .Adaptive mathematical morphology for range imagery[J].IEEE Transactions on Image Processing, 1993, 2(2):272-275.

[8] Debayle J, Pinoli J. General adaptive neighborhood image processing-part I: introduction and theoretical aspects[J]. Mathematical Imaging and Vision, 2006, 25(2):245-266.

[9] Debayle J, Pinoli J. Multiscale image filtering and segmentation by means of adaptive neighborhood mathematical morphology[C]// IEEE. IEEE International Conference on Image Processing, Genoa:IEEE, 2005(9): 537-540.

[10] Charif-Chefchaouni M, Schonfeld D. Spatially-variant mathematical morphology[C]// IEEE. IEEE International Conference on Image Processing. Chicago:IEEE, 1996(5): 49-56.

[11] Bouaynaya N，Charif-Chefchaouni M，Schonfeld D.Theoretical foundations of spatially-variant mathe-matical morphology part I: binary images[J].IEEE Trans on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 2008, 30(5):823-836.

[12] Bouaynaya N，Schonfeld D.Theoretical foundations of spatially-variant mathematical morphology part II: gray-level images[J].IEEE Trans on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 2008, 30(5):837-850.

[13] Bouaynaya N，Schonfeld D. Spatially variant morphological image processing: theory and applications[C]// SPIE.SPIE Visual Communication and Image Processing. San Jose: SPIE, 2006,6077：2-4.