賦廣義Orlicz范數的Orlicz序列空間的一致凸點和弱一致凸點

段麗芬,左明霞,王宏志

(1.通化師范學院數學學院,吉林 通化 134002;2.哈爾濱理工大學應用科學學院,黑龍江 哈爾濱 150080)

1 預備知識

一致凸(UR)點和弱一致凸(WUR)點是Banach空間幾何學的重要概念,應用廣泛[1-4].Orlicz空間作為一類具體的Banach空間,涵蓋內容豐富,對其UR 點和WUR點的刻畫十分重要.賦Orlicz范數和Luxemburg范數的Orlicz空間的UR 點和WUR點的判據早已獲得[5-8].2010年,李小彥又得到了賦廣義Orlicz范數的Orlicz函數空間的UR 點和WUR點的判據[9].本文給出賦廣義Orlicz范數的Orlicz序列空間的UR 點和WUR點的判別準則.

設M(u)、N(v)是一對互余的N-函數,p+(u)表示M(u)的右導數.M∈Δ2指存在常數k>0使M(2x)≤kM(x)對較小x成 立.M∈2?N∈Δ2.記

SM={u∈R+:?ε>0,2M(u)<

M(u+ε)+M(u-ε)},

線性集

及閉子空間

關于Orlicz范數:

Luxemburg范數:

‖x‖M=inf{λ>0:ρM(x/λ)≤1},

及廣義Orlicz范數:

引理設M是N-函數,M∈Δ2∩2,xn=(xn(i))∈lM,p(1

則

證明由文獻[7]中定理2的證明過程易得,略.

2 主要結果及證明

定理1 設M是N-函數,p+(u)連續,x0=(x0(i))∈S(lM,p)(1

(i)x0是UR點;

(ii)x0是WUR點;

(iii) 1)M∈Δ2∩2；2) {k0|x0(i)|:i=1,2,…}中至多有一個元不屬于SM;3) {k0|x0(i)|∈SM:i=1,2,…}?或者{k0|x0(i)|∈SM:i=1,2,…}?這里

證明(i)? (ii)顯然.

(ii)? (iii) 首先證明M∈Δ2.若不然,存在z(t)∈lM,phM,p及奇異泛函φ,使得ρM(z)<∞,φ(k0x0-z)≠0.令

則

‖x0+xn‖M,p≥

2‖(x0(1),x0(2),…,x0(n),0,0，…)‖M,p→

2‖x0‖M,p=2,

因此

進而

但

其次證明M∈2.若不然,存在正數列vn↓0,使得

(n=1,2,…).

取正整數mn,使

因M∈2,可取足夠大的in,使得

‖(0,…,0,x0(in+1),…,x0(in+mn),

令

則

2mnnN(vn)>n(mn+1)N(vn)>1,

因此

取

再取y0=(y0(i))∈lN,q,使‖y0‖N,q=1,且

令l0>1,使

定義

gn=(y0(1),…,y0(in),vn,…,vn,y0(in+mn+

1),…).

則

于是

…,0,x(in+1),…,x(in+mn),0,…)‖M,p+

因WUR點必為端點,由文獻[10]知,2)成立.下面證明3).

因p+(u)連續,有

故

又

則

但x0≠x′,這與x0是WUR點矛盾.

(iii)?(i)設

xn=(xn(i))∈lM,p(n=1,2,…),

且

所以

其中

于是

這與‖xn+x0‖M,p→2(n→∞)矛盾.

ε4=1+ε4.

(1)

ρN(p+(k0x0))-ε7=1-ε7;

由定理1立即可得：

定理2 設M是N-函數,p+(u)連續,則對任何1

(i)lM,p局部UR;

(ii)lM,p弱局部UR;

(iii)M∈Δ2∩2且M(u)在[0,πM,p(1)]上嚴格凸.其中

πM,p(α)=inf{t>0:2p[M(t)]p-1·

N(p+(t))>α}.

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