幾類非線性發展方程的精確解和不變集

陳一虎，賈化冰

(寶雞文理學院數學系，陜西寶雞721013)

1 引言及預備知識

精確解在非線性現象和動力系統研究中扮演著很重要的角色，而圍繞求解方法，與對稱相關的方法取得了巨大的成功，最著名的方法是經典對稱方法，又叫Lie群方法［1-3］，在此基礎上又有幾種推廣方法，包括非經典對稱方法［4-8］、Lie-B?cklund對稱方法和廣義條件對稱方法(有時也稱條件Lie-B?cklund 對稱方法)［9-12］、直接方法［13-16］等，非線性發展方程的許多有意義的精確解是由這些方法獲得的.

主要討論如下形式的1+1維k階非線性發展方程

2 借助于集合1討論方程

它在幾何和非牛頓流體力學方面有廣泛的應用.

設方程(10)滿足集合1，利用(7)式有

下面對f(x)分幾種情況討論.

(i)f(x)=x.

考慮到(11)式的左端與變量x無關，對(11)式兩端關于x求導得到

和T'(t)=c1T(t)，得到方程(10)的精確解由下式給出

3 借助于集合2討論N維徑向對稱非線性拋物型方程

研究了擬線性擴散方程和N維徑向對稱非線性拋物型方程，給出了方程滿足的條件，特別是討論了函數f(x)的幾種情況，給出了方程例子和相應的精確解.

致謝寶雞文理學院科研項目基金(ZK0953和YK1218)陜西省教育廳專項科研計劃項目基金(2013JK0572)對本文給予了資助，謹致謝意.

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