雙連續(xù)正則預解算子族的生成及逼近定理

陳 藏，葛世剛，劉海生，倉定幫

(1.華北科技學院教務處，北京101601； 2.華北科技學院基礎(chǔ)部，北京101601)

算子半群理論是泛函分析的一個重要分支，在控制理論中有著廣泛的應用.20世紀四五十年代，為了解決偏微分方程的初值問題，以E.Hille與K.Yosida為代表的數(shù)學家提出了Banach空間上強連續(xù)C0半群理論，解決了許多的數(shù)學與工程技術(shù)問題.此后C半群、積分半群及余弦算子函數(shù)等算子理論相繼被提出，在偏微分方程的領(lǐng)域有著很好的應用價值.然而在實際問題中發(fā)現(xiàn)，許多情況對應的半群不是強連續(xù)的 F.Kuhnemund［1］指出，存在Banach空間上一些特殊的非強連續(xù)半群，并通過對這些半群的具體研究在Banach空間上附加一個比范數(shù)拓撲粗的局部凸拓撲，使得半群在局部凸拓撲下強連續(xù)，從而提出了雙連續(xù)半群的概念.文獻［1］還指出序列完備的局部凸空間上的等度連續(xù)半群滿足的條件比雙連續(xù)半群強，且等度連續(xù)對實際問題的應用不是很廣，許多情況所對應的空間是Banach空間，可以賦予一個比范數(shù)拓撲粗的局部凸拓撲，從而說明雙連續(xù)半群理論有非常好的應用價值.文獻［2］給出了雙連續(xù)半群的Trotter-Kato定理，文獻［3］分析了局部凸拓撲下的 Riemann-Stieltjes積分，給出了雙連續(xù)半群的逼近定理及其應用.自G.Da Prato等［4］引入預解算子族概念以來，其基本理論的研究已經(jīng)受到廣泛的關(guān)注［5-15］，主要原因是預解算子族統(tǒng)一和推廣了C0半群與強連續(xù)余弦算子函數(shù).本文結(jié)合雙連續(xù)C0半群和正則預解算子族的概念對雙連續(xù)正則預解算子族進行研究，給出了雙連續(xù)正則預解算子族的生成與逼近定理.

1 定義與引理

假設(shè)X是 Banach空間，X'是它的共軛空間，B(X)表示X到自身的有界線性算子全體.τ是X上的一個局部凸拓撲，并具有以下性質(zhì):

1)空間(X，τ)是在‖·‖-有界集上序列完備，即每個‖·‖-有界的τ柯西列在(X，τ)中收斂；

2)τ拓撲比‖·‖粗且是Hausdorff拓撲；

3)(X，‖·‖)中范數(shù)可由空間(X，τ)'定義，即對每個x∈X有

Pτ表示X上的局部凸拓撲對應的半范數(shù)族.一般認為，對所有的x∈X，p∈Pτ，

τ 柯西列理解為:對序列(xk)k∈N?X，?ε ＞0，存在n1＞0，當n，m＞n1時，p(xn-xm) ＜ε 成立.

定義1.1［3］設(shè)X是局部凸拓撲的Banach空間，α∈NBV［0，r］，NBV［0，r］表示定義在［0，r］上的普通囿變函數(shù).函數(shù)f:［0，r］→X是 Riemann-Stieltjes可積的，如果

2 生成定理

從而(e)成立.

3 逼近定理

注3.1在以上的研究結(jié)果中，如果取a(t)=1或a(t)=t，則分別得到雙連續(xù)半群和雙連續(xù)余弦函數(shù)的相應結(jié)果.

致謝華北科技學院重點學科建設(shè)基金(HKXJZD201402)對本文給予了資助，謹致謝意.

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