幾類非線性發(fā)展方程的精確解和不變集

陳一虎，賈化冰

(寶雞文理學(xué)院數(shù)學(xué)系，陜西寶雞721013)

1 引言及預(yù)備知識(shí)

精確解在非線性現(xiàn)象和動(dòng)力系統(tǒng)研究中扮演著很重要的角色，而圍繞求解方法，與對(duì)稱相關(guān)的方法取得了巨大的成功，最著名的方法是經(jīng)典對(duì)稱方法，又叫Lie群方法［1-3］，在此基礎(chǔ)上又有幾種推廣方法，包括非經(jīng)典對(duì)稱方法［4-8］、Lie-B?cklund對(duì)稱方法和廣義條件對(duì)稱方法(有時(shí)也稱條件Lie-B?cklund 對(duì)稱方法)［9-12］、直接方法［13-16］等，非線性發(fā)展方程的許多有意義的精確解是由這些方法獲得的.

主要討論如下形式的1+1維k階非線性發(fā)展方程

2 借助于集合1討論方程

它在幾何和非牛頓流體力學(xué)方面有廣泛的應(yīng)用.

設(shè)方程(10)滿足集合1，利用(7)式有

下面對(duì)f(x)分幾種情況討論.

(i)f(x)=x.

考慮到(11)式的左端與變量x無關(guān)，對(duì)(11)式兩端關(guān)于x求導(dǎo)得到

和T'(t)=c1T(t)，得到方程(10)的精確解由下式給出

3 借助于集合2討論N維徑向?qū)ΨQ非線性拋物型方程

研究了擬線性擴(kuò)散方程和N維徑向?qū)ΨQ非線性拋物型方程，給出了方程滿足的條件，特別是討論了函數(shù)f(x)的幾種情況，給出了方程例子和相應(yīng)的精確解.

致謝寶雞文理學(xué)院科研項(xiàng)目基金(ZK0953和YK1218)陜西省教育廳專項(xiàng)科研計(jì)劃項(xiàng)目基金(2013JK0572)對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.

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