一類高階泛函微分方程非振動解的存在性

莫協強，張曉建，楊甲山

(1.梧州學院數理系，廣西梧州543002； 2.邵陽學院理學與信息科學系，湖南邵陽422004)

關于中立型時滯泛函微分方程的振動和非振動的研究，除了在理論上具有非常重要的意義外，在實際應用中也有著非常重要的意義.因此，在這一領域出現了許多研究成果［1-17］.但是對于高階中立時滯微分方程的非振動解的研究卻受到了冷落，這主要是源自其分析上的技術困難.而具有正負系數的高階中立型方程的非振動定理卻更少了［6-14］.早些時候，M.R.S.Kulenovic等［2］研究了方程

及“(H0):對每個t≥t0及任意常數α＞0均有αQ(t)-R(t)≥0”的條件下得到了方程(1)存在非振動解的結論.之后，如文獻如［6-11］均圍繞方程(1)，或p不是常數，或方程為非線性的變時滯的等，但都是在(H0)成立的條件下進行的研究，沒有實質性的新進展.文獻［12-14］的部分定理對條件(H0)有所改進，但沒有方程的系統性的結果.本文旨在去掉這個強條件(H0)，討論下列一類更廣泛的具有正負系數的高階非線性中立型時滯泛函微分方程

建立方程(2)非振動的若干新的準則，所得定理改進了現有文獻中的一系列結論，并舉例說明了定理的應用.這里n＞0 為偶數，τ＞0，σi≥0，δj≥0，t0＞0為實常數(i=1，2，…，m；j=1，2，…，l，后面出現的i，j其取值亦是如此，不再另外說明)；m≥1，l≥1 為正整數.

函數x(t)稱為方程(2)的解，如果x(t)∈C(［t-1，+∞)，R)，x(t)+P(t)x(t- τ) ∈Cn(［t-1，+∞)，R)，并且x(t)滿足方程(2)，這里t-1=min{t0- τ，t0-}.方程(2)在半直線［Tx，+∞)(Tx≥t0)上的解x(t)稱為是正則的，如果它滿足sup{|x(t)|:t≥T}＞0，?T≥Tx.方程(2)的正則解稱為是振動的，如果它有任意大的零點；否則，此正則解稱為是非振動的.并考慮如下假設:

(H4)fi(x)、gj(x)均滿足局部Lipchitz條件，即對于某區域D，存在常數Lfi(D)，Lgj(D)＞0，使得?x，y≥0，有|fi(x)-fi(y)|≤Lfi(D)|x-y|和|gj(x)-gj(y)|≤Lgj(D)|x-y|；

(H4)'fi(x)、gj(x)均滿足局部Lipchitz條件，即存在常數 α ＞0 及Lfi，Lgj＞0，使得?0≤x≤α，0≤y≤α，有|fi(x)-fi(y)|≤Lfi|x-y|和 |gj(x)-gj(y)|≤Lgj|x-y|.

1 主要結果和證明

即此時(7)式是成立的.由數學歸納法知，(7)式得證.因此，根據(8)式，易知由(6)式所確定的x(t)是方程(2)的一個最終正解.定理證畢.

定理2設方程(2)滿足條件(H1)～(H4)，0＜＜1，并且最終有P(t)≥0，則方程(2)一定存在一個非振動解.

注1由于本文例1中所給的方程均不滿足條件(H0)，即不滿足假設“對任意t≥t0及任意常數α＞0均有 αQ(t)-R(t)≥0”，因此文獻［2，6-11］中的定理都不能用于本文例1的方程.從定理1～5的證明過程可知，方程(2)是否存在非振動解與條件αQ(t)-R(t)≥0是否成立并無必然聯系.

注2當n為奇數時，用同樣類似的方法可以證明，本文結論也是成立的.

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