(3+1)維ZK方程的孤波解、沖擊波解和周期波解

康曉蓉，鮮大權

(西南科技大學理學院，四川綿陽621010)

本文研究如下形式的(3+1)維Zakharov-Kuznetsov(ZK)方程

其中a、b、c、d為非零實數.20 世紀 80 年代末，Zakharov和Kuznetsov在描述磁化等離子體德爾演化過程中首次導出該模型，B.K.Shivamoggi等［1］用李群方法也得到該方程，A.M.Hamza［2］在強化等離子體的研究中則得到推廣的(3+1)維ZK方程.該模型作為與波動現象密切相關的非線性方程，陸續(xù)出現在許多物理學領域，因此引起許多物理學家和數學家的關注.E.G.Fan等［3］用Jacobi橢圓函數法得到a=6，b=0，c=d=3時的N孤子解；楊紅娟等［4］利用WTC方法討論在一些特殊變系數情況下的一組精確孤波解；Z.Y.Yan［5］采用非線性方法得到系統的雙周期波解、奇異波解等，并對所得解基于一些特殊參數值的非線性波傳播特性進行分析，解釋了相關物理現象；Z.Z.Dong等［6］應用經典Lie群方法獲得方程的點對稱，由此得到方程的一些精確解.但該方程作為高維系統的一個典型代表，它在不同可積性意義下的相應解結構有待研究的內容還很多，已嘗試過的研究方法較少［1-6］，而可用的方法尚多，如F展開法［7-8］、雙曲函數法［9-10］、試探函數法［11］、擴展的G'/G展開法［12-13］，等.

本文應用微分動力系統定性理論對方程(1)進行定性分析，并運用橢圓方程映射法尋求相應解的顯式表達.

1 定性分析

容易看出λ1或為2不等實數，或為2共軛純虛數，因此平衡點P1或為鞍點或為中心點.

則 λ2，3為2共軛復數，此時平衡點P2，3為焦點.

如果

則λ2，3或為2不等實數，或為2共軛純虛數.此時平衡點P2，3或為鞍點或為中心點.

由(5)式可知，系統在相平面(ω，v)上的相軌線滿足

積分(6)式得系統(5)的Hamiliton函數為

顯然有，因此方程(4)所表達的系統為保守系統.

綜上分析可得，系統(4)存在鞍-鞍同(異)宿軌和周期閉軌，(3+1)維ZK方程(1)相應地存在孤波解、沖擊波解和周期波解［14］.

2 孤波解、沖擊波解和周期波解

下面用橢圓方程映射法尋求(3+1)維ZK方程(1)的孤波解、沖擊波解和周期波解.

將(4)式乘以v'后再對ξ積分一次，取積分常數為A得

2.3 周期波解

2.3.1 Jacobi橢圓函數周期波解

這是圍繞中心點的閉軌，且當m→1時，v3→v1，相應得到(1)式的周期波解為

這是圍繞中心點的閉軌，且m→1時，v3→v2.相應得到(1)式的周期波解

這是圍繞中心點的閉軌，且m→1時，v5→v1，相應得到(1)式的周期波解為

2.3.2 三角函數周期解 當A=0，，b＜0且(4bc4-c1a2)c1＜0時，

這也是圍繞中心點的閉軌，相應得到(1)式的周期波解為

3 結論

本文應用微分方程動力系統定性方法討論了(3+1)維ZK方程的鞍-鞍行波同(異)宿軌和周期閉軌的存在性.運用橢圓方程映射法獲得該方程的孤波解、沖擊波解和周期波解.本文的結果進一步豐富了該方程的數學物理性態(tài)及其解的內容.

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