一類高階泛函微分方程非振動(dòng)解的存在性

莫協(xié)強(qiáng)，張曉建，楊甲山

(1.梧州學(xué)院數(shù)理系，廣西梧州543002； 2.邵陽學(xué)院理學(xué)與信息科學(xué)系，湖南邵陽422004)

關(guān)于中立型時(shí)滯泛函微分方程的振動(dòng)和非振動(dòng)的研究，除了在理論上具有非常重要的意義外，在實(shí)際應(yīng)用中也有著非常重要的意義.因此，在這一領(lǐng)域出現(xiàn)了許多研究成果［1-17］.但是對(duì)于高階中立時(shí)滯微分方程的非振動(dòng)解的研究卻受到了冷落，這主要是源自其分析上的技術(shù)困難.而具有正負(fù)系數(shù)的高階中立型方程的非振動(dòng)定理卻更少了［6-14］.早些時(shí)候，M.R.S.Kulenovic等［2］研究了方程

及“(H0):對(duì)每個(gè)t≥t0及任意常數(shù)α＞0均有αQ(t)-R(t)≥0”的條件下得到了方程(1)存在非振動(dòng)解的結(jié)論.之后，如文獻(xiàn)如［6-11］均圍繞方程(1)，或p不是常數(shù)，或方程為非線性的變時(shí)滯的等，但都是在(H0)成立的條件下進(jìn)行的研究，沒有實(shí)質(zhì)性的新進(jìn)展.文獻(xiàn)［12-14］的部分定理對(duì)條件(H0)有所改進(jìn)，但沒有方程的系統(tǒng)性的結(jié)果.本文旨在去掉這個(gè)強(qiáng)條件(H0)，討論下列一類更廣泛的具有正負(fù)系數(shù)的高階非線性中立型時(shí)滯泛函微分方程

建立方程(2)非振動(dòng)的若干新的準(zhǔn)則，所得定理改進(jìn)了現(xiàn)有文獻(xiàn)中的一系列結(jié)論，并舉例說明了定理的應(yīng)用.這里n＞0 為偶數(shù)，τ＞0，σi≥0，δj≥0，t0＞0為實(shí)常數(shù)(i=1，2，…，m；j=1，2，…，l，后面出現(xiàn)的i，j其取值亦是如此，不再另外說明)；m≥1，l≥1 為正整數(shù).

函數(shù)x(t)稱為方程(2)的解，如果x(t)∈C(［t-1，+∞)，R)，x(t)+P(t)x(t- τ) ∈Cn(［t-1，+∞)，R)，并且x(t)滿足方程(2)，這里t-1=min{t0- τ，t0-}.方程(2)在半直線［Tx，+∞)(Tx≥t0)上的解x(t)稱為是正則的，如果它滿足sup{|x(t)|:t≥T}＞0，?T≥Tx.方程(2)的正則解稱為是振動(dòng)的，如果它有任意大的零點(diǎn)；否則，此正則解稱為是非振動(dòng)的.并考慮如下假設(shè):

(H4)fi(x)、gj(x)均滿足局部Lipchitz條件，即對(duì)于某區(qū)域D，存在常數(shù)Lfi(D)，Lgj(D)＞0，使得?x，y≥0，有|fi(x)-fi(y)|≤Lfi(D)|x-y|和|gj(x)-gj(y)|≤Lgj(D)|x-y|；

(H4)'fi(x)、gj(x)均滿足局部Lipchitz條件，即存在常數(shù) α ＞0 及Lfi，Lgj＞0，使得?0≤x≤α，0≤y≤α，有|fi(x)-fi(y)|≤Lfi|x-y|和 |gj(x)-gj(y)|≤Lgj|x-y|.

1 主要結(jié)果和證明

即此時(shí)(7)式是成立的.由數(shù)學(xué)歸納法知，(7)式得證.因此，根據(jù)(8)式，易知由(6)式所確定的x(t)是方程(2)的一個(gè)最終正解.定理證畢.

定理2設(shè)方程(2)滿足條件(H1)～(H4)，0＜＜1，并且最終有P(t)≥0，則方程(2)一定存在一個(gè)非振動(dòng)解.

注1由于本文例1中所給的方程均不滿足條件(H0)，即不滿足假設(shè)“對(duì)任意t≥t0及任意常數(shù)α＞0均有 αQ(t)-R(t)≥0”，因此文獻(xiàn)［2，6-11］中的定理都不能用于本文例1的方程.從定理1～5的證明過程可知，方程(2)是否存在非振動(dòng)解與條件αQ(t)-R(t)≥0是否成立并無必然聯(lián)系.

注2當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，用同樣類似的方法可以證明，本文結(jié)論也是成立的.

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