一類三階常微分方程的兩點邊值問題的正解

頓調霞，李永祥

(西北師范大學數學與統計學院，甘肅蘭州730070)

1 預備知識

三階微分方程有著深刻的力學與物理背景，可以利用它研究電磁波或者重力流等.近年來對各類三階微分方程邊值問題的研究十分活躍，多種非線性分析的工具與方法被應用于三階微分方程邊值問題的研究當中［1-14］，主要有基于微分不等式的方法、拓撲度方法、上下解方法與單調迭代技巧等.文獻［1］在非線性項滿足超線性或次線性增長的情況下，考察了問題

正解的存在性.文獻［2］利用 Krasnoselskii不動點定理討論了當非線性項f(t，u)可以在t=0，t=1及u=0處奇異時邊值問題(1)正解的存在性與多解性.文獻［3］應用上下解方法討論了三階兩點邊值問題

其中f:［0，1］×R→R連續，獲得了一些解的存在性結果.受上述文獻的啟發，本文利用Krasnoselskii不動點定理，在用不等式條件描述非線性項增長的條件下，研究三階常微分方程兩點邊值問題

正解的存在性，其中f:［0，1］×［0，∞)→［0，∞)連續.函數u*稱為問題(3)的正解，如果u*是(3)式的解，并且u*(t) ＞0，0 ＜t≤1.

2 預備工作

設C［0，1］為定義在［0，1］上的連續函數全體按范數構成的 Banach 空間.

引理 1［4］對?h∈C［0，1］，線性兩點邊值問題

引理2通過直接計算可得，由(6)式定義的函數G(t，s)具有下列性質

假設f:［0，1］×［0，∞ )→［0，∞ )連續，對?u∈C［0，1］，定義

則F:C［0，1］→C+［0，1］連續.這里C+［0，1］={u∈C［0，1］|u(t)≥0，t∈［0，1］}為C［0，1］中的正元錐.

引理 3設f:［0，1］×［0，∞)→［0，∞)連續，則A(C［0，1］)?K且A:K→K全連續.

證明設u∈C［0，1］，對，根據(8)式有

因此Au∈K，從而A(C［0，1］)?K，A的全連續性可由Arzela-Ascoli定理推出.證畢.

于是由算子T的定義，邊值問題(3)的正解等價于A在錐K中的不動點.

本文的主要工具是下面的錐拉伸與錐壓縮型的Krasnoselskii不動點定理.

引理4［7］設E為Banach空間，K是E中的一個閉凸錐，Ω1、Ω2都是K中的有界子集滿足θ∈Ω1，ˉΩ1?Ω2，T:K∩(ˉΩ2Ω1)→K為全連續映射，若下列條件之一成立:

1) ‖Tu‖≤‖u‖，?u∈K∩?Ω1，‖Tu‖≥‖u‖，?u∈K∩?Ω2；

2) ‖Tu‖≥‖u‖，?u∈K∩?Ω1，‖Tu‖≤‖u‖，?u∈K∩?Ω2.則T在K∩(ˉΩ2Ω1)中至少有一個不動點.

3 主要結果

定理 1設f:［0，1］×［0，∞)→［0，∞)連續，若下列條件之一成立:

(H1)1) ?δ＞0，使得當x∈Kδ時，f(t，x)≤12x；

2)及H＞0，使得當x≥H時，f(t，x)≥mx，

(H2)1)及 δ＞0，使得當x∈Kδ時，f(t，x)≥mx；

2) ?H＞0，使得當x≥H時，f(t，x)≤12x，則邊值問題(3)至少存在一個正解，其中Kδ=K∩ˉB(0，δ).

證明假設(H1)成立，取0＜r＜R＜+∞，令

則 θ∈Ω1且 ˉΩ1?Ω2.

首先證明，當r適當小時，有‖Au‖≤‖u‖，u∈?Ω1∩K.

取r∈(0，δ)，其中 δ為條件(H1)的 1)中的常數.從而，當u∈?Ω1∩K時，有0＜u(s)≤‖u‖ =r＜δ，?s∈(0，1)，由條件 (H1)的 1)知:對?s∈(0，1)，f(s，u(s))≤12u(s)≤12‖u‖，所以

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