《橢圓、雙曲線離心率的常見解法》教學設計

謝樹芳

一、內容分析：求離心率的問題主要考查圓錐曲線的幾何性質以及平面幾何知識的應用。涉及到勾股定理、三角函數、圓、正余弦定理、三角形的面積公式以及向量的有關性質和計算等知識，其中會應用到的數學思想方法有數形結合、化歸轉化、方程思想等，解決此問題的關鍵是利用圓錐曲線的性質和滿足題意的幾何圖形的邊角關系建立等式（不等式），進而列出關于三者中某兩個或三個元素的方程或不等式，再結合三者間的關系式轉化為離心率的表達式進行求解。

二、教學理念：找準核心，回歸本質，自主探究，合作互評。

三、教學設想：本節課在多媒體應用背景下，讓學生課前從學案進行課前學習。課上教師啟發引導，學生合作探究、交流互評，歸納總結出求解離心率及其范圍問題的方法。學習過程中讓學生深刻體會數形結合思想、方程思想、轉化、化歸等多種思想方法的運用。

四、三維目標

基礎目標（100%）：知道離心率的定義和求解離心率的基本方法，能根據三者之間的關系直接求出離心率。

拓展目標（80%）：會結合平面幾何的相關性質和圓錐曲線的性質列出有關的式子，再化為齊次式，進而建立關于的方程，能有意識應用數形結合思想和方程思想方法，解決離心率的求解問題，通過解題訓練提高計算能力。

挑戰目標（10%）：能體會轉化化歸成一個不等式解決最值、范圍等綜合交匯的高考重熱頻考點問題。

五、教學重點：掌握圓錐曲線幾何量的等量轉化，尋求圓錐曲線離心率的求法，并解決圓錐曲線離心率范圍的問題。

六、教學難點：挖掘轉化題目中的等量關系式和不等式，求圓錐曲線離心率范圍的問題。

七、教法學法：教：啟發引導、幾何畫板動畫展示，歸納總結;學：自學探究、合作互評。

八、教學手段：多媒體、幾何畫板、實物投影儀、電子白板.

九、課前準備

1.離心率的計算公式：_______;

2.橢圓的離心率范圍：______，雙曲線的離心率范圍：______，拋物線的離心率：______.

3.橢圓中、、的關系式：__________，

雙曲線中、、的關系式：_________.

學生活動：學生自主學習學案，并以小組為單位，認真填寫學案.

設計意圖：通過課前學習讓學生回顧學過的知識點，為本節課做好知識儲備.

十、教學過程

問題1.若一個橢圓長軸長、短軸長和焦距成等差數列，則該橢圓的離心率為__________。（解答過程略）

變式1.若一個雙曲線實軸長、虛軸長和焦距成等比數列，則該雙曲線的離心率為______。（解答過程略）

請您總結提煉：??????????????????????。

教師活動：引導學生運用數列知識建立之間的關系，進而轉化成離心率的表達式。

學生活動：學生獨立完成，然后匯報展示、互評互補。

設計意圖：利用數列的知識建立三者之間的關系，再化為齊次式，進而建立關于的方程，引出構造方程法。

問題2.已知橢圓的兩焦點，以線段為底邊作正三角形，若橢圓恰好平分三角形的另外兩邊，則橢圓的離心率為__________。（解答過程略）

變式2.在正三角形ABC中，D是BC的中點，則以D、A為焦點，且過B、C的雙曲線的離心率為__________。（解答過程略）

變式3.已知正方形ABCD，分別是AD、BC的中點，則以為焦點且過A、B、C、D四點的橢圓的離心率為__________。（解答過程略）

請您總結提煉：??????????????????????。

教師活動：引導學生運用正三角形“三線合一”的性質和橢圓定義直接列出方程，再轉化為離心率的表達式。

學生活動：學生獨立完成，然后匯報展示和互評，如果有困難，再提醒同桌之間討論、交流、總結。

設計意圖：利用圓錐曲線定義和平面幾何知識建立的關系，強調曲線定義在構造方程過程中的重要性。

問題3.已知橢圓（）的兩焦點分別為，為橢圓上一點，且，則該橢圓離心率的取值范圍是 ???????????????。

（解答過程略）

變式4.將問題三中的點改為橢圓內一點，其它條件不變，則該橢圓離心率的取值范圍是 ??????????????。（解答過程略）

請您總結提煉：??????????????????????。

教師活動：教師展示動畫圖形，引導學生從定義、三角形邊角關系與基本不等式等方面建立不等式解題。

學生活動：合作探討采用代數法和數形結合兩種方法，比較優缺點，上臺展示解題過程。

設計意圖：利用幾何性質建立的不等式，轉化成離心率問題，注重一題多解。

問題4.已知雙曲線的焦點在X軸上，若過原點O且傾斜角為60°的直線與雙曲線沒有交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是 ????????。

變式5.若過雙曲線的右焦點且傾斜角為60°的直線與雙曲線右支有且只有一個交點，則雙曲線離心率的取值范圍是 ??????????。（解答過程略）

請您總結提煉：????????????????????????。

教師活動：教師展示動畫圖形，引導學生比較漸近線斜率解題。

學生活動：學生觀察動態圖形，考慮比較漸近線與定直線斜率大小。

設計意圖：從漸近線斜率入手建立不等關系式，揭示問題本質還是尋求有關的不等關系。

十一、教學反思：本節課求離心率的問題主要考查的是圓錐曲線的幾何性質以及平面幾何知識，涉及到勾股定理、三角函數、圓、正余弦定理、三角形的面積公式、點線距離、向量等問題。解決此類問題的關鍵，就是利用圓錐曲線的相關性質和滿足題意的幾何圖形的邊角關系，列出關于a、b、c三者中某兩個或三個元素的方程或不等式，進而轉化為離心率的問題，關鍵在于找到問題本質，讓課堂教學更加有實效性。