一類非線性時滯雙曲型偏微分方程關于平衡態的振動性分析

黃澤娟，李樹勇，周小平

(1.四川師范大學數學與軟件科學學院，四川成都610066； 2.成都中醫藥大學外國語學院，四川成都610075)

1 預備知識

近幾十年來，含時滯雙曲型偏微分方程解的振動性研究備受關注［1-6］，借助泛函微分方程振動性的理論，建立起多類含時滯雙曲型偏微分方程解關于零點(零平衡態)振動的判別定理.眾所周知，對于偏微分方程而言，非常數平衡態是一種重要的解形態，獲得其任意解關于非常數平衡態的漸近性質非常重要.文獻［7-8］分別研究了反應擴散方程和含時滯非線性拋物型偏微分方程解的漸近行為，建立了關于非常數平衡態穩定的一些結果.文獻［9］討論含時滯拋物型偏微分方程解關于非常數平衡態的振動性，給出相應的判別條件.然而，據已有文獻，研究含時滯雙曲型偏微分方程解關于非常數平衡態的漸近行為討論卻很少見.I.Gyori等［1］綜合各種振動性定義，提出K振動性，給出含時滯雙曲型偏微分方程解K振動性的判定定理，包含了關于非常數平衡態振動性的分析.通常，線性偏微分方程的非常數平衡態可以化為零平衡態等價處理，但是對于非線性偏微分方程，卻不能這樣簡單處理.本文將討論一類非線性時滯雙曲型偏微分方程解關于非常數平衡態振動性，在一定的條件下，建立這類方程在3種邊界條件下任意解關于平衡態振動的充分條件.

本文考慮如下一類非線性時滯雙曲型偏微分方程:

其中，(t，x)∈Q=R+×Ω，Ω?Rn是具有光滑邊界?Ω的有界區域，△是Rn上的n維Laplace算子，a＞0，bi＞0，c(x)∈C(，R)，qj(x)∈C(，R+)，fj∈C(R，R)和F(x)∈C(，R)是連續函數，τi和 σj是非負常數，其中，i=1，2，…，m，j=1，2，…，n.

方程具有如下邊界條件:

這里，ν表示 ?Ω 的單位外法向量，β(x)∈C(?Ω)，其中 α，β(x)分別取值如下 3 種情況:

1) α =0，β(x)=1；

2) α =1，β(x)=0；

3) α=1，β(x)＞0.

初值條件為

其中 ρ=max{τ1，τ2，…，τm，σ1，σ2，…，σn}.

本文假設如下橢圓型偏微分方程

存在解w(x)∈C2(Ω)∩C()，即問題(1)和(2)存在平衡態w(x).

定義 1稱問題(1)～(3)的解u(t，x)∈C1，2(Q)∩C()在 R+× Ω 內關于其平衡態w(x)振動.若u(t，x)?w(x)且對任意T＞0，存在點(t0，x0)∈［T，∞) × Ω，使得u(t0，x0)=w(x0).否則，稱u(t，x)關于w(x)是非振動的.

本文假設方程(1)～(3)的解在［-ρ，∞)上存在［10］.本文中，記

2 主要結論

3 例子

例1考慮如下具有時滯的非線性雙曲型偏微分方程的初邊值問題:

［1］Gyori I，Krisztin T.Oscillation results for linear partial delay differential equations［J］.J Math Anal Appl，1993，174:204-217.

［2］李永昆.具有偏差變元的雙曲型微分方程組解的振動性［J］.數學學報，1997，40:100-105.

［3］He M X，Liu A P.The oscillation of hyperbolic functional differential equations［J］.Appl Math Comput，2003，143:205-224.

［4］Li W N，Meng F W.Forced oscillation for certain systems of hyperbolic differential equations［J］.Appl Math Comput，2003，141:313-320.

［5］Wang P G，Wang M，Ge W.Further results on oscillation of hyperbolic differential equations of neutral type［J］.J Appl Anal，2004，10(1):117-129.

［6］Yoshida N.Oscillation Theory of Partial Differential Equations［M］.Singapore:World Scientific Publishing，2008.

［7］葉其孝，李正元.反應擴散方程引論［M］.北京:科學出版社，1990.

［8］Pao C V.Dynamics of nonlinear parabolic system with time delays［J］.J Math Anal Appl，1996，198:751-779.

［9］黃澤娟，李樹勇.一類非線性時滯拋物型方程解的振動性［J］.四川師范大學學報:自然科學版，2010，33(3):298-301.

［10］Wu J H.Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations［M］.New York:Springer-Verlag，1996.

［11］Ladde G S，Lakshmikantham V，Zhang B G.Oscillation Theory of Differential Equations with Deviating Arguments［M］.New York:Marcel Dekker，1987.

［12］Li S Y，Zhou X P.Attraction and invariant set for impulsive partial functional differential equations in unbounded domains［J］.四川師范大學學報:自然科學版，2010，33(5):688-693.

［13］張秀英，李樹勇，杜啟鳳，等.含反應擴散項和混合時滯的隨機Hopfield神經網絡的時滯相關全局指數穩定性分析［J］.四川師范大學學報:自然科學版，2013，36(1):1-6.

［14］杜啟鳳，李樹勇，趙亮，等.含分布時滯的隨機Cohen-Grossberg神經網絡的p階指數穩定性［J］.四川師范大學學報:自然科學版，2013，36(1):8-13.

［15］趙亮，李樹勇，杜啟鳳，等.含時滯和脈沖的雙向聯想記憶神經網絡模型的全局魯棒一致漸近穩定性分析［J］.四川師范大學學報:自然科學版，2013，36(2):177-184.

［16］胡健，李樹勇，楊治國.含混合時滯的隨機Hopfiled神經網絡的全局指數穩定性［J］.四川師范大學學報:自然科學版，2012，35(3):303-308.

［17］趙亮，李樹勇，張秀英，等.一類含連續分布時滯的隨機Hopfiled神經網絡模型的幾乎必然指數穩定性和p階矩指數穩定性［J］.四川師范大學學報:自然科學版，2012，35(3):303-308.