非參數(shù)固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型的約束剖面加權(quán)最小二乘估計(jì)

解其昌,賴紹永

(1.山東工商學(xué)院經(jīng)濟(jì)學(xué)院,山東 煙臺(tái) 264005;2.西南財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)學(xué)院,四川 成都 611130)

1 預(yù)備知識(shí)

面板數(shù)據(jù)或縱向數(shù)據(jù)描述了跨越時(shí)間的個(gè)體信息,它包含截面和時(shí)間兩個(gè)方向維度．對(duì)比單純的時(shí)間序列數(shù)據(jù)或橫截面數(shù)據(jù)來說,面板的雙重維度不僅使其包含了每個(gè)個(gè)體更多的內(nèi)容,而且有助于研究者發(fā)展更復(fù)雜的模型分析技術(shù)．隨著面板數(shù)據(jù)可獲得性的增長(zhǎng),面板數(shù)據(jù)的理論和應(yīng)用研究變得越來越流行．關(guān)于參數(shù)面板數(shù)據(jù)模型的統(tǒng)計(jì)推斷和計(jì)量分析,Hsiao[1]和 Baltagi[2]給出了詳細(xì)的介紹和全面的回顧．

參數(shù)面板模型能夠簡(jiǎn)明和清晰地描述出變量間的相互關(guān)系．然而,該類模型的最大缺陷就是需要很強(qiáng)的假設(shè)條件并且很容易產(chǎn)生模型錯(cuò)誤設(shè)定的風(fēng)險(xiǎn)．如何彌補(bǔ)參數(shù)模型的這些不足,一個(gè)有效的備選方法就是引入非參數(shù)或半?yún)?shù)建模思想．本文就是基于這種思想,考慮下述非參數(shù)固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型:

yij=αj+g(tij)+εij,i=1,…,n;

j=1,…,J<∞,

(1)

相比參數(shù)面板數(shù)據(jù)模型,非參數(shù)和半?yún)?shù)面板模型的研究還非常滯后．采用基于局部多項(xiàng)式近似的廣義估計(jì)方程技術(shù),Lin等[3]檢驗(yàn)了非參數(shù)平行面板數(shù)據(jù)模型的漸近性質(zhì),但是他們沒有給出估計(jì)量的收斂速度．Baltagi等[4]研究了隨機(jī)誤差服從獨(dú)立同分布的半?yún)?shù)固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型的估計(jì),卻沒有考慮誤差分布的異方差性．Su等[5]使用剖面似然法分析帶有固定效應(yīng)的半?yún)?shù)面板模型,推導(dǎo)出了非參函數(shù)的漸近正態(tài)性,而并沒有得到固定效應(yīng)的分布理論．通過一階差分方法,Henderson等[6]獲得了固定效應(yīng)非參數(shù)面板數(shù)據(jù)模型估計(jì)的收斂率,但是由于計(jì)算程序復(fù)雜,沒有建立估計(jì)量的漸近正態(tài)分布性質(zhì)．Qian等[7]運(yùn)用邊際積分技術(shù),討論了半?yún)?shù)固定效應(yīng)面板數(shù)據(jù)模型的估計(jì),然而該方法運(yùn)算復(fù)雜且消耗時(shí)間．此外,文獻(xiàn)[8-11]也都對(duì)非參數(shù)面板模型進(jìn)行了深入研究,但都沒有考慮異質(zhì)信息或個(gè)體效應(yīng)影響．

本文檢驗(yàn)異方差非參數(shù)固定效應(yīng)面板模型的一致估計(jì)．不同于傳統(tǒng)的一階差分方法,我們給出了使用約束剖面加權(quán)最小二乘技術(shù)估計(jì)該模型的詳細(xì)步驟．該方法的主要優(yōu)點(diǎn)就是計(jì)算簡(jiǎn)便以及容易實(shí)現(xiàn)．通過構(gòu)造虛擬變量和引入局部線性近似的方法,不僅得到了模型中固定效應(yīng)參數(shù)和非參數(shù)函數(shù)估計(jì)的表達(dá)式并且還推導(dǎo)出了估計(jì)量的漸近正態(tài)分布性質(zhì)．同時(shí),證明了參數(shù)和非參數(shù)估計(jì)量能夠?qū)崿F(xiàn)相應(yīng)的參數(shù)和非參數(shù)收斂率．

2 模型估計(jì)

若令ej是第j個(gè)元素等于1,其余元素是0的J×1維矩陣且記xi1=e1,…,xiJ=eJ、xi=(xi1,…,xiJ)T、yi=(yi1,…,yiJ)T、gi=(g(ti1),…,g(tiJ))T及εi=(εi1,…,εiJ)T,則方程(1)可以用矩陣重新寫為

y=xα+g+ε，

(2)

因?yàn)間(·)是一個(gè)未知的光滑函數(shù),所以應(yīng)用Taylor展開式來近似,即對(duì)tij臨域內(nèi)的任意一點(diǎn)t有:

g(tij)≈g(t)+g′(t)(tij-t)=a(t)+

b(t)(tij-t)，

其中a(t)=g(t)和b(t)=g′(t)．

如果α已經(jīng)被確定,那么γ(t)=(a(t),hb(t))T可以通過局部線性最小二乘來估計(jì),即

Dtγ(t))TWt(y*-Dtγ(t))，

(3)

從式(3),解得

(4)

根據(jù)方程(4),知g的估計(jì)能夠表示為

(5)

(6)

(I-S)y=(I-S)xα+ε,

其中I為nJ×nJ的單位矩陣．

接下來,使ι=(1,…,1)T是元素均為1的J×1維矩陣．因?yàn)殡S機(jī)誤差εij服從異方差分布,所以傳統(tǒng)的同方差回歸技術(shù)不能被應(yīng)用．因此,提出使用約束剖面加權(quán)最小二乘法來估計(jì)參數(shù)α．具體來說,固定效應(yīng)α的約束剖面加權(quán)最小二乘估計(jì)為:

S)y-(I-S)xα)+2λιTα,

(7)

由目標(biāo)函數(shù)Q(α,λ)的一階條件?Q(α,λ)/?α=0,推導(dǎo)出

xT(I-S)TΩ-1(I-S)xα+λιT-

xT(I-S)TΩ-1(I-S)y=0.

(8)

不言而喻,α的估計(jì)值為表達(dá)式(8)與方程ιTα=0的解．

S)x]-1xT(I-S)TΩ-1(I-S)y-

(9)

進(jìn)一步,把式(9)代入到ιTα=0中,得

{ιT[xT(I-S)TΩ-1(I-S)x]-1xT(I-

S)TΩ-1(I-S)y},

(10)

然后,再將式(10)代入到方程(9)中,有

S)TΩ-1(I-S)y-[xT(I-S)TΩ-1(I-

S)x]-1{ιT[xT(I-S)TΩ-1(I-S)x]-1ι}-1

{ιT[xT(I-S)TΩ-1(I-S)x]-1xT(I-

S)TΩ-1(I-S)y}ι.

(11)

(12)

(13)

特別,非參函數(shù)g(t)估計(jì)的閉表達(dá)式為

(14)

3 漸近性質(zhì)

下面介紹一些假設(shè)條件,這些條件被廣泛使用于非參數(shù)面板數(shù)據(jù)模型的理論分析中[5,11].

假設(shè)2 協(xié)變量tij存在緊支撐和具有二次連續(xù)可微的密度函數(shù)fj(·)．同時(shí),密度函數(shù)fj(·),j=1,…,J有界且不等于零和無窮．

假設(shè)3 在緊支撐上,核函數(shù)K(·)對(duì)稱且一致有界以及函數(shù)g(·)存在連續(xù)有界的二階導(dǎo)數(shù)．此外,矩陣Γ是正定的．

假設(shè)4 當(dāng)n→∞時(shí),h→0,nh2→∞以及nh4=O(1)．

在闡述估計(jì)量的漸近分布定理之前,先給出一些引理．

證明由假設(shè)條件1～4和大數(shù)定理知,對(duì)任意的λ>0,

(15)

通過矩陣運(yùn)算以及應(yīng)用式(15),得

(16)

同理,因?yàn)?/p>

(17)

所以

(18)

因此,

(19)

證明對(duì)任意的λ>0,注意到

(20)

于是,

(21)

OP(1)oP(1)=oP(1).

證明類似于引理1的證明,知

(22)

那么,s(t)ε=oP(1),這表明Sε=oP(1)．因此,

(23)

于是,結(jié)合式(12)和(23)知

(24)

因?yàn)棣蒚α0=0,所以由引理1和式(24),得

(25)

此外,由方程(23),有

C1+C2.

(26)

(27)

最后,由式(25)和(27)立即可以推出該定理．

定理2 如果條件1～4成立,那么

證明由表達(dá)式(13),得

(28)

其中β=g″(t)h2/2以及Ψ=((t11-t)2/h2,…,(tnJ-t)2/h2)T．

這樣,根據(jù)式(28),有

K1+K2-K3.

(29)

(30)

此外,注意到

(31)

且

(32)

進(jìn)一步,結(jié)合表達(dá)式(31)和(32)直接推出

(33)

對(duì)于K3來說,有

(34)

最后,從方程(29)、(30)、(33)和(34),知該定理成立．

[1] Hsiao C.Analysis of panel data [M].Cambridge:Cambridge University Press,2003.

[2] Baltagi B H.Econometric analysis of panel data [M].West Sussex:John Wiley and Sons Ltd,2005.

[3] Lin X,Carroll R J.Nonparametric function estimation for clustered data when the predictor is measured without/with error [J].Journal of the American Statistical Association,2000,95:520-534.

[4] Baltagi B H,Li D.Series estimation of partially linear panel data models with fixed effects [J].Annals of Economic and Finance,2002(3):103-116.

[5] Su L,Ullah A.Profile likelihood estimation of partially linear panel data models with fixed effects [J].Economics Letters,2006,92:75-81.

[6] Henderson D J,Carroll R J,Li Q.Nonparametric estimation and testing of fixed effects panel data models [J].Journal of Econometrics,2008,144:257-275.

[7] Qian J,Wang L.Estimating semiparametric panel data models by marginal integration [J].Journal of Econometrics,2012,167:483-493.

[8] Jiang C R,Wang J L.Covariate adjusted functional principal components analysis for longitudinal data [J].The Annals of Statistics,2010,38:1194-1226.

[9] Ma S.Two-step spline estimating equations for generalized additive partially linear models with large cluster sizes [J].The Annals of Statistics,2012,40:2943-2972.

[10] Zhang X,Park B U,Wang J L.Time-varying additive models for longitudinal data [J].Journal of the American Statistical Association,2013,108:1360-1371.

[11] Yao W,Li R.New local estimation procedure for nonparametric regression function of longitudinal data [J].Journal of Royal Statistical Society:Series B,2013,75:123-138.