CAT(0)空間中全漸近非擴張非自映射的△-收斂定理

李小蓉，劉 敏

(宜賓學院數學學院，四川宜賓644000)

1 預備知識

設X是度量空間，x，y∈X且d(x，y)=l，從x到y的測地路徑是滿足如下條件的映射:c:［0，l］→X，使得c(0)=x且c(l)=y.一條測地路徑的像稱為測地線段.稱度量空間X是(唯一)測地空間，如果X中任意2點間由唯一一條測地路徑連接.測地空間的測地三角形△(x1，x2，x3)由以下2部分組成:X中的3點x1，x2，x3和連接每對邊的測地路徑.在歐氏空間 R2中，(X，d)中測地三角形△(x1，x2，x3)的比 較 三角形滿足:，i，j∈{1，2，3}.

稱測地空間X是CAT(0)空間，如果對X中的每個測地三角形△(x1，x2，x3)及其在R2中的比較三角形滿足如下條件，對?x，y∈△，不等式

成立.

在本文，設z=(1-t)x⊕ty為連接x到y的測地路徑中的唯一一點，且滿足

本文也用［x，y］表示連接x到y的測地路徑，即［x，y］ ={(1-t)x⊕ty:t∈［0，1］}.

稱子集C是CAT(0)空間X的凸子集，如果對?x，y∈C，都有［x，y］?C.關于CAT(0)空間的一些基礎知識，可參考文獻［1-2］.

CAT(0)空間中的不動點理論首先由W.Kirk提出［3-4］，他證明了完備的CAT(0)空間的有界閉凸子集中的每個非擴張映射都有不動點.從那以后在CAT(0)空間背景下，各種映射，如非擴張、漸近非擴張、全漸近非擴張的單值、多值映射的不動點理論迅速地被研究，并發表了大批文章［5-17］.在2008 年，W.Kirk 等［18］證明了 T.Lim［19］引入的△-收斂與Bananch空間中弱收斂有相似的性質.

受以上研究工作的啟發，本文目的是引入關于全漸近非擴張非自映射的一迭代序列，并證明該迭代序列△-收斂定理，本文結果改進并推廣了參考文獻的結果.

引理1.1［2］測地空間X是CAT(0)空間當且僅當對 ?x，y，z∈X，t∈［0，1］以下不等式成立:

特別地，如果X是 CAT(0) 空間，x，y，z∈X，t∈［0，1］，則

稱T:C→C為非擴張映射，如果

稱T:C→C為一致L-Lipschitzian映射，如果存在常數L＞0，使得

成立.

稱T:C→C是({μn}，{νn}，ζ)-全漸近非擴張自映射，如果存在非負序列{μn}，{νn} 且μn→0，νn→ 0，以及嚴格增的連續函數 ζ:［0，∞) →［0，∞)，且ζ(0)=0使得

成立.

設(X，d)是度量空間，C是X是非空子集，稱C是X的收縮核，如果存在連續映射P:X→C，使得對?x∈C，都有Px=x.稱映射P:X→C為保核收縮，如果P2=P.顯然對P的值域中任意一點y，都有Py=y.

稱T:C→X為漸近非擴張非自映射，如果存在序列{kn}?［1，∞)且kn→1，使得以下不等式成立

其中P是X到C的非擴張保核收縮.

稱T:C→X是({μn}，{νn}，ζ)-全漸近非擴張非自映射，如果存在非負序列{μn}，{νn}且μn→0，νn→ 0，以及嚴格增的連續函數 ζ:［0，∞) →［0，∞)，且ζ(0)=0使得以下不等式成立

其中P是X到C的非擴張保核收縮.

定義1.1稱T:C→X為一致L-Lipschitzian非自映射，如果存在常數L＞0，使得以下不等式成立

其中P是X到C的非擴張保核收縮.

2 主要結論

引入如下的迭代序列并證明其△-收斂性.

［1］Bridson M，Haefliger A.Metric Spaces of Non-Positive Curvature［M］.Berlin:Springer-Verlag，1999.

［2］Dhompongsa S，Panyanak B.On △ -convergence theorems in CAT(0)spaces［J］.Comput Math Appl，2008，56(10):2572-2579.

［3］Alvarez D G，Acedo G L P，Rafael V C.Seminar of Mathematical Analysis:Proceedings Universities of Malaga and Seville(Spain)，September 2004-June 2005［M］.Sevilla:Universidad de Sevilla，2006.

［4］Kirk W A.Geodesic geometry and fixed point theory II［C］//In International Conference on Fixed Point Theory and Applications，Yokohama:Yokohama Publ，2004:113-114.

［5］Dhompongsa S，Kirk W A，Sims B.Fixed points of uniformly Lipschitzian mappings［J］.Nonlinear Anal:TMA，2006，65(4):762-772.

［6］Cho Y J，Ciric L，Wang S H.Convergence theorems for nonexpansive semigroups in CAT(0)spaces［J］.Nonlinear Anal，2011，doi:10.1016/j.na.2011.05.082.

［7］Abkar A，Eslamian M.Fixed point and convergence theorems for different classes of generalized nonexpansive mappings in CAT(0)spaces［J］.Comput Math Appl，2011，doi:10.1016/j.camwa.2011.12.07.

［8］Nanjaras B，Panyanak B.Demiclosed principle for asymptotically nonexpansive mappings in CAT(0)spaces［J］.Fixed Point Theory Appl，doi:10.1155/2010/268780.

［9］He J S，Fang D H，Lopez G，et al.Mann's algorithm for nonexpansive mappings in CAT(0)spaces［J］.Nonlinear Anal，2012，75:459-468.

［10］Khan S H，Abbas M.Strong and △ -convergence of some iterative schemes in CAT(0)spaces［J］.Comput Math Appl，2011，61:109-116.

［11］Khan A R，Khamsi M A，Fukharuddin H.Strong convergence of a general iteration scheme in CAT(0)spaces［J］.Nonlinear Anal，2011，74:783-791.

［12］Chang S S，Wang L，Joseph L，et al.Demiclosed principle and△ -convergence theorems for total asymptotically nonexpansive mappings in CAT(0)spaces［J］.Appl Math Comput，2012，219:2611-2617.

［13］Tang J F，Chang S S，Joseph L，et al.Iterative algorithm and△ -convergence theorems for total asymptotically nonexpansive mappings in CAT(0)spaces［J］.Abstr Appl Anal，2012，doi:10.1155/2012/965751.

［14］Sahin A，Basarir M.On the strong convergence of modifiedS-iteration process for asymptotically quasi-nonexpansive mappings in CAT(0)space［J］.Fixed Point Theory Appl，2013，doi:10.1186/1687-1812-2013-12.

［15］Agarwal R P，O'Regan D，Sahu D R.Iterative construction of fixed points of nearly asymptotically nonexpansive mappings［J］.Nonlinear Convex Anal，2007，8(1):61-79.

［16］Chang S S，Wang L，Heung W J L，et al.Strong and△ -convergence for mixed type total asymptotically nonexpansive mappings in CAT(0)spaces［J］.Fixed Point Theory Appl，2013，1:122.

［17］李小蓉.Banach空間中可數簇全擬-φ-漸近非擴張非自映射的強收斂定理［J］.四川師范大學學報:自然科學版，2014，37(1):62-67.

［18］Kirk W A，Panyanak B.A concept of convergence in geodesic spaces［J］.Nonlinear Anal:TMA，2008，68(12):3689-3696.

［19］Lim T C.Remarks on some fixed point theorems［J］.Proc Am Math Soc，1976，60:179-182.