一類分數階p-Laplace方程積分三點邊值問題正解的存在性

湯小松，羅節英

(井岡山大學數理學院，江西吉安343009)

帶有p-Laplace算子的微分方程的邊值問題，在非牛頓力學、宇宙物理、血漿問題和彈性理論等諸多領域都有廣泛的應用.在過去幾十年里，對p-Laplace方程的邊值問題解的存在性的研究，取得了很多有意義的成果［1-5］.

分數階微分方程除了在數學各方面的應用，還在流體力學、流變學、粘彈性力學、分數控制系統與分數控制器、各種電子回路、電分析化學、生物系統的電傳導、神經的分數模型及回歸模型等方面有廣泛的應用，特別是在與分形維數有關的物理與工程方面有重要的應用［6-7］，因此引起了許多學者的極大關注.關于分數階微分方程解(正解)的存在性研究，已取得了一定的成果［8-16］.例如，S.Zhang［10］利用錐上不動點定理和Leggett-Williams不動點定理討論了如下兩點邊值問題的1個和3個正解的存在性

其中，是Caputo分數階導數，1＜α≤2.

湯小松等［11］利用錐上不動點定理討論了如下積分三點邊值問題的1個正解的存在性

為方便起見，本文總假定:

(H1)a(t)∈C(［0，1］，［0，+ ∞))，并且在［0，1］的任何子區間上a(t)不恒等于0；

(H2)f∈C(［0，1］×［0，+∞)，［0，+∞)).

1 準備知識及引理

首先給出一些必要的分數階計算的定義和定理，這些定義可以參見文獻［8-9］.

2 主要結果

利用引理1.3～1.8來證明本文的主要結果.

定理2.1設條件(H1)和(H2)成立，且f還滿足

(H3)f0∈(gp-1，+∞)；

(H4)f∞∈［0，σp-1)，

則邊值問題(3)至少存在一個正解.

下面按f有界和無界2種情形進行考慮.

情形1 假設f有界，則存在L使得，當0≤t≤1及0≤u＜ +∞ 時，有f(t，u)≤(σL)p-1.令 R1=max{2r1，L}，定義E的開子集

定理2.2設條件(H1)和(H2)成立，且f還滿足:

(H5)f0∈［0，σp-1)；

(H6)f∞∈(gp-1，+∞)，

則邊值問題(3)至少存在一個正解.

［1］Leibenson L S.General problem of the movement of a compressible fluid in a porous medium［J］.Izv Akad Nauk SSSR Geogr Geophys，1983，9:7-10.

［2］ Jiang D，Gao W.Upper and lower solution method and a singular boundary value problem for the one-dimensionalp-Laplacian［J］.J Math Anal Appl，2000，252:631-648.

［3］陳順清.二階p-Laplacian算子方程的正周期解［J］.四川師范大學學報:自然科學版，2008，31(2):155-158.

［4］劉興元.具p-Laplacian算子方程多點邊值問題3個正解的存在性［J］.四川師范大學學報:自然科學版，2012，35(1):78-81.

［5］鄭春華，劉文斌.一類p-Laplacian方程非局部問題解的存在性［J］.四川師范大學學報:自然科學版，2013，36(6):856-861.

［6］Oldham K B，Spanier J.The Fractional Calculus［M］.New York:Academic Press，1974.

［7］Kilbas A A，Srivastava H M，Trujillo J J.Theory and Applications of Fractional Differential Equations［M］.Amsterdam:Elsevier Science，2006.

［8］Kilbas A A，Trujillo J J.Differential equations of fractional order:methods，results and problems II［J］.Appl Anal，2002，81:435-493.

［9］Bai Z，Lü H.Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation［J］.J Math Anal Appl，2005，311:495-505

［10］Zhang S.Positive solution for boundary value problem of nonlinear fractional differential equations［J］.Electron J Diff Eqns，2006，36:1-12.

［11］湯小松，劉清.一類分數階微分方程積分三點邊值問題的正解［J］.井岡山大學學報:自然科學版，2013，34(1):11-16.

［12］Agarwal R P，O'Regan D，Stanek S.Positive solutions for Dirichlet problems of singular nonlinear fractional differential equations［J］.J Math Anal Appl，2010，371:57-68.

［13］ Yang W.Positive solutions for a coupled system of nonlinear fractional differential equations with integral boundary conditions［J］.Comput Math Appl，2012，63(1):288-297.

［14］ Cabada Alberto，Wang G.Positive solutions of nonlinear fractional differential equations with integral boundary value conditions［J］.J Math Anal Appl 2012，389(1):403-411.

［15］楊丹丹.分數階微分包含三點邊值問題解的存在性［J］.四川師范大學學報:自然科學版，2013，36(6):881-886.

［16］張穩根，胡衛敏，劉剛.非線性分數階微分方程組奇異對偶系統正解的存在性［J］.四川師范大學學報:自然科學版，2013，36(6):887-892.

［17］Guo D，Lakshmikantham V.Nonlinear Problems in Abstract Cones［M］.New York:Academic press，1988.