一類(lèi)分?jǐn)?shù)階p-Laplace方程積分三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性

湯小松，羅節(jié)英

(井岡山大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江西吉安343009)

帶有p-Laplace算子的微分方程的邊值問(wèn)題，在非牛頓力學(xué)、宇宙物理、血漿問(wèn)題和彈性理論等諸多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.在過(guò)去幾十年里，對(duì)p-Laplace方程的邊值問(wèn)題解的存在性的研究，取得了很多有意義的成果［1-5］.

分?jǐn)?shù)階微分方程除了在數(shù)學(xué)各方面的應(yīng)用，還在流體力學(xué)、流變學(xué)、粘彈性力學(xué)、分?jǐn)?shù)控制系統(tǒng)與分?jǐn)?shù)控制器、各種電子回路、電分析化學(xué)、生物系統(tǒng)的電傳導(dǎo)、神經(jīng)的分?jǐn)?shù)模型及回歸模型等方面有廣泛的應(yīng)用，特別是在與分形維數(shù)有關(guān)的物理與工程方面有重要的應(yīng)用［6-7］，因此引起了許多學(xué)者的極大關(guān)注.關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程解(正解)的存在性研究，已取得了一定的成果［8-16］.例如，S.Zhang［10］利用錐上不動(dòng)點(diǎn)定理和Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理討論了如下兩點(diǎn)邊值問(wèn)題的1個(gè)和3個(gè)正解的存在性

其中，是Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，1＜α≤2.

湯小松等［11］利用錐上不動(dòng)點(diǎn)定理討論了如下積分三點(diǎn)邊值問(wèn)題的1個(gè)正解的存在性

為方便起見(jiàn)，本文總假定:

(H1)a(t)∈C(［0，1］，［0，+ ∞))，并且在［0，1］的任何子區(qū)間上a(t)不恒等于0；

(H2)f∈C(［0，1］×［0，+∞)，［0，+∞)).

1 準(zhǔn)備知識(shí)及引理

首先給出一些必要的分?jǐn)?shù)階計(jì)算的定義和定理，這些定義可以參見(jiàn)文獻(xiàn)［8-9］.

2 主要結(jié)果

利用引理1.3～1.8來(lái)證明本文的主要結(jié)果.

定理2.1設(shè)條件(H1)和(H2)成立，且f還滿(mǎn)足

(H3)f0∈(gp-1，+∞)；

(H4)f∞∈［0，σp-1)，

則邊值問(wèn)題(3)至少存在一個(gè)正解.

下面按f有界和無(wú)界2種情形進(jìn)行考慮.

情形1 假設(shè)f有界，則存在L使得，當(dāng)0≤t≤1及0≤u＜ +∞ 時(shí)，有f(t，u)≤(σL)p-1.令 R1=max{2r1，L}，定義E的開(kāi)子集

定理2.2設(shè)條件(H1)和(H2)成立，且f還滿(mǎn)足:

(H5)f0∈［0，σp-1)；

(H6)f∞∈(gp-1，+∞)，

則邊值問(wèn)題(3)至少存在一個(gè)正解.

［1］Leibenson L S.General problem of the movement of a compressible fluid in a porous medium［J］.Izv Akad Nauk SSSR Geogr Geophys，1983，9:7-10.

［2］ Jiang D，Gao W.Upper and lower solution method and a singular boundary value problem for the one-dimensionalp-Laplacian［J］.J Math Anal Appl，2000，252:631-648.

［3］陳順清.二階p-Laplacian算子方程的正周期解［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008，31(2):155-158.

［4］劉興元.具p-Laplacian算子方程多點(diǎn)邊值問(wèn)題3個(gè)正解的存在性［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，35(1):78-81.

［5］鄭春華，劉文斌.一類(lèi)p-Laplacian方程非局部問(wèn)題解的存在性［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2013，36(6):856-861.

［6］Oldham K B，Spanier J.The Fractional Calculus［M］.New York:Academic Press，1974.

［7］Kilbas A A，Srivastava H M，Trujillo J J.Theory and Applications of Fractional Differential Equations［M］.Amsterdam:Elsevier Science，2006.

［8］Kilbas A A，Trujillo J J.Differential equations of fractional order:methods，results and problems II［J］.Appl Anal，2002，81:435-493.

［9］Bai Z，Lü H.Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation［J］.J Math Anal Appl，2005，311:495-505

［10］Zhang S.Positive solution for boundary value problem of nonlinear fractional differential equations［J］.Electron J Diff Eqns，2006，36:1-12.

［11］湯小松，劉清.一類(lèi)分?jǐn)?shù)階微分方程積分三點(diǎn)邊值問(wèn)題的正解［J］.井岡山大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2013，34(1):11-16.

［12］Agarwal R P，O'Regan D，Stanek S.Positive solutions for Dirichlet problems of singular nonlinear fractional differential equations［J］.J Math Anal Appl，2010，371:57-68.

［13］ Yang W.Positive solutions for a coupled system of nonlinear fractional differential equations with integral boundary conditions［J］.Comput Math Appl，2012，63(1):288-297.

［14］ Cabada Alberto，Wang G.Positive solutions of nonlinear fractional differential equations with integral boundary value conditions［J］.J Math Anal Appl 2012，389(1):403-411.

［15］楊丹丹.分?jǐn)?shù)階微分包含三點(diǎn)邊值問(wèn)題解的存在性［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2013，36(6):881-886.

［16］張穩(wěn)根，胡衛(wèi)敏，劉剛.非線(xiàn)性分?jǐn)?shù)階微分方程組奇異對(duì)偶系統(tǒng)正解的存在性［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2013，36(6):887-892.

［17］Guo D，Lakshmikantham V.Nonlinear Problems in Abstract Cones［M］.New York:Academic press，1988.